弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积压轴题十种模型全攻略（解析版）

弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积压轴题十种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一已知圆心角的度数，求弧长】【考点二已知弧长，求圆心角的度数】【考点三求某点的弧形运动路径长度】【考点四已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】【考点五求图形旋转后扫过的面积】【考点六求弓形的面积】【考点七求其他不规则图形的面积】【考点八求圆锥的侧面积与底面半径】【考点九求圆锥侧面展开图的圆心角】【考点十圆锥侧面上最短路径问题】【过关检测】22【典型例题】【考点一已知圆心角的度数，求弧长】1(2023秋·江苏·九年级专题练习)已知扇形的半径为3cm，圆心角为150°，则该扇形的弧长为cm．5【答案】π/2.5π2【分析】直接利用弧长公式进行计算即可．nπr【详解】解：∵L=，扇形的半径为3cm，圆心角为150°，180150π×35∴扇形的弧长L==π，18025故答案为：π．2nπr【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式：L=是解题的关键．180【变式训练】1(2023·浙江湖州·统考一模)一个扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长为．【答案】2π【分析】利用弧长公式进行计算即可．90【详解】解：弧长为=π×4=2π；180故答案为：2π【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握弧长公式，是解题的关键．·1· 2(2023·浙江温州·统考中考真题)若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．【答案】4πnπr【分析】根据弧长公式l=即可求解．180【详解】解：扇形的圆心角为40°，半径为18，40∴它的弧长为×18π=4π，180故答案为：4π．【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．【考点二已知弧长，求圆心角的度数】10π1(2023·黑龙江哈尔滨·统考三模)一个扇形的面积为10π，弧长为，则该扇形的圆心角的度数为3．【答案】100°/100度1【分析】根据弧长和扇形面积关系可得S=lR，求出R，再根据扇形面积公式求解.210π【详解】∵一个扇形的弧长是，面积是10π，31110π∴S=lR，即10π=×R，解得：R=6，2232nπ×6∴S=10π=，解得：n=100°，360故答案为：100°．【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算．熟记公式，理解公式间的关系是关键.【变式训练】1(2023·江苏镇江·统考二模)扇形的弧长为6π，半径是12，该扇形的圆心角为度．【答案】90【分析】设此扇形的圆心角为x°，代入弧长公式计算，得到答案．【详解】解：设此扇形的圆心角为x°，12πx由题意得，=6π，180解得，x=90，故答案为：90．nπr【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式l=是解题的关键．1802(2023·浙江温州·校考三模)若扇形半径为4，弧长为2π，则该扇形的圆心角为．【答案】90°/90度【分析】设扇形圆心角的度数为n，根据弧长公式即可得出结论．【详解】解：设扇形圆心角的度数为n，∵扇形的弧长为2π，nπ×4∴=2π，180°∴n=90°．故答案为：90°．【点睛】本题考查的是扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式及弧长公式是解答此题的关键．·2· 【考点三求某点的弧形运动路径长度】1(2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习)如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△AOB，其中点A与点A对应，点B与点B对应．如果A-4,0，B-1,2．则点A经过的路径长度为(含π的式子表示)【答案】2πnπr【分析】A点坐标为已知，求出OA长度，再利用弧长公式l=求解即可．180【详解】解：∵A-4,0如图，由题意A点以原点O旋转中心旋转了90°90⋅π×4∴点A经过的路径AA的长度==2π180故答案为：2π．【点睛】本题考查图形的旋转、弧长等知识点，需要熟练掌握弧长计算公式．【变式训练】1(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，∠B=60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ABC，若点B的对应点B恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是cm(结果用含π的式子表示)．【答案】3π【分析】由于AC旋转到AC，故C的运动路径长是CC的圆弧长度，根据弧长公式求解即可．【详解】以A为圆心作圆弧CC，如图所示．·3· 在直角△ABC中，∠B=60°，则∠C=30°，则BC=2AB=2×3=6cm．2222∴AC=BC-AB=6-3=33cm．由旋转性质可知，AB=AB，又∠B=60°，∴△ABB是等边三角形．∴∠BAB=60°．由旋转性质知，∠CAC=60°．60π故弧CC的长度为：×2×π×AC=×33=3πcm；3603故答案为：3π°【点睛】本题考查了含30角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C点的运动轨迹．