高三复习数学知识点29：圆的方程和直线与圆的位置关系

圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一．圆的三种方程（1）方程以为圆心，为半径的圆的标准方程.（2）方程.①当时，表示圆，圆心为，半径为，称为一般方程.②当时，表示点③当时，方程不表示任何图形.（3）圆的参数方程是其中是以圆心为顶点且与轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角.参数方程可用来解决与圆有关的最值问题.例：若实数满足求的范围.答：注1：求圆的方程的主要方法：1．代数法：利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于或的方程组．2.几何法：利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)圆心和圆上任一点的距离等于半径.(4)两圆相切时，切点与两圆心三点共线.注2：半圆问题.例:若直线与曲线恰有一个交点，则实数的取值范围是_________．答：或注3：阿波罗尼斯圆：平面内到两个定点的距离之比的点的轨迹是一个圆.二．点与圆位置关系的判断方法①点在圆内②点在圆上③点在圆外三．直线与圆的位置关系的判断方法（1）几何法（主要方法）：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小①相离；②相切；③相交.（2）代数法：联立直线和圆的方程，计算的大小①相离；②相切；③相交. 四.圆与圆的位置关系的判断方法位置关系外离外切相交内切内含圆心距与半径的关系图示公切线的条数43210五．计算直线与圆相交的弦长问题主要核心方法：围绕“弦心距，弦长的一半和半径构成的直角三角形”来处理问题.（几何法）注：代数法：运用韦达定理及弦长公式.(正设直线）.(反设直线）六．处理直线与圆相切的问题主要核心方法：围绕“圆心与直线上的点这两点的距离，切线长和半径构成的直角三角形”来处理问题.（几何法）（1）求切线方程的方法：①几何法（主要方法）：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知数的值.②代数法：设出切线的方程，利用，求出未知数的值.注意：1.设直线方程时要注意直线方程的局限性.如设成点斜式要注意讨论斜率不存在的情况；设成斜截式，要注意讨论直线过原点的情况.2.点在圆外，有两条切线；点在圆上，只有一条切线；点在圆内，无切线.（2）求切线长的最小值.切线长的最小值=七．直线与圆相离的最值问题（1）若直线和圆相离，则圆上的点到直线距离的最小值为：最大值为：（其中为圆心到直线的距离，为半径）（2）若点在圆外，则圆上的点到已知点距离的最小值为：最大值为：（其中为圆心到已知点的距离，为半径）八．计算两圆相交的弦长问题（1）公共弦所在的直线方程若圆与圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程为（2）公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 九．处理两圆相切的问题（1）定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.（2）转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时).十．用几何意义处理与圆有关的最值问题（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；也可以考虑用圆的参数方程，借助三角函数来求最值.（3）形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；十一．有用的结论（需要记住）（1）若圆与轴相切，则与轴相切，则与两坐标轴相切，则（2）当点在圆上时，过点的圆的切线方程为推广：当点在圆上时，过点的圆的切线方程为（3）设点是圆外一点，过点作圆的切线，两切点分别为则直线的方程为推广：设点是圆外一点，过点作圆的切线，两切点分别为则直线的方程为（4）以为直径的圆的方程为（5）圆系方程：①若直线与圆有两个交点，则过直线与圆的交点的圆可设为：②若两圆与圆有两个交点，则过圆与圆的交点的圆可设为：（.注：①时，表示两圆的公共弦所在直线的方程.②方程不能表示留心检验.（6）圆和圆的重要性质①两圆相切时，两圆圆心与切点在同一条线上.②两圆相交时，两圆的公共弦所在直线的中垂线即为两圆心的连线.（7）圆上有几个点到直线的距离为几的问题假设圆的半径为圆心到直线的距离为圆上的点到直线的距离为，则①0个；②1个；③2个；④3个；⑤4个（8）过圆内一点的所有弦中，最长的是过该点的直径，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦.