数学（二）-2024年高考考前20天终极冲刺攻略（新高考新题型专用）

目录contents（二）三角恒等变换（选填题）……………………………………………………03平面向量（选填题）…………………………………………………………18指对数运算及比较大小（选填题）…………………………………………37三角函数（选填题）………………………………………………………50集合（选填题）………………………………………………………………70学科网（北京）股份有限公司,三角恒等变换（选填题）年份题号知识点考点2021年I卷6三角恒等变换已知条件求值问题2021年II无卷2022年I卷无①三角函数和差、半角正余弦公式2022年II②三角函数和差、半角正切公式6三角函数化简卷③三角函数辅助角公式④三角函数万能公式①三角函数和差、半角正余弦公式2023年新②三角函数和差、半角正切公式8三角恒等变换高考1③三角函数辅助角公式④三角函数万能公式①三角函数和差、半角正余弦公式2023年新②三角函数和差、半角正切公式高考27三角函数的诱导公式③三角函数辅助角公式④三角函数万能公式近三年，三角恒等变换在选填中占据一个位置，考查的考点一般来说是：1、已知条件求值问题（①“给角求值”②“给值求值”③“给值求角”）2、求非特殊角三角函数值运算（①整体换元利用恒等变形公式计算其结果②对偶式处理③记住一些特殊角的三角函数值）3、正余弦三角函数值加减问题（①三角函数和差、半角正余弦公式②三角函数和差、半角正切公式③三角函数辅助角公式④三角函数三剑客）2学科网（北京）股份有限公司,4、tan与齐次式互换（掌握五类变形的标准）题干的设置一般来说在上述的四项考点中选其一项。三角恒等变换需要认真分类，熟练掌握各类题的技巧，即目测题后瞬间就能想到对应的做题方案，便可轻松搞定。三角恒等变换在2024新高考新题型中的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查齐次化和已知条件求值问题为主，三角恒等变换在选填中难度中等，考生可适当留意常见的变换并分类，每一类总结出一个固定模板，以便此类题在高考出现时考生能做到心中有数，快速解答.一、已知条件求值问题Ⅰ诱导公式的秒记奇变偶不变，符号看象限①奇变偶不变关键要看所加弧度是的奇数倍还是偶数倍2若是奇数倍则sincos互变，若是偶数倍，则sincos不变33例如：sin∵是的3倍，3属于奇数，故先变为cos2220②符号看象限首先将永远看成30，其次利用sin看上下，cos看左右进行秒杀000上个例题中变成cos后，然后判断符号，27030300，所以位于第四象限，利用sin看上下，所以原式为负，化简结果为cos000例如：cos∵是的2倍，2属于偶数，故先变为cos，然后判断符号，18030210，2所以位于第三象限，利用cos看左右，所以原式为负，化简结果为cos.Ⅱ诱导公式的延伸n结论Ⅰ：sinn1sinnZ3学科网（北京）股份有限公司,推导如下①当n2kkZ时，2k由诱导公式有sin2ksin1sinkZ②当n2k1kZ时，由诱导公式有2k1sin2k1sin2ksinsin1sinkZn结论Ⅱ：cosn1cosnZ推导如下①当n2kkZ时，2k由诱导公式有cos2kcos1coskZ②当n2k1kZ时，由诱导公式有2k1cos2k1cos2kcoscos1coskZn1结论Ⅲ：sinn1sinnZ①当n2kkZ时，2k1由诱导公式有sin2ksin1sinkZ②当n2k1kZ时，由诱导公式有2ksin2k1sin2ksinsin1sinkZn结论Ⅳ：cosn1cosnZ推导如下①当n2kkZ时，2k由诱导公式有cos2kcos1coskZ②当n2k1kZ时，由诱导公式有2k1cos2k1cos2kcoscos1coskZⅢ诱导公式的妙用技巧总结题中出现同名三角函数相加且首尾互余或互补时，则采用倒序相加的思想处理此类问题4学科网（北京）股份有限公司,2n2n1模型：coscoscoscosn为大于2的奇数…①nnnnn1n22coscoscoscosn为大于2的奇数…②nnnnn1n22由①+②得coscoscoscosn为大于2的奇数nnnn由诱导公式可得每一组都为0Ⅳ诱导公式的超级应用技巧总结针对已知条件求值问题，则遵循以下步骤（万能）第一步：将目标角和已知角全拿出来第二步：通过加减乘消去或x第三步：用已知角代替目标角第四步：利用诱导公式或三角恒等变换处理二、求非特殊角三角函数值运算问题Ⅰ三角函数非特殊角选择问题技巧总结00000记住常见数据：sin60.1,sin120.2,sin180.3,sin240.4,sin300.500000sin370.6,sin440.7,sin530.8,sin640.9,sin901.000sin750.96，sin450.71Ⅱ三角函数非特殊角填空问题技巧总结一些非特殊角的三角恒等变形求值填空题，由于最后得出的是一个具体的数值，故将其设为一个元t，再利用恒等变形公式计算其结果Ⅲ针对非特殊角三角函数值运算有两种思路思路1：采用对偶式处理步骤如下：第一步：令原式为x，对偶式为y第二步：两式相加xy?，两式相减xy?第三步：解二元一次方程组，求解x5学科网（北京）股份有限公司,思路2：若原式拥有两个角的运算，可借助三角形处理步骤如下：第一步：构造△ABC,A?、B?、C?外接圆直径2R1第二步：应用正弦定理求出a?、b?、c?