2(2023·广东东莞·校考一模)如图，△ABC和△AB′C′是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为12cm．三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，则点A′所转过的路径长为cm．【答案】2π1【分析】根据三角形内角和和含30度的直角三角形三边的关系得到∠A=60°,AC=AB=6cm，再根据2旋转的性质得CA′=CA，于是可判断△CAA′为等边三角形，所以∠ACA′=60°，然后根据弧长公式计算弧AA′的长度即可．【详解】∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，1∴∠A=60°,AC=AB=6cm，2∵三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上，∴CA′=CA，∴△CAA′为等边三角形，∴∠ACA′=60°，60°π×6∴弧AA′的长度==2πcm，180°即点A′所转过的路径长为2πcm．答案为：2π．·4· 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了弧长公式．【考点四已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】21(2023·江苏·九年级假期作业)已知扇形的圆心角为80°，半径为3cm，则这个扇形的面积是cm．【答案】2π【详解】根据扇形的面积公式即可求解．280π×32【分析】解：扇形的面积==2πcm．360故答案是：2π．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．【变式训练】1(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测)一个扇形的弧长是8πcm，圆心角是144°，则此扇形的面积是．【答案】40π【分析】设该扇形的半径为rcm，然后根据弧长公式计算半径，然后根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：设该扇形的半径为rcm，由题意得：144πr=8π，解得：r=10，18011S扇形=lr=×8π×10=40π，22故答案为：40π．【点睛】本题主要考查弧长计算公式及扇形面积计算公式，熟练掌握弧长计算公式和扇形面积计算公式是解题的关键．2(2023·海南海口·海师附中校考三模)如图，正五边形ABCDE的边长为4，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是．24【答案】π5【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：∵正五边形的外角和为360°，∴每一个外角的度数为360°÷5=72°，∴正五边形的每个内角为180°-72°=108°，∵正五边形的边长为4，2108⋅π×424∴S阴影==π，360524故答案为：π．5·5· 【点睛】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．【考点五求图形旋转后扫过的面积】1(2023·河南安阳·统考一模)如图，将半径为1，圆心角为60°的扇形OAB绕点A逆时针旋转36°，得到扇形OAB，则AB扫过的区域(即图中阴影部分)的面积为．π【答案】10【分析】结合已知条件及旋转性质，根据面积的和差可得S阴影=S扇形BAB，然后利用扇形面积公式计算即可．【详解】∵OA=OB=1，∠AOB=60°，∴△AOB为等边三角形，∴AB=OA=1，由旋转性质可得，∠OAO=∠BAB=36°，S△AOB=S△AOB，则S阴影=S扇形BAB+S△AOB-S扇形AOB+S扇形AOB-S△AOB，=S，扇形BAB236π×1=，360π=，10π故答案为：．10【点睛】此题考查了扇形的面积及旋转性质，结合已知条件将阴影部分面积转化为扇形的面积是解题的关键．【变式训练】1(2022春·四川德阳·九年级校考阶段练习)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△ABC，已知AC=3，BC=2，则线段AB扫过的图形(阴影部分)的面积为．5π5【答案】/π33【分析】由于将△ABC绕点C旋转120°得到△ABC，可见，阴影部分面积为扇形ACA′减扇形BCB′，分·6· 别计算两扇形面积，在计算其差即可．【详解】解：从图中可以看出，线段AB扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC，小圆半径是22120π×3-25BC，圆心角是120°，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积==π3603【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键．2(2022秋·山东烟台·九年级统考期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=8，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ABC的位置，使C、A、B三点在同一条直线上，则直角边BC扫过的图形面积为．【答案】16π【分析】根据题意可得：AC=AC=4，BC=BC=43，∠BAC=∠BAC=∠CAB=60°，因此直角边BC扫过的图形面积为S=S△ABC+S扇形BAB-S扇形CAC-S△ABC，因为S△ABC=S△ABC，因此S=S扇形BAB-S扇形CAC，代入数值即可求得答案．