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初中数学知识总结专题23 多边形内角和问题(教师版)

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专题23多边形内角和问题专题知识回顾1.多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。2.多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。3.多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。4.多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。5.正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。6.多边形内角和公式:n边形的内角和等于(n-2)·180°7.多边形的外角和:多边形的内角和为360°。8.多边形对角线的条数:(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,把多边形分成(n-2)个三角形。(2)n边形共有条对角线。专题典型题考法及解析【例题1】(2019贵州铜仁)如图为矩形ABCD,一条直线将该矩形分割成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为a和b,则a+b不可能是(  )A.360°B.540°C.630°D.720°【答案】C.【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形,每一个多边形的内角和都是180°的倍数,都能被180整除,分析四个答案,只有630不能被180整除,所以a+b不可能是630°.10,【例题2】(2019广西梧州)正九边形的一个内角的度数是(  )A.108°B.120°C.135°D.140°【答案】D.【解析】先根据多边形内角和定理:180°•(n﹣2)求出该多边形的内角和,再求出每一个内角的度数.该正九边形内角和=180°×(9﹣2)=1260°,则每个内角的度数=.【例题3】(2019湖南湘西州)已知一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形是(  )A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形【答案】D【解析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数,解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理。多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°,列方程可求解.设所求多边形边数为n,则(n﹣2)•180°=1080°,解得n=8.【例题4】(2019海南)如图,⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D,则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为  度.【答案】144.【解析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D,根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD,从而可求出∠AOC,然后根据圆弧长公式即可解决问题.∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠E=∠A==108°.∵AB、DE与⊙O相切,∴∠OBA=∠ODE=90°,∴∠BOD=(5﹣2)×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°=144°。10,专题典型训练题一、选择题1.(2019湖北咸宁)若正多边形的内角和是540°,则该正多边形的一个外角为(  )A.45°B.60°C.72°D.90°【答案】C【解析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°求出多边形的边数,再根据多边形的外角和是固定的360°,依此可以求出多边形的一个外角.∵正多边形的内角和是540°,∴多边形的边数为540°÷180°+2=5,∵多边形的外角和都是360°,∴多边形的每个外角=360÷5=72°.2.(2019内蒙古巴彦卓尔)下列命题:①若x2+kx+是完全平方式,则k=1;②若A(2,6),B(0,4),P(1,m)三点在同一直线上,则m=5;③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴;④一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形是六边形.其中真命题个数是(  )A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】利用完全平方公式对①进行判断;利用待定系数法求出直线AB的解析式,然后求出m,则可对②进行判断;根据等腰三角形的性质对③进行判断;根据多边形的内角和和外角和对④进行判断.若x2+kx+是完全平方式,则k=±1,所以①错误;若A(2,6),B(0,4),P(1,m)三点在同一直线上,而直线AB的解析式为y=x+4,则x=1时,m=5,所以②正确;等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴,所以③错误;一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形是六边形,所以④正确.10,3.(2019宁夏)如图,正六边形ABCDEF的边长为2,分别以点A,D为圆心,以AB,DC为半径作扇形ABF,扇形DCE.则图中阴影部分的面积是(  )A.6﹣πB.6﹣πC.12﹣πD.12﹣π【答案】B.【解析】∵正六边形ABCDEF的边长为2,∴正六边形ABCDEF的面积是:=6×=6,∠FAB=∠EDC=120°,∴图中阴影部分的面积是:6﹣=,4.(2018苏州)一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°,则这个多边形对角线的条数是(  )A.27B.35C.44D.54【答案】C【解析】设出题中所给的两个未知数,利用内角和公式列出相应等式,根据边数为整数求解即可,再进一步代入多边形的对角线计算方法,即可解答.设这个内角度数为x,边数为n,∴(n﹣2)×180°﹣x=1510,180n=1870+x,∵n为正整数,∴n=11,∴=445.(2018齐齐哈尔)如果一个多边形的每一个外角都是60°,则这个多边形的边数是(  )A.3B,4C.5D.610,【答案】D【解析】由一个多边形的每一个外角都等于60°,且多边形的外角和等于360°,即可求得这个多边形的边数.∵一个多边形的每一个外角都等于60°,且多边形的外角和等于360°,∴这个多边形的边数是:360÷60=6.6.(2018武汉)一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°,则这个多边形对角线的条数是(  )A.27B.35C.44D.54【答案】C【解析】设出题中所给的两个未知数,利用内角和公式列出相应等式,根据边数为整数求解即可,再进一步代入多边形的对角线计算方法,即可解答.