第三步：应用余弦定理表示求出答案三、正余弦三角函数值加减问题Ⅰ三角函数三剑客技巧总结三角函数sincos、sincos、sincos称为《三剑客》，《三剑客》中《知一求二》理由如下：222sincossin2sincoscos12sincos222sincossin2sincoscos12sincos如果已知sincos求sincos必须会判断sincos的正负判断如下：①关于sincos的符号判断当角的终边在区域2、3、4、5则有sincos＞0当角的终边在区域1、6、7、8则有sincos＜0当角的终边在直线yx上时，则有sincos0②关于sincos的符号判断当角的终边在区域8、1、2、3则有sincos＞0当角的终边在区域4、5、6、7则有sincos＜0当角的终边在直线yx上时，则有sincos0③关于sintan的符号判断当角的终边在区域1、2、5、6则有sintan＞0,sintan＜06学科网（北京）股份有限公司,当角的终边在区域3、4、7、8则有sintan＜0,sintan＞0当角的终边在x轴上时，则有sintan0结论：④若fsincos2sin则4Ⅰ当角在终边在区域1、2内时，f1,2Ⅱ当角在终边在区域3、8内时，f0,1Ⅲ当角在终边在区域4、7内时，f1,0Ⅳ当角在终边在区域5、6内时，f2,1⑤若fsincos2sin则4Ⅰ当角在终边在区域3、4内时，f1,2Ⅱ当角在终边在区域2、5内时，f0,1Ⅲ当角在终边在区域1、6内时，f1,0Ⅳ当角在终边在区域7、8内时，f2,1结论1：出现asinbcosA形式则采用对偶式处理asinbcosA1acosbsinB222222212asinbcosacosbsinAB22222222abABBabA然后利用二元一次方程组快速求解sin、cos22a特殊情况：asinbcosab则tanb结论2：速记一些常见的勾股数，然后利用直角三角形处理3,4,5，5,12,13，7,24,25，8,15,17，1,1，2，1，3,21,2，51,3，101,7,52Ⅱ三角函数和差、半角正余弦公式技巧总结7学科网（北京）股份有限公司,①两角和与差的正弦公式口诀：正余余正，符号相同sinsincoscossinsinsincoscossinsinsincoscossin2sincos故：sin22sincos②两角和与差的余弦公式口诀：余余正正，符号相反coscoscossinsincoscoscossinsin2222coscoscossinsincossin2cos112sinⅢ三角函数和差、半角正切公式技巧总结tantantantan①tan②tan1tantan1tantan③tantantan1tantan④tantantan1tantantantantantan⑤1tantan⑥1tantantantan⑦tantantantantantan只要k,kZ都有tantan3tantan33只要k,kZ都有3tantantantan16只要k,kZ都有tantantantan14⑧△ABC中，tanAtanBtanCtanAtanBtanC（正切恒等式）Ⅳ三角函数辅助角公式技巧总结形如：asinbcos2222第一步：asinbcosabsinabcos8学科网（北京）股份有限公司,第二步：等号左侧若是加号，则等号右侧也为加号，等号左侧若是减号，等号右侧也为减号.第三步：的求算，只需在第一象限标明点a,b寻找夹角即可达到秒杀的境界.注意：若果a＜0，则需提负号，继续遵循以上步骤三角函数万能公式技巧总结万能公式如下2sincos2tan222①sin2sincos22222sincos1tan222222cossin1tan22222②coscossin22222sincos1tan2222tan2sin1cos③tan④tan221cossin1tan2记忆方法：令ttan2对tan2邻对sin2斜邻cos2斜之所以称之为万能公式是因为只要明确tan的值，则可以秒求sin、cos、tan2四、tan与齐次式互换技巧总结形式如下：asinbcos①形如的分式，可将分子分母同时除以coscsindcosasinbcoscoscosatanb得：csindcosctandcoscos22asinbsincosccos2②形如的分式，可将分子分母同时除以cos22dsinesincosfcos9学科网（北京）股份有限公司,22asinbsincosccos22asinbsincosccoscos2cos2cos2得：2222dsinesincosfcosdsinesincosfcos222coscoscos2atanbtanc2dtanetanf22③形如asinbsincosccos的式子，可将其看成分母为1的分式2222asinbsincosccosasinbsincosccos即：221sincos2可将分子分母同时除以cos22asinbsincosccos22asinbsincosccoscos2cos2cos2即：2222sincossincos22coscos2atanbtanc2tan122④形如asinbcosAasinbcosA22222asin2absincosbcosA2222asin2absincosbcos2A12222asin2absincosbcos2A22sincos222atan2abtanb2A求tan即可2tan122⑤形如acosbsin2acos2bsincos转化为形式③11典例1【2023新高考1卷】已知sin,cossin，则cos22（）．3610学科网（北京）股份有限公司,7117A.B.C.D.9999【答案】B111【解析】因为sin()sincoscossin，而cossin，因此sincos，3622则sin()sincoscossin，32221所以cos(22)cos2()12sin()12().39故选：B15典例2【2023新高考全国Ⅱ卷】已知为锐角，cos，则sin（）．4235153515A.B.C.D.8844【答案】D215【解析】因为cos12sin，而为锐角，242355151解得：sin．28164故选：D．