【详解】解：根据题意可得：AC=AC=4，BC=BC=43，∠BAC=∠BAC=∠CAB=60°，△ABC≌△ABC，所以直角边BC扫过的图形面积为S=S△ABC+S扇形BAB-S扇形CAC-S△ABC，由于S△ABC=S△ABC，22120°×π×8120°×π×464π16π所以S=S扇形BAB-S扇形CAC=-=-=16π，360°360°33故答案为：16π．【点睛】本题考查了轨迹问题，关键是根据旋转的性质，找出BC扫过的面积构成，利用扇形的面积公式计算即可．【考点六求弓形的面积】1(2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测)如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=6，则阴影部分的面积是．【答案】9π-18【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解．【详解】∵OA=OB=6，∠AOB=90°，290π×61∴S阴=S扇形OAB-S△AOB=-×6×6=9π-18．3602故答案为：9π-18．·7· 【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键．【变式训练】1(2023·山东泰安·统考二模)如图C、D在直径AB=4的半圆上，D为半圆弧的中点，∠BAC=15°，则阴影部分的面积是2【答案】π-33【分析】设AB的中点为O，连接OD,OC，用扇形COD的面积减去△COD的面积即可得出结果．【详解】解：设AB的中点为O，连接OD,OC，∵C、D在直径AB=4的半圆上，D为半圆弧的中点，∠BAC=15°，∴OD=OC=2，∠DOB=90°,∠COB=2∠BAC=30°，∴∠DOC=∠DOB-∠COB=60°，∴△COD为等边三角形，∴CD=OD=OC=2，1过点O作OE⊥CD，则：CE=CD=1，222∴OE=OC-CE=3，260π×212∴阴影部分的面积=S扇形COD-S△COD=-×2×3=π-3；360232故答案为：π-3．3【点睛】本题考查求弓形的面积，同时考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．将阴影部分的面积转化为扇形的面积减去三角形的面积，是解题的关键．2(2023·河南周口·校联考三模)如图，在△ABC中，BC=BA=4，∠C=30°，以AB中点D为圆心、AD长为半径作半圆交线段AC于点E，则图中阴影部分的面积为．4π【答案】-33【分析】连接DE，BE，然后根据已知条件求出∠ABE=60°，AE=23，从而得到∠ADE=120°，最后结合扇形的面积计算公式求解即可．【详解】解：如图，连接DE，BE．·8· ∵AB为直径，∴∠BEA=90°．∵BC=BA，∴∠BAC=∠BCA=30°，13∴∠ABE=60°，BE=AB=2，AE=3BE=AB=23，22∵BD=DE，∴△BDE是等边三角形，∴∠ADE=120°，∴阴影部分的面积=S扇形DAE-S△ADE2120π×21=-S△ABE36022120π×2114π=-××23×2=-33602234π=-3．34π故答案为：-3．3【点睛】本题考查阴影部分面积计算问题，涉及到扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，直径所对的圆周为直角等，掌握扇形面积计算公式是解题关键．【考点七求其他不规则图形的面积】1(2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习)图1是以AB为直径的半圆形纸片，AB=8，沿着垂直于AB的半径OC剪开，将扇形OAC沿AB向右平移至扇形OAC，如图2，其中O是OB的中点，OC交BC于点F，则图中阴影部分的面积为．8π【答案】-233【分析】根据题意和图形，利用勾股定理，可以求得OF的长，再根据图形，可知阴影部分的面积=扇形COB的面积∽△OOF的面积-扇形OFC的面积，计算即可．【详解】解：连接OF，·9· 由题意可得，OB=4，OO=2，∠OOF=90°，∴∠OFO=30°，∴∠OOF=60°，∴OF=23，2290π×42×2330×π×48π∴阴影部分的面积是：--=-23，360236038π故答案为：-23．3【点睛】本题考查扇形面积的计算、平移的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式训练】1(2023·河南信阳·统考一模)如图，正五边形ABCDE的边长为1，分别以点C，D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为．(结果保留π)3π【答案】-215【分析】连接CF，DF，由CF=DF=CD=1，得∠FCD=∠FDC=60°，求出∠FCD=∠FDC=60°，根据公式求出S扇形BCF，S正△CFD，S扇形CDF，即可得到阴影面积．【详解】如图，连接CF，DF，(5-2)×180°由题意，得∠BCD==108°，5∵CF=DF=CD=1，∴∠FCD=∠FDC=60°，∴∠BCF=108°-60°=48°，248π×12π∴S扇形BCF==，36015323S正△CFD=×1=，44260π×1πS扇形CDF==，36062π3π3π∴S阴影BCF=+-=-，15464303π3π∴S阴影=4-30×2=2-15，·10· 3π故答案为：-．215【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，扇形面积公式，正多边形的性质，正确理解图形面积的计算方法连接辅助线是解题的关键．2(2023·河南南阳·统考模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，以D为圆心，以AD长为半径画弧，以C为圆心，以CD长为半径画弧，两弧恰好交于BC上的点E处，则阴影部分的面积为．1【答案】2【分析】如图，连接DE，根据勾股定理，得DE=2，根据阴影部分的面积S1为：扇形AED的面积减去S2，根据S2的等于扇形DCE的面积减去S3，即可求解．