甘肃省天水市第七中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题

天水市第七中学2022--2023第二学期期中九年级模拟考试试卷数学（考试时间：120分钟卷面分值：150分）一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．﹣7+5的相反数是（　　）A．2B．﹣2C．﹣8D．82．下列运算正确的是（）A．333B．4554C．326D．32843．在平面直角坐标系xOy中，点A（－2，4）关于x轴对称的点B的坐标是（）A．（－2，4）B．（－2，－4）C．（2，－4）D．（2，4）4．中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为（）89108A．510B．510C．510D．50105．如图所示物体的左视图是()A．B．C．D．6．如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有三个面被涂色的概率为（）20824A．B．C．D．27279277．如图所示，PA、PB分别与O相切于A、B两点，点C为O上一点，连接AC、试卷第1页，共7页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} BC，若P70，则ACB的度数为()A．50B．55C．60D．658．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像CD的长（）111A．cmB．cmC．cmD．1cm632k9．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中x点，连接AO，AC，若△AOC的面积为4，则k＝（　　）A．16B．12C．8D．410．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC6，BD8，P是对角线BD上任意一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F.设BPx，EFy，则能大致表示y与x之间关系的图象为（）试卷第2页，共7页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，共32分）211．因式分解：3mm．212．关于x的方程x2xk0有两个相等的实数根，则k的值是。13．如图所示，若用半径为8，圆心角为120的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的底面半径是．14．如图，AB为⊙O的直径，弦CDAB于点E，已知CD6,EB1，则⊙O的半径为．2k115．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y＝﹣交于点A（x1，y1），Bx（x2，y2），则x1﹣y2的值为．试卷第3页，共7页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} 23354716．一组按规律排列的代数式：a2b,a2b,a2b,a2b，…，则第n个式子是．17．如图，在边长为6的正方形ABCD内作EAF45，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG，若DF3，则BE的长为．218．如图是二次函数yaxbxc(a，b，c是常数，a0)图像的一部分，与x轴的交点A在(2,0)和(3,0)之间，对称轴是直线x1．对于下列说法：①ab0；②2ab0；③3ac0；④abm(amb)(m为实数）；⑤当1x3时，y0．其中正确的是．（填序号）三、解答题10119．计算：4sin6032202212．41a1a120．先化简，再求值：，其中a3．2a1a2a1a121．如图，在ABC中，ABAC，点D，E分别是AC和AB的中点．求证：BDCE．m22．如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数yx（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，试卷第4页，共7页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} 4n）．线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE=．5（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOC的面积．23．文化是一个国家，一个民族的灵魂，近年来，央视推出《中国诗词大会》、《中国成语大会》、《朗读者》、《经典咏流传》等一系列文化栏目．为了解学生对这些栏目的喜爱情况，某学校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生须从《经典咏流传》(记为A)、《中国诗词大会》(记为B)、《中国成语大会》(记为C)、《朗读者》(记为D)中选择自己喜爱的一个栏目，也可以写出一个自己喜爱的其他文化栏目(记为E)．(1)学生会随机抽查了一名学生，请问该生选择“E”的概率为多少？(2)若选择“E”的学生中有2名女生，3名男生，现从选择“E”的学生中随机选出两名学生参加座谈，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到两名学生是同性别的概率．24．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD的高（结果保留根号）．25．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．试卷第5页，共7页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} (2)若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？(3)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？26．如图，在ABC中，C90，AD平分BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）试判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；（2）若BD23，AB6，求阴影部分的面积(结果保留)．27．问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别在AB,BC边上，DEAF,DEAF于点G．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长CB到点H，使得BHAE，判断△AHF的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E,F分别在AB,BC边上，DE与AF相交于点G，DEAF,AED60,AE6,BF2，求DE的长．328．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，经过B、C两点的抛物43线y＝ax2+x+c与x轴的另一个交点为A．