典例3【2022新高考全国II卷】若sin()cos()22cossin，则（）4A.tan1B.tan1C.tan1D.tan1【答案】C【解析】[方法一]：直接法由已知得：sincoscossincoscossinsin2cossinsin,即：sincoscossincoscossinsin0，即：sincos011学科网（北京）股份有限公司,所以tan1故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取=，排除A,B；2再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=，排除D；选C.4[方法三]：三角恒等变换sin()cos()2sin（）=2sin（[）]442sin（）cos2cos（）sin22cos（）sin444所以2sin（）cos2co（s）sin44sin（）cosco（s）sin=0即sin（）=044422sin（）=sin（）cosco（s）sin=sin（）co（s）=044422sin（）=co（s）即tan(）=-1,故选：C.典例4【2021新高考全国Ⅰ卷】下列区间中，函数fx7sinx单调递增的区间是（）6π33A.0,B.,πC.,D.,22222【答案】A【解析】因为函数ysinx的单调递增区间为2k,2kkZ，22对于函数fx7sinx，由2kx2kkZ，626212学科网（北京）股份有限公司,2解得2kx2kkZ，332取k0，可得函数fx的一个单调递增区间为,，3322则0,,，,,，A选项满足条件，B不满足条件；23323358取k1，可得函数fx的一个单调递增区间为,，3332358358,,且,,，,2,，CD选项均不满足条件.233233233故选：A.πsin1sin2预测1（2024·宁夏银川·模拟预测）若tan()2，则（）4cossin3366A．-B．C．D．55551预测2（2024·浙江·模拟预测）已知coscoscoscos，则3sinsinsinsin（）1111A．B．C．D．6363πππ预测3（2024·山西·模拟预测）已知sinsincossin，则tan2（）6343A．3B．C．23D．233预测4（2024·贵州遵义·模拟预测）已知向量a(4,2)，b(2cos,2sin)，当ab取得最大值时tan（）1111A．B．C．D．23451预测5（2024·青海西宁·模拟预测）已知tantan5,coscos,则sin（）61154A．B．C．D．656513学科网（北京）股份有限公司,π32πππ押题1已知sin，则sin（）63333363663A．B．C．D．6633π353π押题2已知x0,,sinxcosx，则tanx（）454A．3B．3C．5D．213ππ押题3已知cosx,xπ,，则cosx（）523621621621263A．B．C．D．10101010ππ押题4若,π，且5cos22sin，则tan（）24431A．B．C．D．1343ππ1押题5已知,满足tan()3,tan()，则tan(2)（）61221132A．B．C．D．3343名校预测预测1：答案Aπtan1【详解】tan()2，解得tan3，41tan2sin1sin2sincossinsincossin所以22cossincossincossintan1tan3133.21tan195故选：A.预测2：答案B14学科网（北京）股份有限公司,【详解】因为coscoscossinsin，又coscoscossinsin，所以coscossinsincoscossinsin，1因为coscoscoscos，31则sinsinsinsincoscoscoscos.3故选：B.预测3：答案Cππ【详解】由sinsincossin，63321321得sinsincoscossincos，222232231即cossinsincos，所以cos2sin2，222所以tan23，π31所以tan223.4131故选：C.预测4：答案A255【详解】ab4sin8cos45sin()，其中sin，cos，55故当2k(kZ)时，ab取得最大值45，2sin2ksin2cos1此时tan，cossin2cos2k2故选：A.预测5：答案Csincoscossin【详解】因为tantan5,coscos1又coscos,615学科网（北京）股份有限公司,5所以sincoscossinsin5coscos,6故选C.名师押题押题1：答案B2ππππππ3π6【详解】由可得，又sin，则cos，332626363πππππππ336136故sinsinsincoscossin故选：B．366666632326押题2：答案A35π35π310【详解】因为sinxcosx，所以2sinx，所以sinx，545410πππππ2π10又x0,，所以x,，所以cosx1sinx，44424410π3πππ所以tanx3，故tanxtanxπtanx3.4444故选：A押题3：答案A21xπ,3π2126【详解】cosx，，sinx1cosx1，5255πππ11263621cosxcosxcossinxsin，333525210故选：A．押题4：答案Aπ2222【详解】由5cos22sin得5cossin2cossin，422即5cossincossincossin，π因为,π，所以cossin0，216学科网（北京）股份有限公司,1cossin，结合22所以cossin1，且cos0,sin0，534sin4得cos,sin，所以tan.55cos3故选：A.押题5：答案Bπ2tan()π1ππ124【详解】由tan()，得tan(2)tan2()，1226122π31tan()12ππ4tan()tan(2)3ππ6631所以tan(2)tan[()(2)].66ππ431tan()tan(2)13663故选：B平面向量（选填题）年份题号知识点考点2021年I卷10坐标向量坐标向量与三角函数的综合2021年II15平面向量平面向量数量积卷2022年I卷3平面向量用基底表示某向量2022年II平面向量数量积4坐标向量卷2023年新3坐标向量平面向量数量积高考116平面向量平面向量与双曲线综合2023年新13平面向量平面向量数量积高考217学科网（北京）股份有限公司,近三年，平面向量在选填中占据一个位置，考查的考点一般来说是：1、平面向量的基础知识及共线定理（①平面向量的四则运算②平面向量共线定理）2、平面向量极化恒等式及等和线（①极化恒等式②等和线定理）3、平面向量建系法及对角线向量定理（①平面向量建系法.