【详解】解：连接DE，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BCD=90°，AB=DC=1，∵EC=DC=1，∴∠CDE=45°，∴∠ADE=45°，245π×2π∴扇形DAE的面积为：=，3604290π×11π1∵S2=S扇形DCE-S3=-×1×1=-，360242ππ11∴阴影部分的面积为：S1=S扇形ADE-S2=4-4-2=2．1故答案为：．2【点睛】本题考查矩形的性质，扇形的面积，三角形面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质．【考点八求圆锥的侧面积与底面半径】·11· 1(2023·全国·九年级专题练习)若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是．(结果保留π)【答案】10π【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．【详解】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×5=10π，故答案为：10π．【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．【变式训练】1(2023春·云南昭通·九年级统考期中)若圆雉的侧面积为12π，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是．【答案】4【分析】根据圆锥的侧面积=πrl，列出方程求解即可．【详解】解：∵圆锥的侧面积为12π，底面半径为3，3πl=12π．解得：l=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解．2(2023·广东梅州·统考一模)若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为2cm．(结果保留π)【答案】12π【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．【详解】解：∵圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，12∴圆锥的侧面积为×2×3π×4=12πcm．2故答案为：12π．【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，属于简单题，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．3(2023·江苏·九年级假期作业)已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是120°，母线长为3，则圆锥的底面圆的半径是．【答案】1【分析】设该圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周120×π×3长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr=，然后解关于r的方程即可．180120×π×3【详解】设该圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr=，180解得r=1．故答案为1．【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．4(2023·浙江衢州·统考二模)某个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径为cm．【答案】2【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．·12· 【详解】解：设此圆锥的底面半径为rcm，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，120π×62πr=，180r=2故答案为2．【点睛】此题考查了圆的周长和圆弧长的计算，熟练掌握它们的计算公式是解题的关键．【考点九求圆锥侧面展开图的圆心角】1(2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习)已知圆锥的底面圆半径是2，母线长是4，则圆锥侧面展开的扇形圆心角是．【答案】180°/180度【分析】根据圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解．【详解】解：∵圆锥底面半径是2，∴圆锥的底面周长为4π，设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°，nπ×4∴=4π，180解得：n=180，∴圆锥侧面展开的扇形圆心角是180°．故答案为：180°．【点睛】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角．掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长是解题的关键．【变式训练】1(2023·江苏·九年级假期作业)已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为，圆锥侧面展开图形的圆心角是度．【答案】15π216【分析】根据圆锥的侧面积公式S侧=πrl即可求解该圆锥的侧面积；结合弧长公式求出圆锥侧面展开图形的圆心角即可．【详解】解：圆锥的侧面积S侧=π×3×5=15π，圆锥的底面周长L=2π×3=6π，180×6π扇形圆心角==216°．π×5故答案为：15π，216．【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．