【9数三模】2024年安徽省合肥市第四十一中学中考三模数学试题

2024年安徽省合肥市第四十一中学中考三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．的相反数是（   ）A．0B．1C．D．2．2024年清明假期，“民俗文化”和“赏花踏春”引领的祭先烈祭英烈清明出行．根据文化和旅游部门统计，清明小长假全国出行人数达到1.19亿人，将1.19亿用科学记数法表示为（    ）A．B．C．D．3．某物体如图所示，其左视图是（   ）A．B．C．D．4．“端午节”是我国的传统佳节，小明的妈妈包了“原味”“红枣”“鲜肉”“蛋黄”四种口味的粽子各一个，粽子外观上没有任何区别．小明从中拿了一个粽子，食用后发现很好吃，再从中拿了一个粽子食用，小明取出的两个粽子是“红枣”和“鲜肉”的概率（   ）A．B．C．D．5．若分式的值为0，则的值为（　　）A．1B．C．0D．6．如图，已知直线，在中，，则图中与互余的角有（   ）24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6，那么圆O与直线的位置关系是（    ）A．相交B．相离C．相切D．以上答案都不对8．规定：两个函数，的图像关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”﹒例如，函数与的图像关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”﹒若函数的“Y函数”图像与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为（    ）A．B．C．D．9．如图，等边的边长为，为高，点、分别为、上两个动点，且满足，求的最小值（   ）A．1B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点A，B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，且，当B在x轴的正半轴上运动时，点A随之在y轴的正半轴上运动，菱形的形状保持不变，求在运动过程中，点D到点O的最大距离是（    ）24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司   A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）11．使式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．12．已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则．13．如图，在矩形中，，分别为，的中点，则的值为．  14．如图，点A在反比例函数图象的第一象限的那一支上，垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且，点D为的三等分点，若的面积为5，则k的值为．  24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 三、解答题（本大题共9小题，共78分）15．计算：．16．先化简，再求值：，其中．17．为助力乡村振兴，某村委会决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高米，坡面的坡度（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河对岸点E在同一水平线上，从山顶B处测得河对岸点E的俯角为．问该河的河宽为多少米？24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 18．为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩，经调研，市场上有A型、B型两种充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.2万元，用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩的数量相等.(1)求A型、B型充电桩的单价各是多少？(2)该市决定购买A型、B型充电桩共300个，且花费不超过200万元，则至少购买A型充电桩多少个?19．如图，是矩形的对角线，平分，交于点，.(1)尺规作图：作的角平分线，交于点（只保留作图痕迹，不写作法）；(2)根据图形证明四边形为平行四边形．20．已知：如图，在中，平分劣弧，与交于点，点在延长线上，24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，连接．(1)求证：平分；(2)连结、，延长交于点，如果，求证：四边形是正方形．21．某同学为了调查人们选择快递公司的原因，制作了如下表的调查报告（不完整）．调查方式随机抽样调查调查对象电商卖家500人普通人500人调查问卷内容选择快递公司的原因（请选择一项在方框内打钩）价格优惠☐  寄件方便口  配送速度口  服务态度好口调查结果  24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 结合调查信息，回答下列问题：(1)计算扇形统计图中“服务态度好”这一原因的圆心角度数．(2)普通人的500份调查问卷中选择“寄件方便”的有几人？(3)如果你是电商业务员，请说明你会依据哪一项来选择合作的快递公司．22．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．(1)请你判定“抛物线三角形”的形状（不必写出证明过程）；(2)若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值；(3)如图，是抛物线的“抛物线三角形”．请问是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 23．如图1，矩形ABCD中，．【数学活动】将矩形纸片进行以下操作：第一步：将矩形纸片沿直线对折，使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕，再将矩形纸片沿对角线对折，得到折痕AC，再次展开铺平，两折痕与文于点G；第二步：将绕点逆时针旋转得到，点F，的对应点分别为点H，K直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点．【数学思考】（1）绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数是关系，并证明你的结论．【数学探究】（2）①如图2，当直线时，求的长；②在旋转过程中，当点K，H，C三点共线时，求的长；【问题延伸】（3）在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______．24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 参考答案：1．B【分析】此题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．据此解答即可．【详解】解：的相反数是1．故选：B．2．B【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．【详解】解：1.19亿．故选：B3．