②对角线向量定理③平面向量奔驰定理及向量四心④平面向量的基本运算及基底）题干的设置一般来说在上述的三项考点中选其一项。平面向量题目中若表示向量则最好采用建系的思想，平面向量题目中若表示求向量积最值问题则最好采用极化恒等的思想，另外考生们要想灵活应用小技巧则需在有限的时间内多推导几遍，考场中便可轻松搞定。从近三年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，其中平面向量数量积定值和向量积最值考查比较频繁平面向量三类题目比重相当，新高考主要以基向量表示平面向量及向量积最值的形式考查，因小结论偏多，考生需多推导一遍，试题灵活，下面为考生已总结..一、平面向量的基础知识及共线定理平面向量的四则运算技巧总结①向量加法与减法的法则：平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.图形表示：字母表示：OAOB=OC，OAOBBA坐标表示：记OAx,y，OBx,y则OAOBxy,xy11221122OBOAx2x1,y2y1三角形法则：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量18学科网（北京）股份有限公司,的终点为终点的向量.图形表示：字母表示：OAABOB坐标表示：记OAx,y，OBx,y则OAOBxy,xy11221122OBOAx2x1,y2y1②向量数乘的定义实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a图形表示：字母表示：ABmamR坐标表示：记a=(x,y)，则mamx,my③两个向量的数量积图形表示：字母表示：ababcosa,b坐标表示：记a(x,y)，b(x,y)，则abxxyy11221212注意：1、向量b与非．零．向．量．a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba.2、设ax,y,bx,y,a∥b，xyxy0，11221221a⊥bab0x1x2y2y10.x1x2y1y23、两个向量a，b的夹角公式：cos.2222xyxy1122平面向量共线定理技巧总结定理1：已知PCPAPB，若1，则A、B、C三点共线；反之亦然平面向量共线定理证明若点A、B、C互不重合，P是A、B、C三点所在平面上的任意一点，且满足PCxPAyPB，则19学科网（北京）股份有限公司,A、B、C三点共线xy1.证明:(1)由xy1A、B、C三点共线.由xy1得PCxPAyPBxPA(1x)PBPCPBx(PAPB)BCxBA.即BC，BA共线，故A、B、C三点共线.(2)由A、B、C三点共线xy1.由A、B、C三点共线得BC，BA共线，即存在实数x使得BCBA.故BPPCBPPAPCPA1PB.令x,y1，则有xy1.推广1：分点恒等式①当M为BC中点时；②当BM2MC；1112AM=ABACAM=ABAC2233③当BM3MC时；④当BMMC时，131AM=ABACAM=ABAC44111⑤当BMMC时，④中的结论仍然成立320学科网（北京）股份有限公司,31AM=ABAC22结论：分点恒等式：在ABC中，M为直线BC上一等分点，当BMMC时，1有AMABAC11分点恒等式变形：mn在ABC中，D是BC上的点，如果BD:CDm:n，则ADACABmnmn二、平面向量极化恒等式及等和线向量方法证明:平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.证明：不妨说ABa,ADb则ACab，DBab22222ACACaba2abb（1）21学科网（北京）股份有限公司,22222DBDBaba2abb（2）222222（1）（2）两式相加得：ACDB2ab2ABAD结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.122将上面（1）（2）两式相减，ababab极化恒等式4122即：abACDB（平行四边形模式）4ABMC在三角形ABC中（M为BC的中点），恒等式：22因为BC2BM，所以ABACAMBM（三角形模式）极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”，因此，当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化.常见的解决的题型:有中点或能构造中点的积的向量题。平面向量共线定理：已知OAOBOC，若1，则A,B,C三点共线；反之亦然。等和线：平面内一组基底OA,OB，及任一向量OP，OPOAOB(,R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，则k（定值）。反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。结论：（1）当等和线恰为直线AB时，k1；22学科网（北京）股份有限公司,（2）当等和线在点O和直线AB之间时，k(0,1)；（3）当直线AB在点O和等和线之间时，k(1,)；（4）当等和线过点O时，k0；（5）若两等和线关于点O对称，则定值k互为相反数；（6）定值k的变化与等和线到O点的距离成正比。证明过程：如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设PCxPAyPBx,yR．