2(2023·江苏·九年级假期作业)若要制作一个母线长为9cm，底面圆的半径为4cm的圆锥，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．【答案】160°/160度【分析】利用圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系计算，即可求解．【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是n，·13· nπ×9根据题意得：2π×4=，180解得n=160，即这个圆锥的侧面展开图的圆心角是160°，故答案为：160°．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系，明确圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长是解答本题的关键．【考点十圆锥侧面上最短路径问题】1(2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末)如图，已知圆锥底面半径为20cm，母线长为60cm，一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周(回到原来的位置A)所爬行的最短路径为cm．(结果保留根号)【答案】603【分析】把圆锥的侧面展开得到圆心角为120°，半径为60的扇形，求出扇形中120°的圆心角所对的弦长即为最短路径．【详解】解：圆锥的侧面展开如图：过S作SC⊥AB,∴AC=BC设∠ASB=n°，nπ×60即：2π×20=，180得：n=120，∴∠ASC=60°3∴AC=AS×sin∠ASC=60×=3032∴AB=2AC=603，故答案为：603．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，特殊角的锐角三角函数值，将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键．【变式训练】1(2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中)如图，AB是圆锥底面的直径，AB=6cm，母线PB·14· =9cm．点C为PB的中点，若一只蚂蚁从A点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为．939【答案】/322【分析】先画出圆锥侧面展开图(见解析)，再利用弧长公式求出圆心角∠APA的度数，然后利用等边三角93形的判定与性质、勾股定理可得AC=，最后根据两点之间线段最短即可得．2【详解】画出圆锥侧面展开图如下：如图，连接AB、AC，设圆锥侧面展开图的圆心角∠APA的度数为n°，因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长，nπ×9所以=2π×3，180解得n=120，1则∠APB=APA=60°，2又∵AP=BP=9，∴△ABP是等边三角形，∵点C为PB的中点，19∴AC⊥BP，CP=BP=，222293在Rt△ACP中，AC=AP-CP=，293由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为AC=，293故答案为：．2【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键．2(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中)如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若∠AOA=120°，OA=3，则蚂蚁爬行的最短距离是．·15· 【答案】3【分析】连接AA′，作OB⊥AA′于点B，根据题意，结合两点之间线段最短，得出AA′即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理得出∠OAB=30°，再根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边33的一半，得出OB=，再根据勾股定理，得出AB=，再根据三线合一的性质，得出AB=A′B，再根据22线段之间的数量关系，得出AA′=3即可解答．【详解】解：如图，连接AA′，作OB⊥AA′于点B，∴AA′即为蚂蚁爬行的最短距离，∵OA=OA′，∠AOA′=120°，∴∠OAB=30°，在△OAB中，OB⊥AA′，∠OAB=30°，113∴OB=OA=×3=，222222323∴AB=OA-OB=3-=，22在△AOA′中，OA=OA′，OB⊥AA′，∴AB=A′B，3∴AA′=2AB=2×=3．2∴蚂蚁爬行的最短距离为3．故答案为：3【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键．【过关检测】一、单选题1(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测)一个扇形的半径是4cm，圆心角是45°，则此扇形的弧长是()·16· A.πcmB.2πcmC.4πcmD.8πcm【答案】A【分析】根据弧长公式进行计算即可．【详解】解：由题意得，扇形的半径为4cm，圆心角为45°，45π×4故此扇形的弧长为=πcm，180故选：A．【点睛】此题考查了扇形弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握弧长计算公式，难度一般．2(2023·浙江温州·校联考三模)已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为()A.8πB.10πC.12πD.20π【答案】D【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．【详解】解：根据题意可得：圆锥的侧面积为：π×4×5=20π，故选：D．