4试卷第6页，共7页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} (1)求抛物线的解析式；(2)点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，当△BCE面积最大时，求出点M的坐标；(3)在（2）的结论下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由．试卷第7页，共7页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} {#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} 1．A【分析】先计算﹣7+5的值,再求它的相反数.【详解】﹣7+5=-2,-2的相反数是2.所以B选项是正确的.【点睛】本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号;一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.2．C【分析】直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案．【详解】3323，故A错；45535，故B错；326，C正确；3282，故D错．故选：C．【点睛】此题考查的是二次根式的运算和化简，掌握其运算法则是解决此题关键．3．B【分析】根据横不变，纵相反，确定坐标计算即可．【详解】∵点A（－2，4），∴关于x轴对称的点B的坐标是（－2，－4），故选B．【点睛】本题考查了坐标系中点的对称，熟练掌握对称点的坐标特点是解题的关键．4．B【分析】结合科学记数法的表示方法即可求解．9【详解】解：50亿即5000000000，故用科学记数法表示为510，故答案是：B．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，难度不大，属于基础题。解题关键即掌握科学记n数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a10，其中1a10，n为整数．此外熟48记常用的数量单位，如万即是10，亿即是10等．5．B答案第1页，共17页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} 【分析】根据左视图是从左边得到的图形进行解答即可.【详解】从左边看，为一个长方形，中间有两条横线，如下图所示：，故选B．【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从左边看到的视图，要注意长方形被横向分成三部分．6．B【分析】直接根据题意得出恰有三个面被涂色的有8个，再利用概率公式求出答案．【详解】解：由题意可得：小立方体一共有27个，恰有三个面被涂色的为棱长为3的正方体顶点处的8个小正方体；8故取得的小正方体恰有三个面被涂色．的概率为．27故选：B．【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，正确得出三个面被涂色．小立方体的个数是解题关键．7．B【分析】先利用切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．【详解】连接OA、OB，∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠P=70°，∴∠AOB=180°-∠P=180°-70°=110°，答案第2页，共17页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} 11∴∠ACB=∠AOB=×110°=55°．22故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．8．D【分析】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，由CD//AB可得△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD的值即可.【详解】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，∵AB//CD，∴OF⊥CD，OE=12，OF=2，∴△OAB∽△OCD，∵OE、OF分别是△OAB和△OCD的高，OFCD2CD∴，即，OEAB126解得：CD=1.故选D.【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键.9．A【分析】由C是OB的中点求△AOB的面积，设A（a，b）根据面积公式求ab，最后求k．【详解】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为4，∴△AOB的面积为8，设A（a，b），∵AB⊥x轴于点B，答案第3页，共17页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} ∴ab＝16，k∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，x∴k＝16．故选A．【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握用面积法求k是解题的关键．10．D【分析】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于熟练掌握三角形的相似的判定和性质．根据图形先利用平行线的性质求出△BEF∽△BAC，再利用相似三角形的性质得出x的取值范围和函数解析式即可解答【详解】解：当0x4时，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∵BO为ABC的中线，BP为BEF的中线，BPEFxy∴，即，BOAC463解得yx，23同理可得，当4x8时，y(8x)，2综上分析可知，选项D的函数图象符合题意．故选：D．11．m3m【分析】本题考查了因式分解：先观察式子，得提公因式即可作答．2【详解】解：3mmm3m故答案为：m3m12．1【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的判别式求参数，根据一元二次方程有两个相22等的实数根得b4ac0，即(2)4k0，求出答案即可．【详解】∵关于x的方程有两个相等的实数根，答案第4页，共17页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} 22∴b4ac(2)4k0，解得k1．故答案为：1．813．3【分析】根据半径为8，圆心角为120°的扇形弧长，等于围成的圆锥的底面周长，列方程求解即可．【详解】解：设圆锥的底面半径为r，1208由题意得，2r，1808解得，r，38故答案为：．3【点睛】本题考查了弧长的计算公式，扇形与围成的圆锥底面圆的周长之间的关系，明确扇形的弧长与围成的圆锥的底面圆的周长的关系是正确解答本题的关键，本题就是把的扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长作为相等关系，列方程求解．14．5【详解】解：设圆的半径为r，连接OC，根据垂径定理可知CE=3，OE=r-1，2223r1r，解得r=5．故答案为5．15．0【分析】根据正比例函数和反比例函数的对称性得到x1＋x2＝0，由y2＝﹣x2，得出x2＝﹣y2，即可得到x1﹣y2＝0.答案第5页，共17页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} 2k1【详解】解：∵直线y＝﹣x与双曲线y＝﹣交于点A（x1，y1），B（x2，y2），x∴点A，点B关于原点对称，∴x1＋x2＝0，∵y2＝﹣x2，∴x2＝﹣y2，∴x1﹣y2＝0，故答案为：0．