当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若PFPAPB,R，则1.由PAB与PED相似，知必存在一个常数mR，使得PCmPF，则PCmPFmPAmPB.又PCxPAyPBx,yR，所以xymmm以上过程可逆．因此得到结论：PCxPAyPBx,yR，则xym（定值），反之亦成立．三、平面向量建系法及对角线向量定理常见的坐标系建立①边长为a的等边三角形②知道夹角的任意三角形③正方形④矩形⑤平行四边形⑥直角梯形23学科网（北京）股份有限公司,⑥等腰梯形⑦圆建系原则：尽可能让多个点位于坐标轴上.解题步骤：第一步：将已知条件进行坐标处理；第二步：利用平面向量共线坐标表示列式求解；第三步：得出结论.2222ADBCABCD对角线向量定理：ACBD2222CACBAB证明过程：在ABC中，由余弦定理的向量式有CACB；2222CACDAD在CAD中，同理有CACD.所以在四边形ABCD中，22222ADBCABCDACBDACCDCB22222ADBCABCD即ACBD，表明四边形的两条对角线对应向量的数量积可用四条边的长2度表示。2222结论1：当ACBD时，有ADBCABCD.当对角线相互垂直时，四边形两组对边的平方和相等．2222ADBCABCD结论2：cosACBD这些结论适用于任何情况2ACBD奔驰定理技巧总结24学科网（北京）股份有限公司,Ⅰ：已知O是ABC内的一点，BOC,AOC,AOB的面积分别为S，S，S，求证：ABCSAOASBOBSCOC0证明过程：如图延长OA与BC边相交于点D，BDSSSSS则ABDBODABDBODC，DCSSSSSACDCODACDCODBODDCOBBDOCSBOBSCOCBCBCSBSCSBSCODSSSSSSBODCODBODCODAAODOAOASSSSSSBOACOABOACOABCSSBCSSBSCAOAOBOCSSSSSSBCBCBCSAOASBOBSCOC0推论：已知P为ABC内一点，且xPAyPBzPC0,x,y,zR,xyz0,xyz0．则有①S:S:Sx:y:z．PBCPACPABSxSySzPBCPACPAB②,,．SxyzSxyzSxyzABCABCABCⅡ：奔驰定理在三角形四心中的具体形式：（1）O是ABC的重心S:S:S1:1:1OAOBOC0.ABC25学科网（北京）股份有限公司,（2）O是ABC的内S:S:Sa:b:caOAbOBcOC0.ABC（3）O是ABC的外心S:S:Ssin2A:sin2B:sin2Csin2AOAsin2BOBsin2COC0.ABC（4）O是ABC的垂心S:S:StanA:tanB:tanCtanAOAtanBOBtanCOC0.ABC四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。模型总结：模型一：OAOBOC0O是ABC的重心.AEOBDC证法1：设O(x,y),A(x,y),B(x,y),C(x,y)112233x1x2x3x(x1x)(x2x)(x3x)03OAOBOC0O是ABC的重(yy)(yy)(yy)0yyy123y1233心.证法2：如图OAOBOCOA2OD0AO2ODA、O、D三点共线，且O分AD为2：1，O是ABC的重心模型二：OAOBOBOCOCOAO为ABC的垂心.26学科网（北京）股份有限公司,AEOBDC证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D,E是垂足.OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0OBAC同理OABC，OCABO为ABC的垂心模型三：设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心aOAbOBcOC0O为ABC的内心.ABACABAC证明：、分别为AB、AC方向上的单位向量，平分BAC,cbcbABACbcbcABACAO()，令AO（)cbabcabccb化简得(abc)OAbABcAC0aOAbOBcOC0模型四：OAOBOCO为ABC的外心。（证明略）模型五：变形四心变形1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(ABAC)，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的重心证明：ABC，D、E分别为边BC、AC的中点.ABAC2ADOPOA2ADOPOAAPAP2ADAP//AD点P的轨迹一定通过ABC的重心.变形2：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOPOA()，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的内心ABAC27学科网（北京）股份有限公司,ABAC证明：、分别为AB、AC方向上的单位向量，ABACABAC平分BAC,点P的轨迹一定通过ABC的内心.ABAC变形3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOPOA()，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的垂心ABcosBACcosC证明：AD垂直BC，BE垂直AC，D,E是垂足.ABACABBCACBC()BC=ABcosBACcosCABcosBACcosCABBCcosBACBCcosC==BC+BC=0ABcosBACcosC点P的轨迹一定通过ABC的垂心.