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长．3(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到ABC的位置．若BC的长为7.5cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为()A.10πcmB.103πcmC.15πcmD.20πcm【答案】A【分析】顶点A从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点C为圆心，AC为半径的圆弧，旋转的角度是180°-60°=120°，所以根据弧长公式可得．【详解】解：在含有30°角的直角三角板ABC中，∠ACB=60°，BC=7.5cm，∴∠ACA=120°，AC=2BC=15cm，120π×15∴=10πcm，180故选：A．【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是弄准弧长的半径和圆心角的度数．4(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=3，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在AB上的点D处，折痕为BC，则阴影部分的面积为()·17· 3π-339ππ-33π-3A.B.-33C.D.2444【答案】B【分析】连接OD，由折叠的性质可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，从而得到△OBD为等边三33角形，再求出∠CBO=30°，从而得出OC=3，进行得出S△BOC=，最后由△BOC与△BDC面积相2等及S阴影=S扇形AOB-S△BOC-S△BDC，进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，连接OD，，根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，∴OB=BD=OD，∴△OBD为等边三角形，∴∠DBO=60°，1∴∠CBO=∠DBO=30°，2∵∠AOB=90°，3∴OC=OB⋅tan∠CBO=3×=3，3133∴S△BOC=OB⋅OC=，22∵△BOC与△BDC面积相等，∴S阴影=S扇形AOB-S△BOC-S△BDC123333=π×3--4229=π-33，4故选：B．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、扇形面积的计算-求不规则图形的面积，添加适当的辅助线，得到S阴影=S扇形AOB-S△BOC-S△BDC是解题的关键．5(2023·辽宁抚顺·统考一模)如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宜传展板，该展板的部·18· 分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA,OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若OA=3m,OB=1.5m，则阴影部分的面愁为()2222A.4.25πmB.25πmC.3πmD.2.25πm【答案】D【分析】根据S阴影=S扇形DOA-S扇形BOC计算即可．【详解】S阴影=S扇形DOA-S扇形BOC120π×9120π×94=-3603602=2.25πm故选：D．2nπR【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键．360二、填空题6(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)圆锥母线长l=8，底面圆半径r=2，则圆锥侧面展开图的圆心角θ是．【答案】90°/90度【分析】根据弧长公式，弧长与圆锥底面圆的周长相等，建立等式计算即可．【详解】∵圆锥母线长l=8，底面圆半径r=2，圆锥侧面展开图的圆心角θ，θπl∴2πr=，180360×2×π∴θ==90°，8π故答案为：90°．【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开，弧长公式，熟练掌握展开的特点，牢记弧长公式是解题的关键．37(2023秋·河北唐山·九年级统考期末)如图，半圆O的直径AB=6，弦CD=3，AD的长为π，则4BC的长为．5π【答案】4【分析】由题意可知：△OCD是等边三角形，从而可求出弧CD的长度，再求出半圆弧的长度后，即可求出弧BC的长度．【详解】解：连接OD、OC，·19· ∵CD=OC=OD=3，∴△CDO是等边三角形，∴∠COD=60°，60⋅π×3∴CD的长==π，1801又∵半圆弧的长度为：×6π=3π，23π5π∴BC=3π-π-=．445π故答案为：4【点睛】本题考查圆了弧长的计算，等边三角形的性质等知识，属于中等题型．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)用半径为24cm，面积为120πcm的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为cm．【答案】5【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：S=π⋅r⋅l，就可以求出圆锥的底面圆的半径．【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r，l=24，由扇形的面积：S=π⋅r⋅l=120π，得：r=5故答案为：5【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线．