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握正比例函数和反比例函数的对称性是本题的关键．nn12n116．a12b【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．n1【详解】解：∵当n为奇数时，11；n1当n为偶数时，11，nn12n1∴第n个式子是：a1·2b．nn12n1故答案为：a1·2b【点睛】本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键．17．2【分析】根据旋转的性质可得AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，然后根据正方形的性质和等量代换可得∠GAE=∠FAE，进而可根据SAS证明△GAE≌△FAE，可得GE=EF，设BE=x，则CE与EF可用含x的代数式表示，然后在Rt△CEF中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程即得答案．【详解】解：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90得到△ABG，∴AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，∵EAF45，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠GAE=45°，∴∠GAE=∠FAE，答案第6页，共17页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} 又AE=AE，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE=EF，设BE=x，则CE=6－x，EF=GE=DF+BE=3+x，∵DF=3，∴CF=3，222在Rt△CEF中，由勾股定理，得：6x3x3，解得：x=2，即BE=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识、灵活应用方程思想是解题的关键．18．①②④【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，然后再根据对称轴判定b与0的关系，得到2ab0；当x=1时，yabc；然后由图像确定当x取何值时，y0．【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1b∴12a∴b2a2∴ab2a，2ab2a2a0故②正确；∵a≠02∴ab2a0，故①正确；∵与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间结合题意，当x3时，y02∴y3a3bc9a6bc3ac0故③错误；∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，且与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间设点A坐标为p,0当px3时，y0故⑤错误；答案第7页，共17页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} 将b2a代入a+b≥m（am+b）∴a2amam2a2∴aam2am∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下∴a<02∴1m2m22∵m2m+1=m10恒成立∴a+b≥m（am+b）成立，故④正确；故答案为：①②④【点睛】本题考查了二次函数、不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解．19．33【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的混合计算法则求解即可．3【详解】解：原式423123422323123433．【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂，负整数指数幂，正确计算是解题的关键．220．，12a1【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．1a1a1【详解】原式2a1(a1)a111a1a1a1a1a1a1a1a12a1a12，2a1答案第8页，共17页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} 当a3时，2原式2(3)123122＝1．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21．见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；根据线段中点的定义可得ADAE，然后证明△ABD≌△ACESAS即可得出结论．【详解】证明：∵ABAC，D、E分别为AC、AB的中点，∴ADAE，ABAC在△ABD和△ACE中，AA，ADAE∴△ABD≌△ACESAS，∴BDCE．12222．（1）反比例函数的解析式为y=﹣；所求的一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）x36．【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于D点，根据正弦求出AD=4，根据勾股定理求出DO=3，再求出点A的坐标为（﹣3，4），再求反比例函数的解析式，从而求出B的坐标，再用待定2系数法求一次函数的解析式；（2）令y=0，即-x+2=0，解得x=3，得C点坐标为（0，3），31即OC=3，S△AOC=•AD•OC．2【详解】解：（1）过点A作AD⊥x轴于D点，如图答案第9页，共17页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} ∵sin∠AOE=，OA=5，∴sin∠AOE===，∴AD=4，∴DO==3，而点A在第二象限，∴点A的坐标为（﹣3，4），将A（﹣3，4）代入y=，得m=﹣12，∴反比例函数的解析式为y=﹣；将B（6，n）代入y=﹣，得n=﹣2；将A（﹣3，4）和B（6，﹣2）分别代入y=kx+b（k≠0），得，解得，∴所求的一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）在y=﹣x+2中，令y=0，即﹣x+2=0，解得x=3，∴C点坐标为（0，3），即OC=3，答案第10页，共17页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} ∴S△AOC=•AD•OC=•4•3=6．【点睛】反比例函数和一次函数的综合.123．(1)52(2)概率为，列表见解析5【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．【详解】（1）解：∵一共有5个栏目，1∴该生选择“E”的概率为；5（2）解：记选择“E”的同学中的2名女生分别为N1,N2，3名男生分别为M1,M2,M3，列表如下：NNMMM12123NN,NN,MN,MN,M112111213NN,NN,MN,MN,M221212223MM,NM,NM,MM,M111121213MM,NM,NM,MM,M221222123MM,NM,NM,MM,M331323132∵共有20种等可能的结果，其中，恰好是同性别学生的有8种情况，82∴刚好选到同性别学生的概率为．