变形4：O是ABC所在平面内一点，动点P满足ABACOPOA，0,，则动点P的轨迹一定通过ABC的重心ABsinBACsinCABACABAC证明：，h为BC边上的高∴APABAC.ABsinBACsinChhh变形5：已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OBOCABACOP，(0，)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的外心。2ABcosBACcosCOBOC证明：取BC中点M,则=OD，228学科网（北京）股份有限公司,ABACOPOD,移项后同乘BCABcosBACcosCABACABBCACBCDPDPBCABcosBACcosCABcosBACcosCDPBCBCBC0，即DPBC222222变形6：若H为△ABC所在平面内一点，且HABCHBCAHCAB则点H是△ABC的垂心22222222证明：HABCHBCAHABHHC=HBCHHA得HAHBHCHAHACB0,即HACB，同理可得HBAC,HCBC典例1【2021新高考1卷】已知O为坐标原点，点P1cos,sin，P2cos,sin，P3cos,sin，A(1,0)，则（）A.OP1OP2B.AP1AP2C.OAOP3OPOPD.OAOPOPOP12123【答案】AC【解析】A：，，所以22，OP1(cos,sin)OP2(cos,sin)|OP1|cossin122，故，正确；|OP2|(cos)(sin)1|OP1||OP2|B：AP(cos1,sin)，AP(cos1,sin)，所以1222222|AP|(cos1)sincos2cos1sin2(1cos)4sin2|sin|12222，同理|AP2|(cos1)sin2|sin|，故|AP1|,|AP2|不一定相等，错误；2C：由题意得：OAOP1cos()0sin()cos()，329学科网（北京）股份有限公司,OPOPcoscossin(sin)cos()，正确；12D：由题意得：OAOP1cos0sincos，1OPOPcoscos()(sin)sin()23cosβαβcosα2β，故一般来说OAOPOPOP故错误；123故选：AC典例2【2021新高考全国Ⅱ卷】已知向量abc0，a1，bc2，abbcca_______．9【答案】22222【解析】由已知可得abcabc2abbcca92abbcca0，9因此，abbcca.29故答案为：.2典例3【2022新高考全国Ⅰ卷】在ABC中，点D在边AB上，BD2DA．记CAm，CDn，则CB（）A.3m2nB.2m3nC.3m2nD.2m3n【答案】B【解析】因为点D在边AB上，BD2DA，所以BD2DA，即CDCB2CACD，所以CB3CD2CA3n2m2m3n．故选：B．典例4【2022新高考全国Ⅱ卷】已知向量a(3,4),b(1,0),catb，若a,cb,c，则t（）A.6B.5C.5D.6【答案】C93t163t【解析】解：c3t,4,cosa,ccosb,c,即,解得t5,5cc故选：C30学科网（北京）股份有限公司,典例5【2023新高考全国Ⅰ卷】已知向量a1,1,b1,1，若abab，则（）A.1B.1C.1D.1【答案】D【解析】因为a1,1,b1,1，所以ab1,1，ab1,1，由abab可得，abab0，即11110，整理得：1．故选：D．预测1（2024·广东佛山·模拟预测）已知a与b为两个不共线的单位向量，则（）A．ab//aB．aabππππC．若a,b，则ab,bD．若ab,a，则a,b33423π预测2（2024·安徽池州·模拟预测）已知向量a1,1,b2,4，若a与b的夹角为，则cos（）21010310310A．B．C．D．101010103r预测3（2024·广西·模拟预测）已知向量a,b,c满足a1,b3，ab=,ac,bc30，则c的最2大值等于（）A．27B．7C．2D．2预测4（2024·河南信阳·模拟预测）已知e为单位向量，向量a满足ae2，ae1，则a的最大值为（）A．4B．2C．5D．5预测5（2024·宁夏固原·模拟预测）已知向量a1,1,b0,t，若aa2b，则b（）31学科网（北京）股份有限公司,2A．B．1C．2D．221押题1：在平行四边形ABCD中，点E满足AEAC，则BE（）43131A．ABADB．ABAD444411C．ABADD．ABAD44押题2：平面向量a，b满足|a|2，b3，ab4，则b在a方向上的投影向量为（）151315A．aB．aC．aD．a12488押题3：若向量a1,5，bx,x1，a∥b，则x（）1111A．B．C．D．6644押题4：正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点，F是DC的中点，则EBEFBF（）A．4B．3C．4D．3押题5：如图，已知AB是圆O的直径，C是圆O上一点，ACCB，点P是线段BC上的动点，且PABS1的面积记为S1，圆O的面积记为S2，当PAPB取得最大值时，（）S21234A．B．C．D．ππππ32学科网（北京）股份有限公司,名校预测预测1：答案D【详解】选项A：若ab//a，则aab，即1ab，与a与b为两个不共线的单位向量矛盾，故选项A说法错误；选项B：设a与b的夹角为，则0π，cos1，22所以aabaabaabcos1cos0，故选项B说法错误；ππ1选项C：若a,b，则ababcos，33221222rr所以abbabb，aba2abb1，即ab1，2abb1所以cosab,b，abb22π又0ab,bπ，所以ab,b，故选项C说法错误；32222选项D：因为aabaab1ab，aba2abb22ab，aba1ab2所以cosab,a，化简得1ab1ab，aba22ab2设a与b的夹角为，则0π，cos1，所以ababcos1，π所以1ab1，即ab0，所以a,b，故选项D说法正确；2故选：D预测2：答案Aab12143【详解】由题意得cos22,0,π，ab2241023π310所以cossin1．21010故选：A预测3：答案A33学科网（北京）股份有限公司,【详解】设OAa,OBb,OCc，3ab3因为a1,b3，ab，所以cosAOBAOB150，2ab2又ac,bc30，所以cosACB30，所以点A,O,B,C共圆，要使c的最大，即OC为直径，222在AOB中，由余弦定理可得ABOAOB2OAOBcosAOB7AB7，AB又由正弦定理2R27，sinAOB即c的最大值等于27，故选：A.预测4：答案C【详解】因为ae1，222222所以aeaea2aeea41222所以a41255，所以a5.故选：C预测5：答案B【详解】由题意知，abt，2由a(a2b)，得a(a2b)a2ab22ab0，解得ab1，r因此t1，解得t1，即b(0,1)，所以|b|1.故选：B名师押题押题1：答案B【详解】因为ABCD为平行四边形，11则由AEACABAD，44131∴BEAEABABADABABAD.44434学科网（北京）股份有限公司,故选：B.押题2：答案C3222【详解】由ab(ab)|a|2ab+|b|132ab4可得ab，23|b|cosb,aab23而b在a方向上的投影向量为aaaa.2|a||a|48故选：C.押题3：答案A1【详解】因为a//b，所以x15x0，解得x.6故选：A押题4：答案D【详解】EBEFBFEAABEDDF·BCCF1111ADABADAB·ADAB222231AB·ADAB22331ABADABAB22232023.4故选：D.故选：ABD押题5：答案A【详解】由题意可知：OCAB，以O为坐标原点建立平面直角坐标系，35学科网（北京）股份有限公司,不妨设OC2，则A2,0,B2,0,C0,2，可知直线BC对应的一次函数解析式为y2x，可设Pa,2a,0a2，可得PA2a,a2,PB2a,a2，22则PAPB2a2aa22a12，且0a2，2因为y2a12开口向上，对称轴为a1，且0a2，可知当a0时，即点P与点C重合时，PAPB取到最大值，1S141此时S1244，且S24π，所以.2S24ππ故选：A.指对幂运算及比较大小（选填题）年份题号知识点考点2021年I卷13指对幂指数与函数奇偶性综合2021年II7指对幂指对幂数值的比较大小卷2022年I卷7指对幂指对幂数值的比较大小2022年II无卷2023年新4复合函数指数的运算及函数单调性求参高考12023年新4复合函数含对数复合函数与函数奇偶性综合高考236学科网（北京）股份有限公司,近三年，指对幂运算在选填中很大可能占据一个位置，考查的考点一般来说是：1、对数的实际应用（给定实际应用含对数表达式求值或参数）2、指对数与函数的奇偶性综合（已知超越函数的奇偶性求参数）3、指对幂数值的比较大小题干的设置一般来说在上述的三项考点中选其一项。针对考点1着重了解函数表达式中参数的含义，考点2一般需要代值求算但要注意此值必定在定义域内，考点3尽量转化为同一函数利用单调性比较，也可借助换底公式转化为常见数据求算，另外考生们考试前需要借助计算器多记几组对数值，方便考试急用。从近三年的全国卷的考查情况以及新高考新题型标准来看，指对幂运算及比较大小是高考选填方向必不可少的一类题，新高考主要以比较大小及指对数应用为主，但也不能忽略奇偶性的参合.一、指对数运算指数基本运算技巧总结1、有理数指数幂的分类n个n⑴正整数指数幂aaaaaaanN0⑵零指数幂a1a0n1⑶负整数指数幂aa0,nNna⑷0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.2、有理数指数幂的性质mnmn⑴aaaa0,m,nQmnmn⑵aaa0,m,nQmmm⑶ababa0,b0,mQm⑷namana0,m,nQ3、根式的定义nn一般地，如果xa，那么x叫做a的n次根式，其中n1,nN,a叫做根式，n叫做根指数，a叫做开方数.n4、对于根式a，要注意以下几点⑴nN且n1；37学科网（北京）股份有限公司,a,a0nnnn⑵当n为奇数时，aa；当n为偶数时，aa；a,a0⑶负数没有偶次方根；⑷0的任何次方根都是05、多重根号问题，首先先写成指数形式3771111aa2a4a8a2a1a1a2aaa，a2a2a11171111a2a4a8a8a4a8a8a26、指数的逆运算过程111---33133273332388223指数特殊运算技巧总结1形如xxa，求下列各种形式的值的思路．21111（1）；根据221计算即可；x2x2xxxx22（2）22xx1x2x22计算即可；xx；根据x2x2．由于112122211（3）xxxxxx4，进而根据xxxxxx即可求解.2211111（4）xx；根据xxxxxx4计算即可33221331（5）xx根据xxx+xxx+xx计算即可33221331（6）xx根据xxxxxxxx计算即可对数基本运算技巧总结1、对数运算法则M①外和内乘：logaMNlogaMlogaN②外差内除：logalogaMlogaNNnn③提公次方法：logamblogabm,nR④特殊对数：loga10m⑤指中有对，没心没肺，真数为几，直接取几：alogabb,logabba2、对数的定义x一般地，如果aNa0,a1，那么数x叫做以a为底N的对数，记xlogN,其中a叫做对数的底a数，N叫做对数的真数N03、换底公式38学科网（北京）股份有限公司,logb1m①常用换底logb②倒数原理logbaalogalogamblgblgclgc③约分技巧logblogclogc④具体数字归一处理：lg2lg51abalgalgblga二、指对幂比较大小指对数大小比较问题技巧总结指对数大小比较问题已经成为高考的重难点问题，我们这里介绍五大核心思想.核心思想一：同步《升降》次法nlogblogmbaa2341形如：log3log23log33log43log1322222注意：一般情况下以2,3为底的对数比较大小，底数真数次方一起同升同降.口诀：2,3为底眼睛亮，底真次方同升降.