9(2023·吉林长春·校联考二模)如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上(点C不与A、B重合)，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC．若∠D=45°，则BC的长度是(结果保留π)π1【答案】/π22【分析】连接OC，根据切线的性质，得出∠OCD=90°，再根据三角形的内角和定理，得出∠DOC=45°，即∠BOC=45°，再根据圆的基本概念，得出OB=2，再根据弧长公式，计算即可．【详解】解：如图，连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，·20· ∴∠OCD=90°，又∵∠D=45°，∴∠DOC=180°-∠D-∠OCD=180°-45°-90°=45°，即∠BOC=45°，又∵AB是⊙O的直径，AB=4，∴OB=2，45×2ππ∴BC的长度为：=．1802π故答案为：．2【点睛】本题考查了切线的性质、三角形的内角和定理、弧长公式，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．10(2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末)如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=5，OB=3，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA，ED长为半径画AF和DF，连接AD，则图中阴影部分面积是．339【答案】-π24【分析】作DH⊥AE于点H，根据勾股定理求出AB，根据面积和差计算即可．【详解】如图，过D作DH⊥AE于H，∵∠AOB=90°，OB=3，AB=5，2222∴由勾股定理得：OA=AB-OB=5-3=4，由旋转的性质可知，OE=OB=3，DE=EF=AB=5，∵∠OFE+∠FEO=∠OED+∠FEO=90°，∴∠OFE=∠OED，∴△DHE≌△BOAAAS，∴DH=OB=3，∴S阴影部分=S△ADE+S△EOF+S扇形AOF-S扇形DEF，221190πOA90πDE=AE·DH+OE·OF+-，22360360221190π×490π×5=×7×3+×3×4+-，22360360339π=-，24339π故答案为：-．24【点睛】此题考查了扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质与判定，掌握扇形的面积公式和旋转·21· 的性质是解题的关键．三、解答题11(2023秋·河北张家口·七年级统考期末)一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角为120°，另外两个扇形的圆心角度数的比为3:5．(1)求另外两个扇形的圆心角；(2)若圆的半径是5cm，求圆心角为120°的扇形的面积(结果保留π)．【答案】(1)90°和150°252(2)πcm3【分析】(1)设另外两个扇形的圆心角度数分别为3x度与5x度，根据周角为360°，即可求得x的值，从而求得另外两个扇形圆心角度数；(2)利用扇形面积公式计算即可．【详解】(1)解：设另外两个扇形的圆心角度数分别为3x度与5x度，由题意得：3x+5x+120=360，解得：x=30，另外两个扇形的圆心角分别为：3×30°=90°，5×30°=150°答：另外两个扇形的圆心角分别为90°和150°．2120π×525π2(2)解：由扇形面积公式得：=(cm)，3603252答：圆心角为120°的扇形的面积πcm．3【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、求扇形面积等知识，题目较简单，是基础题，掌握这些知识是关键．12(2023春·湖南长沙·九年级校联考期中)如图，在矩形ABCD中，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与对角线AC相交于点E，与边AB相交于点F，连接BE，且BC=BE．(1)求证：BE为⊙O的切线；(2)若当点E为AC的中点时，⊙O的半径为1，求阴影部分的面积．【答案】(1)见详解；3π(2)+．46【分析】(1)连接OE，得到∠OEA=∠OAE，利用等角代换证明∠OEA+∠BEC=90°，从而得到∠OEB=90°，即证BE为⊙O的切线；(2)过点O作OH⊥AE，当点E为AC的中点时，可证△BCE为正三角形，从而得到∠BAC=30°，∠EOB=60°，利用垂径定理和含30°角的直角三角形的性质可求得OH、AE的长，再利用三角形面积公式和扇形面积公式即可求阴影面积．【详解】(1)证明：连接OE，·22· ∴∠OEA=∠OAE，∵BC=BE，∴∠BCE=∠BEC，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，在矩形ABCD中，∠BCE+∠OAE=90°，∴∠OEA+∠BEC=90°，∴∠OEB=90°，∴OE⊥BE，∴BE为⊙O的切线，(2)由题意，在Rt△ABC中，当点E为AC的中点时，且BC=BE，则△BCE为正三角形，即∠BCA=60°，∴∠BAC=30°，∴∠EOB=60°，过点O作OH⊥AE于H，如图所示；∵⊙O的半径为1，∴OA=OE=1，11∴OH=OA=222123∴AE=2AH=2×1-2=2×=3，221nπR∴S阴影部分=S△AEO+S扇形=×AE×OH+，236021160π×1=×3×+，223603π=+．46【点睛】本题考查圆的计算与证明--切线的证明与线段长的计算，涉及到的知识点有切线的证明方法、垂径定理、矩形的性质、含30度的直角三角形的性质与斜边中线性质、等边三角形的判定与性质，三角形面积与扇形面积公式、不规则图形面积的求法、辅助线的应用；掌握直角三角形的边角关系以及矩形、等腰三角形的性质是解题的关键．