福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测（三模）数学试卷

福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测（三模）数学试题(满分:150分考试时间:120分钟)注意事项:1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若全集,集合,则A.B.C.D.[0,3]2.若复数满足,则复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知,则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量.若在上的投影向量为,则A.2B.3C.4D.55.已知球的体积为,且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面积相等,则该圆锥的体积为A.B.C.D.6.声音的等级(单位:dB)与声音强度x(单位:)满足.喷气式飞机起飞时,声音的等级约为140dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍,则一般说话时声音的等级约为A.120dBB.100dBC.80dBD.60dB7.已知曲线与曲线相交于A,B两点,直线AB交轴于点,则点的横坐标的取值范围为A.B.C.D.8.已知函数为的零点,为图象的对称轴,且13 在上有且仅有1个零点,则的最大值为A.11B.9C.7D.5二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知函数,则A.在单调递增B.是的零点C.的极小值为0D.是奇函数10.在中,内角所对的边分别为且,则A.B.若,则C.若,则面积的最大值为D.若,则11.已知抛物线与圆交于A,B两点,且.过焦点的直线与抛物线交于M,N两点,点是抛物线上异于顶点的任意一点,点是抛物线的准线与坐标轴的交点,则A.若,则直线的斜率为B.的最小值为18C.为钝角D.点与点的横坐标相同时,最小三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.在的展开式中,的系数为____________.13.互不相等的4个正整数从小到大排序为,若它们的平均数为4,且这4个数据的极差是中位数的2倍,则这4个数据的中位数为____________.14.已知函数有且只有一个零点,则ab的取值范围为____________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分13分)若数列是公差为1的等差数列,且,点在函数的图象上,记数列的前项和为.13 (1)求数列的通项公式;(2)设,记数列的前项和为,证明:.16.(本题满分15分)如图,在四棱台中,底面四边形ABCD为菱形,平面ABCD.(1)证明:;(2)若M是棱BC上的点,且满足,求二面角的余弦值.17.(本题满分15分)某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级,分别对应如下五组质量指标值:.根据长期检测结果,得到芯片的质量指标值服从正态分布,并把质量指标值不小于80的产品称为等品,其它产品称为等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本,统计得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据长期检测结果,该芯片质量指标值的标准差的近似值为11,用样本平均数作为的近似值,用样本标准差作为的估计值.若从生产线中任取一件芯片,试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字);(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表;②参考数据:若随机变量服从正态分布,则,.)(2)(i)从样本的质量指标值在和[85,95]的芯片中随机抽取3件,记其中质量指标值在[85,95]的芯片件数为,求的分布列和数学期望;13 (ii)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件等品芯片的利润是元,一件等品芯片的利润是元,根据(1)的计算结果,试求的值,使得每箱产品的利润最大.18.(本题满分17分)动圆与圆和圆都内切,记动圆圆心的轨迹为.(1)求的方程;(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为,则曲线上一点处的切线方程为:.试运用该性质解决以下问题:点为直线上一点(不在轴上),过点作的两条切线,切点分别为.(i)证明:;(ii)点关于轴的对称点为,直线交轴于点,直线交曲线于G,H两点.记的面积分别为,求的取值范围.19.(本题满分17分)若函数的定义域为,有,使且,则对任意实数k,b,曲线与直线总相切,称函数为恒切函数.(1)判断函数是否为恒切函数,并说明理由;(2)若函数为恒切函数.(i)求实数的取值范围;(ii)当取最大值时,若函数为恒切函数,记,证明:.（注：是自然对数的底数.参考数据：)13 龙岩市2024年高中毕业班五月教学质量检测数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678选项BCACBDDB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．题号91011选项BCACDBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．513．14．8.[解析]为的零点为图象的对称轴，又当时,,当时，，故有2个零点,不符合，舍去.当时，13 当时，，此时有且仅有1个零点，符合，选B.11.[解析]因为抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，则第一象限内的交点A的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为2，即，所以，，即抛物线方程为，焦点为.设，对选项A，由得，则，又因为，解得，所以直线l的斜率为，故A选项错误；对选项B，由抛物线定义得，所以，当且仅当，即时等号成立，因此的最小值为，B正确；对选项C，如图，不妨设在第一象限，设设直线，联立抛物线的方程消，13 得，又，所以，，为钝角.故C选项正确；对选项D，，，设，则，由抛物线的定义可得，，又，则，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D选项正确.故选：BCD.14.[解析]依题意得与只有一个交点，即两曲线相切，则只有一个解，，化简得，将其代入，得，，即，.，13 则，设，则，在单调递减，,的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（本题满分13分）解：（1）由得，，………………3分点在函数的图象上，…………5分显然数列为等比数列，首项为1，公比为3，则，……………………………………7分…………………………………………10分.13分16．（本题满分15分）解：（1）在四棱台中,延长后必交于一点，故四点共面，1分因为平面,平面,故,2分连接，因为底面四边形为菱形，故,3分平面,故平面,5分因为平面,所以.6分（2）过点A作的垂线，交与点N，以所在直线分别为轴，轴，13 轴建立空间直角坐标系（如图）,设，则，由于，故,9分则,，则，，，记平面的法向量为,则,即，令，则，即，平面的法向量可取为，则.14分所以二面角的余弦值为.15分17．（本题满分15分）解：（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：．即2分，所以，因为质量指标值近似服从正态分布，所以，4分所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为．13 5分（2）（i），所以所取样本的个数为20件，质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：，，，，随机变量的分布列为：01239分所以的数学期望.10分（ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件，设每箱产品的利润为元，由题意知：，由（1）知：每箱零件中A等品的概率为，所以，所以，所以.12分令得，，又，所以当时，取得最大值.14分所以当时，每箱产品利润最大.15分18．（本题满分17分）（1）设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为，，13 因为与，都内切，所以，，所以，2分又，，故，所以圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆，设的方程为：，则，，即所以，故的方程为：.4分（2）（i）证明：设，，，由题意中的性质可得，切线方程为，切线方程为，……………………5分因为两条切线都经过点，所以，，故直线的方程为：，7分所以，.又，，所以直线.9分（ii）由（i）知直线的方程为：，过定点，设直线的方程为：，联立，整理得，由韦达定理得，11分又，所以直线的方程为，12分令得，13 ，14分所以，设,同理得.不妨设.所以，所以，当且仅当时，即时取等号.16分所以，17分19．（本题满分17分）解：（1）设函数为恒切函数，则有，使且，即，解得，故函数是恒切函数.4分（2）（i）由函数为恒切函数可知，存在，使得且，即解得，，6分设，，当时，递增；当时，递减.8分，即实数的取值范围是.9分13 （ii）当时，，10分函数为恒切函数.又，所以存在，使得，即.11分令,则，当时，递减；当时，递增.所以当时，，，故在上存在唯一，使得，即.13分又由得由得，所以.15分又，所以当时，有唯一零点，故由得，即.16分17分13