福建省莆田市2024届高三第四次教学质量检测（三模）数学试卷（原卷版）

莆田市2024届高中毕业班第四次教学质量检测试卷数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号，座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡–并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（）A.B.C.D.3.已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，，…，的平均数为，方差为，则（）A.，B.，C.，D.，4.设数列的前n项和为，则“是等差数列”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若制作一个容积为的圆锥形无盖容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，则该圆锥的高是（）A.B.2C.D.4 6.已知圆，，P是圆C上动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线7.已知，点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值是（）A.B.C.D.8.已知定义在上函数满足，且，则（）A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若z是非零复数，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.如图，在边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是（）A.若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为B.若AP=，则点P的轨迹长度为C.若AP=，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是D.若Р是棱A1B1的中点，则三棱锥的外接球的表面积是11.已知函数（，）的图象既关于点 中心对称，也关于直线轴对称，且在上单调，则的值可能是（）A.B.C.2D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，满足，，且，则向量，夹角的余弦值是_________.13.甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有___________种.14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为________.若点Р在圆上，则的最小值是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为，且.（1）证明：.（2）若，，求的面积.16.跑步是一种方便的体育锻炼方法，坚持跑步可以增强体质，提高免疫力.某数学兴趣小组成员从某校大学生中随机抽取100人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如表所示.性别跑步合计喜欢不喜欢男402060女152540合计5545100（1）依据的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢跑步与性别有关?（2）该数学兴趣小组成员为进一步调查该校大学生喜欢跑步的原因，采用分层抽样的方法从样本中喜欢跑步的大学生中随机抽取11人，再从这11人中随机抽取4人进行调查，记最后抽取的4 人中，女大学生的人数为X，求X的分布列与数学期望.参考公式：，其中.参考数据；0.050.0100050.00138416.6357.87910.82817.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，M为侧棱PD上的点，平面.（1）证明：.（2）若，求二面角的大小.（3）在侧棱PC上是否存在一点N，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18.已知椭圆C：的左、右焦点分别为是C上一点，.点分别为C的上、下顶点，直线：与C相交于两点，直线交于点P.（1）求C的标准方程；（2）证明点Р在定直线上，并求直线，围成的三角形面积的最小值.19.已知函数，其中.（1）当时，，求的取值范围.（2）若，证明：有三个零点，，（），且，，成等比数列 （3）证明：（）.