2024届福建省厦门市高三下学期第四次质量检测考试数学试题 答案

厦门市2024届高中毕业班第四次质量检查一、单选题1-4．ACAC5-8．CBDB二、多选题9．AD10．ABD11．ACD三、填空题ππ12．23；13．(,1−−)(1,)+；14．(,);62四、解答题San15．设Sn为数列n的前n项和，已知aS24==2,10，且为等差数列．n（1）求数列a为通项公式；nan,为奇数,n（2）若数列bn满足bn=1求数列bn的前2n项和T2n．，n为偶数,aann+2Sn解析：（1）设等差数列的公差为d，因为aS11==1，nSS10141−=3d所以，即−=13d，d=，.......................................................2分4142S1nn(1+)nS=，.............................................................3分所以=+1(1n−)，即nn22nn(1+−)(1nn)当n≥2时，aSS=−=−=n，............................................5分nnn−122当n=1时，a=1，满足上式，1所以an=．..........................................................................................................6分nnn,为奇数,（2）由（1）知bn=1...........................................................7分，n为偶数,nn(+2)则Tbbbbbbbb=+++++++()()...............................................8分21nn352−12462n1111=+++−+(1352n1)(+++).............................9分2446682(22)nn+nn(12+−1)1111111=+()−+−++−...........................................11分2224462nn2+2211=+−n.......................................................................................................13分444n+211所以数列b的前2n项和为Tn=+−．n2n444n+16．（15分）某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：不达标达标合计男300女100300{#{QQABCYQAgggAQJIAARgCQQFQCgMQkBGAACoOwBAMMAIACQNABCA=}#},合计450600（1）完成22列联表．根据小概率值=0.01的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关联？4（2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体52能测试合格的概率为，以频率估计概率，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测5试，求3人中合格的人数X的分布列及期望．22nadbc(−)（x对应值见下表．=，nabcd=+++)(abaccdbd++++)()()()01．005．001．x2706．3841．6635．方法一：（1）22列联表如下表：不达标达标合计男50250300女100200300合计150450600......................................................................................................................................1分零假设为H：体育锻炼达标与性别独立，即体育锻炼达标与性别无关．.........................2分02260050200250100(−)200==22.2226.635.....................................5分3003001504509根据小概率值=0.01的独立性检验，推断H不成立，即认为体育锻炼达标与性别有0关联，该推断犯错误的概率不超过0.01．......................................................................6分（2）设事件A=“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件B=“随机抽取一人体能测试合3142格”，则PA()=，PB()=，PBA(|)=，PBA(|)=.....................................8分44557所以PB()=+=PAPBAPAPBA()(|)()(|)..................................................10分10X的可能取值为：0，1，2，3.....................................................................11分3327PX(==0)()=1010001237189PX(1==)()C()=...........................................................................12分3101010002237441PX(==2)C()()=31010100073343PX(3==)()=......................................................................................13分101000所以X的分布列为X0123{#{QQABCYQAgggAQJIAARgCQQFQCgMQkBGAACoOwBAMMAIACQNABCA=}#},27189441343P100010001000100027189441343所以EX()=0+1+2+3=2.1．............................15分1000100010001000方法二：（1）同方法一（2）设事件A=“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件B=“随机抽取一人体能测试合3142格”，则PA()=，PB()=，PBA(|)=，PBA(|)=.....................................8分44557所以PB()=+=PAPBAPAPBA()(|)()(|)..................................................10分107因为XB(3,).................................................................................................12分10kk373−k所以PXkC()(==)(),0k=,1,2,3.......................................................14分310107所以EX()==32.1．..................................................................................15分1017．如图，在四棱台ABCD−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，BC=1．111111（1）证明：AA∥平面BDC；11（2）若AA⊥BD，BC==CC2，求平面BCD与平面BCD所成角的余弦值．111111方法一：（1）由棱台定义可知AA与CC共面，且平面ABCD∥平面ABCD．