福建省厦门市2024届高中毕业班第四次质量检测数学试题

厦门市2024届高三毕业班第四次质量检测数学试题满分：150分考试时间：120分钟考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．B．C．D．2．已知随机变量，，则（）A．0.2B．0.3C．0.7D．0.83．将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（）A．B．C．D．4．圆被直线所截得劣弧的弧长为（）A．B．C．D．5．已知，，则（）13 A．B．C．D．6．某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学．若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有（）A．18种B．30种C．42种D．60种7．设A，B为随机事件，则的充要条件是（）A．B．C．D．8．已知双曲线，过右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，点在上，且，则的离心率为（）A．B．C．2D．3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若，则（）A．B．C．D．10．已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（）A．B．C．D．11．如图1，将三棱锥型礼盒的打结点解开，其平面展开图为矩形，如图2，其中A，B，C，D分别为矩形各边的中点，则在图1中（）图1图2A．B．13 C．平面D．三棱锥外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．复数满足，，则__________．13．已知奇函数及其导函数的定义域均为，，当时，，则使不等式成立的的取值范围是__________．14．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设为数列的前项和，已知，且为等差数列．（1）求的通项公式；（2）若求的前项和．16．（15分）某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：不达标达标合计男300女100300合计450600（1）完成列联表．根据小概率值的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关联？（2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为．用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中合格的人数的分布列及期望．（对应值见下表．，）0.10.050.012.7063.8416.63513 17．（15分）如图，在四棱台中，底面是边长为2的正方形，．（1）证明：平面；（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值．18．（17分）平面直角坐标系中，动点在圆上，动点（异于原点）在轴上，且，记的中点的轨迹为．（1）求的方程；（2）过点的动直线与交于A，B两点．问：是否存在定点，使得为定值，其中分别为直线NA，NB的斜率．若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．19．（17分）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的应用．已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．其中，，…，．已知在处的阶帕德近似为；（1）求实数a，b的值；（2）设，证明：；（3）已知是方程的三个不等实根，求实数的取值范围，并证明：．13 厦门市2024届高中毕业班第四次质量检查一、单选题1-4．ACAC5-8．CBDB二、多选题9．AD10．ABD11．ACD三、填空题12．；13．；14．；四、解答题15．解析：（1）设等差数列的公差为，因为，所以，即，所以，即，当时，，当时，，满足上式，所以．（2）由（1）知则所以数列的前项和为．16．方法一：（1）列联表如下表不达标达标合计男5025030013 女100200300合计150450600零假设为体育锻炼达标与性别独立，即体育锻炼达标与性别无关．．根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为体育锻炼达标与性别有关联，该推断犯错误的概率不超过0.01．（2）设事件“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件“随机抽取一人体能测试合格”，则，，，．所以的可能取值为：0，1，2，3所以的分布列为X0123P所以．13 方法二：（1）同方法一（2）设事件“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件“随机抽取一人体能测试合格”，则，，，．所以．因为．所以，．所以．17．方法一：（1）由棱台定义可知与共面，且平面平面．又平面平面，平面平面，所以．连接AC交BD于点，则为AC中点．因为，所以．所以四边形是平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面，（2）在正方形中，，又，，所以平面．因为平面，所以．13 在中，，，，所以．在中，，，所以，所以．以为原点，分别以为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．，，，，．所以，．设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，又因为平面的法向量，所以，所以平面与平面所成角余弦值为．方法二：（1）将棱台补形成棱锥，由棱台定义知平面平面．又平面平面，平面平面，所以．连接AC交BD于点，则为AC中点．又，所以，所以为PC中点，13 所以为的中位线，所以．又平面，平面，所以平面（2）在正方形中，，又，，所以平面．因为平面，所以在中，，，，所以．在中，，，所以，所以．连接交于点，连接交于点，则MN为平面与平面的交线，设MN交于点．由，有，同理，所以，所以平面．又平面，平面，所以，，所以为平面与平面的夹角．由得，所以．在中，，，，所以．所以平面与平面夹角的余弦值为13 18．解：（1）设点，，因为，所以，由M为PO中点得，代入，得．所以动点M的轨迹的方程为．（2）存在N满足题意，证明如下：依题意直线l的斜率存在且不为0，设l的方程：．设，，联立得．则，（1）直线方程化为．联立，得则（2）依题意：．．13 依题意直线NA，NB与坐标轴不平行，又为定值，所以．由．（3）．（4）由（3）（4）得或，代入（3）得或或．所以或或满足题意．（答案不全扣1分）方法二：存在满足题意，证明如下：依题意直线的斜率存在且不为0，设的方程：．设，，，联立得．因为为上式的两根，则（1）直线方程化为．联立，得．因为为上式的两根，则．（2）13 依题意：下同方法一19．解：（1）依题意可知，，因为，所以．此时，，因为，，所以，．因为，所以；．（2）依题意，故在单调递增，由，故，，，综上，，；（3）不妨设，令，当时，，此时单调递增，不存在三个不等实根；当时，令，其判别式若，即，恒成立，即，此时单调递减，不存在三个不等实根；若，即，存在两个不等正实根，此时有当时，13 ，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；又因为，且，故．因为，所以，即．所以．所以存在，满足；又因为．故存在，满足；故当且仅当时，存在三个不等实根，且满足，且．由（2）可知，当时，．因此，，故，化简可得：．因此，命题得证．13