13(2023·江苏·九年级假期作业)如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：(1)请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为；(2)连接AD、CD，则⊙D的半径为；扇形DAC的圆心角度数为；(3)若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．【答案】(1)画图见解析，2，0(2)25，90°·23· 5(3)2【分析】(1)找到AB，BC的垂直平分线的交点D，设D2，y，由AD=CD，利用两点间距离公式解方程即可求出y的值，即可得到圆心坐标；(2)利用勾股定理求出AD，AC得长，即可得到圆的半径长，再根据勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，即∠ADC=90°，则扇形DAC的圆心角度数为90°；(3)先求得扇形弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【详解】(1)解：作AB、BC的垂直平分线相交于点D．设D2，y．∵AD=CD，2222∴2+4-y=6-2+2-y，解得：y=0，∴D2，0．(2)解：如图所示，连接AC，2222由(1)得AD=AO+OD=4+2=25，∴⊙D的半径为25；22∵AC=6-0+2-4=210，222∴AD+CD=AC，∴△ADC是直角三角形，即∠ADC=90°，∴扇形DAC的圆心角度数为90°，故答案为：25，90°；90×π×255(3)解：由题意得，该圆锥的底面半径为÷2π=；1802【点睛】本题考查了垂径定理的推论以及圆锥的有关计算，勾股定理和勾股定理得逆定理．用到的知识点为：非直径的弦的垂直平分线经过圆心；圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆周长．14(2023秋·河南周口·九年级校考期末)图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥(如图2)，制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径ED=6cm，母线长AD=12cm．(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．(2)求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【答案】(1)∠BAC=90°(2)144-36π【分析】(1)设∠BAC=n，根据圆锥侧面展开图的扇形面积公式，即可求解；(2)分别求得△ABC和扇形AEF的面积，进而即可求解．n【详解】(1)解：设∠BAC=n，依题意，π⋅DE×AD=π×AD360°·24· 1DE23∴n=×360°=×360°=90°，AD12∴∠BAC=90°；(2)解：设加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积为S，∵∠BAC=90°，△ABC是等腰直角三角形，12∴S△ABC=BC×AD=AD=144，290212∴S扇形AEF=π×AD=π×12=36π,3604∴S=144-36π【点睛】本题考查了圆锥侧面积公式，扇形面积公式，掌握扇形面积公式是解题的关键．15(2023秋·江西赣州·九年级统考期末)如图AB为⊙O的直径，且AB=2，点C是弧AB上的一动点(不与A，B重合)，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．(1)若BD=4，求线段AC的长度；(2)求证：EC是⊙O的切线；(3)当∠D=30°时，求图中阴影部分面积．25【答案】(1)AC=5(2)见解析π(3)3-3【分析】(1)连接BC，如图，连接BC，根据切线的性质得到∠ABD=90°，根据勾股定理得到AD=22AB+BD=25，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论；(2)连接OC，OE，由E是BD的中点，可得CE=BE，证明△OCE≌△OBE，得∠OCE=∠OBE=90°，则结论得证；(3)阴影部分的面积即为四边形OBED的面积减去扇形COB的面积．【详解】(1)如图，连接BC，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD=90°,∵AB=2,BD=4，22∴AD=AB+BD=25，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AD，AB⋅BD2×445∴BC===，AD255·25· 2225∴AC=AB-BC=；5(2)连接OC,OE,∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△BDC中，∵BE=ED，∴DE=EC=BE，∵OC=OB,OE=OE,∴△OCE≌△OBESSS，∴∠OCE=∠OBE,∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD=90°，∴∠OCE=∠ABD=90°,∵OC为半径，∴EC是⊙O的切线；(3)∵OA=OB,BE=DE,∴AD∥OE,∴∠D=∠OEB，∵∠D=30°,∴∠OEB=30°,∠EOB=60°，∴∠BOC=120°，∵AB=2,∴OB=1,∴BE=3．1∴四边形OBEC的面积为2S△OBE=2××1×3=3，22120⋅π×1π∴阴影部分面积为S四边形OBEC-S扇形BOC=3-=3-．3603【点睛】此题考查了圆的综合题，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，直角三角形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法，正确的作出辅助线是解题的关键．·26·