111111......................................................................................................................................1分又平面ABCD平面ACCA=AC，平面ABCD平面ACCA=AC，1111111111所以ACAC∥．.........................................................................................................2分11连接AC交BD于点O，则O为AC中点．因为BC==22BC，所以AC=AO.................................................................3分1111所以四边形AAOC是平行四边形，所以AA∥OC．...........................................4分1111又AA平面BDC，OC平面BDC，所以AA∥平面BDC.......................5分111111（2）在正方形ABCD中，BD⊥AC，又BD⊥AA，ACAA=A，11所以BD⊥平面ACCA．.........................................................................................6分11因为OC平面ACCA，所以BD⊥OC1111在Rt△BOC中，=BOC90，BO=2，BC=2，所以OC=2．......8分1111222在△OCC中，OC==OC2，CC=2，所以OC+=OCCC，11111所以OC⊥OC．........................................................................................................9分1以O为原点，分别以OB，OC，OC为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．12222B(2,0,0)，D(−2,0,0)，C(0,2,0)，B(,,2−)，D(,,−−2)，112222232所以BD=−(2,0,0)，BC=−(,,2−)．...........................................10分11122设平面BCD的法向量为nxyz=(,,)，11{#{QQABCYQAgggAQJIAARgCQQFQCgMQkBGAACoOwBAMMAIACQNABCA=}#},nBD=0x=011则，即，nBC=0320yz−=1令y=2，则z=3，所以n=(0,2,3)，..................................................................12分又因为平面BCD的法向量m=(0,1,0)，..............................................................13分1mn213所以cosmn,==，||||mn13213所以平面BCD与平面BCD所成角余弦值为．.......................................15分11113方法二：（1）将棱台补形成棱锥PA−BCD，由棱台定义知平面ABCD∥平面ABCD．...........................................................1分1111又平面ABCD平面BCCB=BC，平面ABCD平面BCCB=BC，1111111111所以BCBC∥．.........................................................................................................2分11连接AC交BD于点O，则O为AC中点．BCPC又△BCP∽△BCP，所以==2，所以C为PC中点，.....................3分111BCPC111所以OC为△ACP的中位线，所以AA∥OC．....................................................4分111又AA平面BDC，OC平面BDC，所以AA∥平面BDC.......................5分111111（2）在正方形ABCD中，BD⊥AC，又BD⊥AA，ACAA=A，11所以BD⊥平面ACCA．.........................................................................................6分11因为OC平面ACCA，所以BD⊥OC1111在Rt△BOC中，=BOC90，BO=2，BC=2，所以OC=2．......8分1111222在△OCC中，OC==OC2，CC=2，所以OC+=OCCC，11111所以OC⊥OC．........................................................................................................9分1连接BC交BC于点M，连接CD交CD于点N，1111则MN为平面BCD与平面BCD的交线，设MN交OC于点Q．1111CMBC1CN111==11由△BCM∽△CMB，有，同理=，.........................11分11MBCB2ND2所以MN∥BD，所以MN⊥平面ACCA．.........................................................12分11又OQ平面ACCA，QC平面ACCA，1111所以MN⊥QO，MN⊥QC，所以OQC为平面BCD与平面BCD的夹角．.................................................13分111CMCQ12211由MN∥BD得==，所以OQ=．...........................................14分MBQO232226213在Rt△QOC中，QO=，OC=2，QC=，所以cos=OQC．3313213所以平面BCD与平面BCD夹角的余弦值为．.......................................15分111132218．（17分）平面直角坐标系xOy中，动点P在圆xy+=4上，动点Q（异于原点）在x轴上，且PQ=2，记PQ中点M的轨迹为．（1）求的方程；（2）过点(3,1)的动直线l与交于A，B两点．问：是否存在定点N，使得kk12为定值，其中k，k分别为直线NA，NB的斜率．若存在，求出N的坐标，若不存12在，说明理由．{#{QQABCYQAgggAQJIAARgCQQFQCgMQkBGAACoOwBAMMAIACQNABCA=}#},解：（1）设点Pxy(,)，Mxy(,)，因为OP=PQ，所以Qx(2,0)，(0x)，..........................................................2分xx+2x=2x2x=由M为PQ中点得3，.......................................................4分yy=yy=22222x2代入xy+=4，得+=y1．..........................................................................5分92x2所以动点M的轨迹的方程为+=yx1(0)．...............................................6分9（2）存在N满足题意，证明如下：........................................................................7分依题意直线l的斜率存在且不为0，设l的方程：ykx=−+(3)1．设Axy(,)，Bxy(,)，Nxy(,)112200ykx=−+(3)1222联立x2得(19++−+−kx)18(13)kkxk8154k=0．....................8分2+=y19218(13)kk−−81kk54则xx+=−,xx=（1）12221219++kk19y−1直线l方程化为x=+3．ky−1x=+3k22联立，得(19++ky)(6k−2)yk−6+1=0......................................9分2x+=2y1962kk−−16则yy+=−,yy=（2）12221219++kk1926216kk−−yy++yyyy−−0019++kk22190102依题意：kk==......................10分122xxxx0102−−218(13)kk−−81kk54xx++002219++kk1922222(19++ky)(6k−+2)y16−k9yk+−6(y1)ky+(−1)==00000........12分222222(19++−+−kx)18(13)kkx81k54k9(x−+−3)k18(x3)kx+00000依题意直线NA，NB与坐标轴不平行，又kk为定值，1222yyy−−1(1)000==所以．....................................................................14分22(3xxx−−)3(3)0002yy00−12由=3(3yxy=−)(1−)．．．．．．．(3)2000(3xx−−)3(3)002yy00−−1(1)2=xxy=3(−3)(−1)．．．．．．．(4)20003(xx−3)00由(3)（4）得xyxy==33或−，000033232xx==x=−002202代入（3）得或或．y=1yy220=−=20022{#{QQABCYQAgggAQJIAARgCQQFQCgMQkBGAACoOwBAMMAIACQNABCA=}#},31322322所以N(,)或N(,)−或N(,−)满足题意．（答案不全扣1分）17分222222方法二：存在N满足题意，证明如下：..................................................................7分依题意直线l的斜率存在且不为0，设l的方程：ykx=−+(3)1．设Axy(,)，Bxy(,)，Nxy(,)112200ykx=−+(3)1222联立x2得(19++−+−kx)18(13)kkxk8154k=0．....................8分2+=y19因为xx,为上式的两根，则122222(19++−+−kx)18(13)kkxk8154k=(19+−−kxxxx)()()（1）..................9分12y−1直线l方程化为x=+3．ky−1x=+3k22联立，得(19++ky)(6k−2)yk−6+1=0．................................10分2x+=2y19因为yy,为上式的两根，则12222(19++ky)(6k−2)yk−6+1=(19+−−kyyyy)()()．．（2）................................11分122yyyy−−+(19kyyyy)(−−)()kk==01020102依题意：122xxxx−−+(19kxxxx)(−−)()0102010222222(19++ky)(6k−+2)y16−k9yk+−6(y1)ky+(−1)==00000........12分222222(19++−+−kx)18(13)kkx81k54k9(x−+−3)k18(x3)kx+00000下同方法一19．（17分）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的应用．已知函数fx()在x=0处的[,]mn阶帕德近似定maa+++xaxRx()=01m义为：，且满足：n1+++bxbx1n(2)(2)()mn++()mnfR(0)=(0)，fR(0)=(0)，fR(0)=(0)，，fR(0)=(0)．fxfx(2)()=()，(3)=(2)()mn++=(1mn−)其中fxfx()()，，fxfx()()．12abxx++已知fx()ln(1)=+x在x=0处的[2,2]阶帕德近似为Rx()=2；121++xx6（1）求实数a，b的值；（2）设hx()=−fxRx()()，证明：xhx()0≥；1（3）已知x，x，x是方程lnxx=−()的三个不等实根，求实数的取值范123xxxx++1123−1．围，并证明：3解：（1）依题意可知，f(0)0=，Ra(0)=，因为fR(0)=(0)，所以a=0.....1分2263bx+x1(186)−++bx36x36b此时，Rx()=，因为fx'()=，Rx()=，22266++xx1+x(66xx++)所以f(0)1=，Rb(0)=因为fR(0)=(0)，所以b=1；...............................................................................3分{#{QQABCYQAgggAQJIAARgCQQFQCgMQkBGAACoOwBAMMAIACQNABCA=}#},236xx+（2）依题意，hx()=−=+fxRx()()ln(1)x−2xx++6624112(33xx++)xhx'()=−=≥0........................................5分22221(6++xxx+++6)(1xxx)(6+6)故hx()在(1,)−+单调递增，...................................................................................6分由h(0)0=，故−x(1,0)，hx()0，+x(0,)，hx()0综上，−x1，xhx()0≥；....................................................................................7分1（3）不妨设xxx，令tx()ln=−−x(x)，123x211−+−xxtx'()=−+=(1)(0x)22xxx当≤0时，tx'()0，此时tx()单调递增，tx()0=不存在三个不等实根；....8分22当0时，令sx()=−xx+−，其判别式=−1421若=−14≤0，即≥，sx()0≤恒成立，即tx'()0≤，2此时tx()单调递减，tx()0=不存在三个不等实根；............................................9分21若=−140，即0，tx'()=0存在两个不等正实根rrrr,()，此时有12122当xr(0,)时，tx'()0，tx()单调递减；1当xrr(,)时，tx'()0，tx()单调递增；12当xr+(,)时，tx'()0，tx()单调递减；......................................................10分2又因为t(1)=0，且t'(1)12=−0，故tr()0，tr()012112因为lnxxx−1(1)，所以ln−1，即lnx−2xxx4441215511所以t()=−−ln()2−−+=(2−+−)(2)042324所以存在xr(,)，满足tx()0=；...................................................................11分1111111又因为tx()ln=−−=()ln−+−=x(x)−t()xxxxx1故存在x=，满足tx()0=；33x111故当且仅当0时，lnxx=−()存在三个不等实根，...........................13分2x1且满足xx=1x，且x=1231x3236xx+由（2）可知，当x0时，ln(1+x)2xx++66233x−因此，lnx(1x)................................................................................15分2xx++412133x−lnxx=−()3故，化简可得：332xxx++41333231xx++41=33xx+43+=+x+x+3123xx33xxx++1123−1因此，命题得证．.....................................................................17分3{#{QQABCYQAgggAQJIAARgCQQFQCgMQkBGAACoOwBAMMAIACQNABCA=}#}