核心思想二：先分离常数再比大小当底数与真数出现倍数关系，必须先将对数分离常数后作比较.①logpmlogplogmlogp1mmmmnn②logpmlogplogmlogpnmmmm口诀：底真出现倍数时，分离常数用起来核心思想三：利用糖水变甜不等式比较大小当对数比较大小形式中出现底数与真数成等差数列时，可以采用糖水不等式放缩处理.bmbama形如：ab0,m0则存在，或amabmb模型演练：①比较log3与log4的大小233ln3lnln3ln3m3ln32根据糖水不等式log3m0，令mln，即2ln2ln2m2ln23ln2ln29ln2ln4log4故log3log4323ln3ln3②比较log3与log5的大小466ln3lnln3ln3m6ln34根据糖水不等式log3m0，令mln，即4ln4ln4m4ln46ln4ln439学科网（北京）股份有限公司,18ln4ln5log5故log3log5646ln6ln6口诀：底大真小底大者大，底小真大底小者大.lnx核心思想四：由fx引出的大小比较问题x如图所示：lnx1①fx在0，e在e,，在xe时，取得最大值且为xe②极大值左偏，且f2f4lnalnbbaba③若0bae，则blnaalnblnalnbabablnalnbbaba若eba，则blnaalnblnalnbabab口诀：大指小底永为大（大小指e）核心思想五：对数等比定理lnxlnymlnxnlnylnzlogxlogylogmnzabablnalnbmlnanlnbmlnanlnbmnmnmlnxnlnylnxlnylnxylnzmnzxymlnanlnbmlnanlnbmlnanlnbmlnanlnb三、指对数奇偶性函数奇偶性的妙解技巧总结①：基本方法判定函数的奇偶性使用前提：函数表达式比较简单，定义域也容易求解.解题步骤：第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；第二步：若是，则确定f(x)与f(x)的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；第三步:得出结论.利用函数的奇偶性求函数的解析式使用前提：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间(或对称区间的子区间)上的解析式.40学科网（北京）股份有限公司,解题步骤：第一步：首先设出所求区间的自变量x；第二步：运用已知条件将其转化为已知区间满足的x的取值范围；第三步：利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.分段函数的奇偶性使用前提：所给函数的解析式为分段函数，需要判定函数的奇偶性秒杀：口诀：奇函数定奇变偶、偶函数定偶变奇，奇双负，偶单负.定义在,上任意的函数fx都可以唯一表示成一个奇函数gx和一个偶函数hx之和，当fx以分段函数形式出现奇偶性时，则函数一定满足：Ⅰ：奇函数fxfxgxhxⅡ：偶函数fxfxgxhx若fx不容易拆分出奇函数和偶函数之和时，则直接采用Ⅰ：奇函数fxfxⅡ：偶函数fxfx解题步骤：解题模板1：利用传统的方法分类讨论确定函数的奇偶性第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；第二步：若是，则确定fx与fx的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；第三步：得出结论.解题模板2：第一步：确定函数的定义域第二步：写出fx形式的分段函数第三步：确定函数的奇偶性常见基本函数的奇偶性：(1)一次函数ykxbk0，当b0时，是奇函数，当b0时，是非奇非偶函数.2(2)二次函数yaxbxca0，当b0时，是偶函数；当b0时，是非奇非偶函数.k(3)反比例函数yk0,x0是奇函数.xx(4)指数函数ya(a0且a1)是非奇非偶函数(5)对数函数ylogx(a0且a1，x0)是非奇非偶函数.a(6)三角函数ysinxxR是奇函数，ycosxxR是偶函数，ytanxxk,kZ是奇函2数.41学科网（北京）股份有限公司,(7)常值函数fxa，当a0时，是偶函数，当a0时，既是奇函数又是偶函数.特殊函数的奇偶性：奇函数：两指两对xxa12ma12m⑴fxmmx0，fxmmmRxxxxa1a1a1a12xxxx1a1⑵函数fxaaaxxaaxm2mxm2m⑶fxlogaloga1，fxlogaloga1xmxmxmxm⑷函数fxlogmx21mx，函数fxlogmx21mxaaxx2xaaa1⑸函数fxxx2xaaa1fx0fx00考点：形如①已知fx奇函数，则M最大值m最小值0fx0fx02a②已知fx奇函数a，则M最大值m最小值2a偶函数：xxmxmx⑴函数fxaa⑵函数fxloga1a2⑶函数fx类型的一切函数.xxa典例1【2023新高考1卷】设函数fx2在区间0,1上单调递减，则a的取值范围是（）A.,2B.2,0C.0,2D.2,【答案】D42学科网（北京）股份有限公司,xxxa【解析】函数y2在R上单调递增，而函数fx2在区间0,1上单调递减，2a2aa则有函数yx(xa)(x)在区间0,1上单调递减，因此1，解得a2，242所以a的取值范围是2,.故选：D2x1典例2【2023新高考全国Ⅱ卷】若fxxaln为偶函数，则a（）．2x11A.1B.0C.D.12【答案】B1【解析】因为f(x)为偶函数，则f(1)f(1)，(1a)ln(1a)ln3，解得a0，32x111当a0时，fxxln，2x12x10，解得x或x，2x12211则其定义域为xx或x，关于原点对称.2212x12x12x12x1fxxlnxlnxlnxlnfx，2x12x12x12x1故此时fx为偶函数.故选：B.0.11典例3【2022新高考全国Ⅰ卷】设a0.1e,b，cln0.9，则（）9A.abcB.cbaC.c