A【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．根据三视图的定义求解即可．【详解】解：A．该图是所给几何体的左视图，符合题意；B．该图是所给几何体的俯视图，故不符合题意；C．该图不是所给几何体的左视图，故不符合题意；D．该图不是所给几何体的三视图，故不符合题意；故选A．4．C【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，解题的关键是利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件的结果数目，然后根据概率公式（概率所求情况数与总情况数之比）求解即可．【详解】解：记“原味”“红枣”“鲜肉”“蛋黄”粽子分别为，，，，画树状图如下：一共有种等可能的结果，其中抽取的口味恰好是“红枣”（即）和“鲜肉”（即）的可能结果有种可能，∴（抽取的口味恰好是“红枣”和“鲜肉”的可能结果）．故选：C．5．B24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件为：分子等于零，分母不等于零，根据分式值为零的条件列式计算即可得出答案．【详解】解：分式的值为0，，，解得：，故选：B．6．D【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握图形的性质是解答本题的关键．根据直角三角形两锐角互余可得与互余，然后证明即可．【详解】解：∵在中，，∴与互余．∵，∴．∵，∴，∴与互余．∴与互余的角有4个．故选D．7．D【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离；根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答即可；【详解】A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6，圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离，故选：D.8．D24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据题意得函数的“Y函数”为，再根据其“Y函数”的图像与x轴只有一个交点，得，求出k的值即可得其“Y函数”的解析式．本题主要考查了二次函数关于y轴对称的函数的表达式，以及二次函数与x轴的交点问题．当时，图像与x轴有两个交点；当时，图像与x轴有一个交点；当时，图像与x轴没有交点．熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】由题意得函数与它的“Y函数”的图像关于y轴对称，∴函数的“Y函数”为：，∵的图像与x轴只有一个交点，，解得，∴函数的“Y函数”的解析式为．故选：D．9．B【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、勾股定理，作辅助线构造全等于是解题的关键．将绕点顺时针旋转得到，连接、，根据等边三角形的性质，利用证明，得出，推出，根据“两点之间线段最短”，得出当点、、在同一直线上时，的值最小，即的最小值，根据勾股定理计算得出答案即可．【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接、，又∵等边的边长为，为高，24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ∴，，，平分，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴当点、、在同一直线上时，的值最小，即的最小值，故选：B．10．B【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，作出合适的辅助线，运用勾股定理，利用三角形三边关系找到何时距离为最大值是解题的关键．取的中点E连接、，作垂直的延长线于点F，求出，，然后利用三角形三边关系，当O，E，D在同一条直线上时，点D到点O的距离最大即可求解．【详解】如图，取的中点E连接、，  ，．∴，作垂直的延长线于点F，∵∴，∴，，24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ∵，∴，∴在中，，在运动过程中，当O，E，D在同一条直线上时，点D到点O的距离最大为．故选B．11．【分析】本题主要考查了二次根式及分式有意义的条件，根据二次根式被开方数大于等于，对于分式，分母不能为，列式计算即可得解．【详解】由题意得：，解得：，故答案为：．12．【分析】本题主要考查一元二次方程根的意义，将根代入方程求解是解题关键．将代入方程求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是3，∴，解得：；故答案为：．13．/【分析】此题考查矩形的性质，三角形中位线定理．连接，利用三角形中位线定理得出，进而利用矩形的性质解答即可．【详解】解：连接，  四边形是矩形，，24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，分别为，的中点，是是中位线，，，故答案为：．14．【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：设A点坐标为，则，利用得，整理可得，即可得到k的值．【详解】解：设A点坐标为，则，，∵点D为的三等分点，∴，∵，∴，∴，把代入双曲线，∴．故答案为：．15．【分析】先用乘方运算、二次根式乘法运算、零指数幂运算及特殊角的三角函数值运算求解，再根据二次根式性质化简，以后运用二次根式减法运算求解即可得到答案．【详解】解：24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ．【点睛】本题考查实数混合运算，涉及乘方运算、二次根式性质、二次根式乘法运算、零指数幂运算及特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握相关运算法则求解是解决问题的关键．16．；2【分析】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值．先根据平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后把代入化简后的结果，即可求解．【详解】解：，当时，原式．17．60米【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先根据坡度求出，然后解求出，即可求解．【详解】解：∵山高米，坡面的坡度，∴，解得米，∵，，∴，∴米，∴米，即该河的河宽为60米．18．(1)型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.8万元．(2)至少可购买种充电桩200个．【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．（1）设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元，根据“用12万元购买型充电桩与用16万元购买型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可；（2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 个，根据购买总费用不超过200万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【详解】（1）设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价万元．