205答案第11页，共17页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} 24．古塔BD的高为10310m【分析】在Rt△ABD和Rt△BCD中，分别解直角三角形，用BD表示AB和BC，然后根据BC-AB=20m，可求得塔BD的高度．【详解】解：根据题意得BAD45，BCD30，AC20m，在Rt△ABD中，∵BADBDA45，∴ABBD，在RtBDC中，BD∵tanBCD，BCBD3∴，BC3则BC3BD，又∵BCABAC，∴3BDBD20，20解得BD10310m．31答：古塔BD的高为10310m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角建立直角三角形，利用解直角三角形的知识分别用BD表示出AB、BC的长度．225．(1)w10x700x1000(2)销售单价应定为30元或40元(3)销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是2250元【分析】（1）根据利润=（售价进价）数量列出对应的函数关系式即可；（2）根据（1）所求关系式，把w2000代入求解即可；（3）利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：由题意得，2wx2025010x25x2050010x10x700x10000；2（2）解：由题意得10x700x100002000，答案第12页，共17页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} 解得x30或x40，∴销售单价应定为30元或40元；2（3）解：w10x700x10000210x352250，∵100，∴当x35时，w最大，最大为2250，∴销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是2250元．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列函数关系式，正确理解题意列出对应的式子和方程是解题的关键．226．（1）BC与O相切，理由见解析；（2）23．3【分析】（1）连接OD，求出OD//AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；（2）根据勾股定理求出OD=2，求出OB=4，得出BOD60，再分别求出△ODB和扇形DOF的面积即可．【详解】解：（1）BC与O相切．理由如下：如图，连接OD．∵AD平分BAC，∴CADOAD，又∵OAOD，∴OADODA，∴CADODA，∴OD//AC，∴BDOC90又∵OD为O的半径，∴BC与O相切．答案第13页，共17页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} （2）设O的半径为r，则OAODr，OB6r，222由（1）知BDO90，在RtBOD中，ODBDOB，222即r(23)(6r)，解得r2．BD23∵tanBOD3，OD2∴BOD60．2160r∴SSSODBD，阴影BOD扇形ODF236021602223，2360223．3【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，扇形的面积计算、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握切线的判定与性质和勾股定理是解此题的关键．27．问题解决：（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8【分析】问题解决：（1）证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合DEAF和DAE=90可知BAFADG，再利用矩形的边角性质即可证明ABF≌DAE，即ABAD，即可求解；（2）由（1）中结论可知AEBF，再结合已知BHAE，即可证明△ABH≌△DAE，从而求得△AHF是等腰三角形；类比迁移：由前面问题的结论想到延长CB到点H，使得BHAE6，结合菱形的性质，可以得到ABH≌DAE，再结合已知AED60可得等边AHF，最后利用线段BF长度即可求解．【详解】解：问题解决：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，ABCDAB90．BAFGAD90．DEAF,ADGGAD90．BAFADG．答案第14页，共17页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} 又AFDE,ABF≌DAE,ABAD．∴矩形ABCD是正方形．（2）△AHF是等腰三角形．理由如下：ABAD,ABHDAE90,BHAE，ABH≌DAE,AHDE．又DEAF,AHAF，即△AHF是等腰三角形．类比迁移：如图2，延长CB到点H，使得BHAE6，连接AH．∵四边形ABCD是菱形，AD∥BC,ABAD,ABHBAD．BHAE,ABH≌DAE．AHDE,AHBDEA60．又DEAF,AHAF．AHB60,AHF是等边三角形，AHHF，DEAHHFHBBF628．【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．答案第15页，共17页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} 32328．(1)yxx3；843(2)M（2，）；2212115(3)P（5，-）或（-3，-）或（-1，）．8883【分析】（1）令y＝﹣x+3=0，则x=4，即点C（4，0），点B（0，3），则抛物线42323yaxxcaxx3，将点C坐标代入上式，即可求解；441323332（2）由SBCEEMOC2xx3x3x3x，即可求解；28444（3）分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．33【详解】（1）令y＝﹣x+3=0，，则x=4，当x=0时，y＝﹣×0+3=3，44即点C（4，0），点B（0，3），2323则抛物线yaxxcaxx3，443将点C坐标代入上式并解得：a=，8323故抛物线的表达式为：yxx3；843233（2）设点Ex,xx3，则点Mx,x3，8441323332SBCEEMOC2xx3x3x3x，284443∵0，故S△BCE有最大值，43此时x=2，故点M（2，）；2（3）∵抛物线对称轴为直线x=1，C（4，0）,∴A（-2，0）,答案第16页，共17页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#} 设点P（m，n），点Q（1，s），①当AM是平行四边形的一条边时，当点P在对称轴的右侧时，3点M向左平移4个单位向下平移个单位得到A，23同理P（m，n）向左平移4个单位向下平移个单位得到Q（1，s），221即m-4=1，解得：m=5，故点P（5，-）；8当点P在对称轴的左侧时，21同理可得点P（-3，-）；8②当AM是平行四边形的对角线时，3AM的中点坐标为（0，），此坐标即为PQ的中点坐标，4即m+1=0，解得：m=-1，15故点P（-1，）；8212115综上，点P（5，-）或（-3，-）或（-1，）．888【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．答案第17页，共17页{#{QQABS4kkimBw0BzhyAgaQU0CjAsR8hZS7A5GlRYGe01C/hlADCA=}#}