设这个内角度数为x,边数为n,∴(n﹣2)×180°﹣x=1510,180n=1870+x,∵n为正整数,∴n=11,∴=447.(2018大连)如图,在△ABC中,∠A=40°,D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点,则∠BDC=  .【答案】110°.【解析】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70,再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数.∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点,∴有∠CBD=∠ABD=∠ABC,∠BCD=∠ACD=∠ACB,∴∠ABC+∠ACB=180﹣40=140,∴∠OBC+∠OCB=70,10,∴∠BOC=180﹣70=110°8.(2018沈阳)若正多边形的一个内角是150°,则该正多边形的边数是(  )A.6B.12C.16D.18【答案】B【解析】根据多边形的内角和,可得答案.设多边形为n边形,由题意,得(n﹣2)180°=150n,解得n=129.(2018山东临沂)内角和为540°的多边形是(  )A.B.C.D.【答案】C【解析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°列式进行计算即可求解.设多边形的边数是n,则(n﹣2)•180°=540°,解得n=5.10.(2018江苏镇江)已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n.若不对,说明理由;(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.【答案】(1)甲对,乙不对,理由见解析;(2)2.【解析】(1)根据多边形的内角和公式判定即可;(2)根据题意列方程,解方程即可.试题解析:(1)甲对,乙不对.∵θ=360°,∴(n-2)×180°=360°,解得n=4.∵θ=630°,∴(n-2)×180°=630°,解得n=.∵n为整数,∴θ不能取630°.10,(2)由题意得,(n-2)×180+360=(n+x-2)×180,解得x=2.11.(2018湖南岳阳)已知正多边形的一个外角等于40°,那么这个正多边形的边数为(  )A.6B.7C.8D.9【答案】D【解析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数,求得边数.正多边形的一个外角等于40°,且外角和为360°,则这个正多边形的边数是:360°÷40°=9.12.(2018四川绵阳)一个多边形切去一个角后,形成的另一个多边形的内角和为1080°,那么原多边形的边数为(  )A.7B.7或8C.8或9D.7或8或9【答案】D.【解析】本题考查了多边形的内角和定理,一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1,可能减少1,或不变.首先求得内角和为1080°的多边形的边数,即可确定原多边形的边数.设内角和为1080°的多边形的边数是n,则(n﹣2)•180°=1080°,解得:n=8.则原多边形的边数为7或8或9.13.(2019大庆模拟题)将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能是(  )A.360°B.540°C.720°D.900°【答案】D.【解析】本题考查了多边形的内角与外角,能够得出一个矩形截一刀后得到的图形有三种情形,是解决本题的关键.根据题意列出可能情况,再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可.①将矩形沿对角线剪开,得到两个三角形,两个多边形的内角和为:180°+180°=360°②将矩形从一顶点剪向对边,得到一个三角形和一个四边形,两个多边形的内角和为:180°+360°=540°③将矩形沿一组对边剪开,得到两个四边形,两个多边形的内角和为:360°+360°=720°14.(2019长沙模拟题)若一个正n边形的每个内角为144°,则正n边形的所有对角线的条数是(  )10,A.7B.10C.35D.70【答案】C.【解析】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线,解题的关键是求出正n边形的边数.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键.由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式,即可得出关于n的一元一次方程,解方程即可求出n的值,将其代入中即可得出结论.∵一个正n边形的每个内角为144°,∴144°n=180°×(n﹣2),解得:n=10.这个正n边形的所有对角线的条数是:==35.15.(2018江西)如图,五边形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE,∠E=115°,则∠BAE的度数为何?(  )A.115B.120C.125D.130【答案】C【解析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等,进而得出∠B=∠E,利用多边形的内角和解答即可.∵正三角形ACD,∴AC=AD,∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°,∵AB=DE,BC=AE,∴△ABC≌△AED,∴∠B=∠E=115°,∠ACB=∠EAD,∠BAC=∠ADE,∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°,∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°二、填空题10,16.(2019江苏淮安)若一个多边形的内角和是540°,则该多边形的边数是  .【答案】5【解析】n边形的内角和公式为(n﹣2)•180°,由此列方程求n.设这个多边形的边数是n,则(n﹣2)•180°=540°,解得n=517.(2019陕西)若正六边形的边长为3,则其较长的一条对角线长为【答案】6【解析】如图所示为正六边形最长的三条对角线,由正六边形性质可知,△AOB,△COD为两个边长相等的等边三角形,∴AD=2AB=6,故答案为618.(2019江苏徐州)如图,A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点.若O为正多边形的中心,则∠OAD= .【答案】140°【解析】利用任意凸多边形的外角和均为360°,正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数,再根据多边形的内角和公式计算即可.多边形的每个外角相等,且其和为360°,据此可得多边形的边数为:,∴∠OAD=.10,19.(经典题)一个多边形的内角和是其外角和的3倍,则这个多边形的边数是________.【答案】8【解析】根据多边形的内角和公式,多边形外角和为360°,根据题意列出方程,解之即可.设这个多边形边数为n,∴(n-2)×180°=360°×3,∴n=8.10

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发布时间:2024-06-22 21:00:01 页数:10
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文章作者:180****8757

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