根据题意得：解得：经检验，是所列方程的解，且符合题意，．答：型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.8万元．（2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，由题可得：，解得：，答：至少可购买种充电桩200个．19．(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了尺规作图，矩形性质，角平分线的有关计算，平行四边形判定，熟练掌握矩形性质及平行四边形的判定，是解题的关键．（1）以点D为圆心，任意长为半径，分别交于两点，再以这两个点为圆心，以大于这两个点之间距离一半为半径画弧，两弧交于一点，连接D与该点并延长交于点，即可得出答案；（2）根据矩形的性质结合角平分线得出，根据，即可得出答案．【详解】（1）即为所求；（2）证明：四边形是矩形，，，又平分，平分，，，24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，又四边形是矩形，，四边形为平行四边形．20．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）根据平分劣弧可得，即有，再根据垂直可得，问题即可得证；（2）在优弧上任取一点N，连接、，根据圆内接四边形的性质可得：，根据平分劣弧可得，，证明，可得，即可证明，则有，进而可得，问题随之得证．【详解】（1）∵平分劣弧，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴平分；（2）在优弧上任取一点N，连接、，如图，根据圆内接四边形的性质可得：，∵平分劣弧，∴，，，24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴垂直平分，∴，，∵，∴，∴四边形是菱形，∵，∴菱形是正方形．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正方形的判定以及圆内接四边形的性质等知识，掌握并灵活运用垂径定理是解答本题的关键．21．(1)“服务态度好”这一原因的圆心角度数(2)选“寄件方便”的人数是277人(3)依据“价格优惠”来选择合作的快递公司【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、调查统计的应用等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键．（1）首先计算选“服务态度好”的总人数，然后计算“服务态度好”这一原因的圆心角度数即可；（2）首先求得选“寄件方便”的总人数，然后计算普通人选“寄件方便”的人数即可；24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （3）分别确定电商卖家旋转“价格优惠”、“寄件方便”、“配送速度”和“服务态度好”的人数，比较即可获得答案．【详解】（1）解：选“服务态度好”的总人数：人，“服务态度好”这一原因的圆心角度数：；（2）选“寄件方便”的总人数：人，普通人选“寄件方便”的人数：人；（3）电商卖家选择“配送速度”的人数：人，电商卖家选择“价格优惠”的人数：人，电商卖家选择“寄件方便”和“服务态度好”的人数分别为73人、82人，∴电商卖家选择快递公司时最看重“价格优惠”，故依据“价格优惠”来选择合作的快递公司．22．(1)等腰三角形(2)(3)存在，抛物线的解析式为，理由见详解【分析】（1）根据抛物线的对称轴，两交点中点所在直线的关系可得，抛物线对称轴为两交连线的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可求解；（2）根据材料提示的“抛物线三角形”的定义，可得抛物线的顶点坐标，结合等腰直角三角形的性质可得，由此即可求解；（3）如图所示，作与关于原点成中心对称，根据矩形的判定和性质可得，当时，平行四边形是矩形，可得是等边三角形，作，根据含角的直角三角形的正切值的计算可得，结合（2）中抛物线的性质可得，可求出的坐标，运用待定系数法即可求解．【详解】（1）解：设抛物线与轴交于，，∴的中点坐标的横坐标为，且，∴设中点坐标为，∴中点所在直线为，∵顶点坐标的横坐标为，设顶点为，24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ∴两交点的中点所在直线与对称轴是同一条直线，∴对称轴是两交点连线的垂直平分线，∴，，∴“抛物线三角形”的是等腰三角形；（2）解：抛物线∴顶点坐标为，∴，解得，；（3）解：存在，理由如下，如图所示，作与关于原点成中心对称，连接，则四边形是平行四边形，当时，平行四边形是矩形，∵，∴是等边三角形，∴，作于点，∴，则，由（2）可知，抛物线的顶点坐标为，∴，解得，，∴，，24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ∴，，设过点的抛物线的解析式为，∴，解得，，∴所求抛物线的解析式为．【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，特殊角正切值的计算，特殊四边形的判定和性质，掌握二次函数图象与几何形的综合运用技巧，特殊四边形判定和性质等知识是解题的关键．23．（1）；①；②；（3）【分析】（1）证是的中位线，连接，由旋转知，，再证，即可得出结论；（2）①由旋转的性质和等腰三角形的性质得，则，设，在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题；②过作于，交于，则四边形是矩形，得，再由三角形面积求出，然后证，得，即可得出结论；（3）连接，则，当、、三点共线，且点在线段上时，，此时最小，由直角三角形的性质得，即可求得最小值为2，当、、三点共线，且点在延长线上时，，此时最大，求得最值为8，即可求解．【详解】解：（1），证明如下：由折叠和矩形性质得，∴，∴，∴，∴是的中位线，24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ∴．如图，连接，由旋转的性质得，∴，∴；（2）①当直线时，如图，过作于，交于，则四边形是矩形，，，，，，，，∵，∴，24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ∴，即，解得．在旋转过程中，当点K，H，C三点共线时，如图，由旋转的性质得，，，，，设，在中，，，解得：．．（3）如图，连接，则，当、、三点共线，且点在线段上时，，24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 此时的值最小，最小，，，，最小值，当、、三点共线，且点在延长线上时，，此时，最大，，．【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及最小值等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．24学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司