【技巧归纳 能力拓展】专项训练六 函数导数与不等式（考点4 函数导数与不等式的综合问题）(原卷版)

专项六函数导数与不等式考点4函数导数与不等式的综合问题大题拆解技巧【母题】(2021年新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=x(1-lnx).(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b,证明:2<1a+1b<e.【拆解1】已知函数f(x)=x(1-lnx),讨论f(x)的单调性.【拆解2】本例条件不变,设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b,求证:2<1a+1b.【拆解3】本例条件不变,设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b,证明:1a+1b<e.小做变式训练已知函数f(x)=12ax2+(a+1)x+lnx(a≠0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,求证:f(x)≤-2-32a.【拆解1】已知函数f(x)=12ax2+(a+1)x+lnx(a≠0),讨论f(x)的单调性.【拆解2】试证明lnx-x+1≤0. 【拆解3】本例条件不变,当a<0时,求证:f(x)≤-2-32a.技巧归纳1.证明不等式的基本方法:(1)利用单调性:若f(x)在[a,b]上是增函数,则①∀x∈[a,b],有f(a)≤f(x)≤f(b);②∀x1,x2∈[a,b],且x1<x2,有f(x1)<f(x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值:若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则∀x∈D,有f(x)≤M(或f(x)≥m).2.证明f(x)<g(x),可先构造函数F(x)=f(x)-g(x),然后证明F(x)<0.突破实战训练<基础过关>1.已知函数f(x)=sinxx(x>0).(1)判断函数f(x)在(0,π)上的单调性;(2)求证:函数f(x)在(π,2π)内存在唯一的极值点x0,且f(x0)<-23π.2.已知函数f(x)=aex-1x-lnx.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若a∈[1,+∞),求证:aex-ln(ax)-(e-1)x≥1.3.已知函数f(x)=x-12sinx-m2lnx+1.(1)当m=2时,试判断函数f(x)在(π,+∞)上的单调性;(2)存在x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,f(x1)=f(x2),求证:x1x2<m2. 4.已知函数f(x)=asin(1-x)+lnx,a∈R.(1)若函数f(x)在区间(0,1)内单调递增,求a的取值范围;(2)求证:对任意n∈N*,sin12+sin15+sin110+…+sin1n2+1<12+ln2.<能力拔高>5.已知函数f(x)=xex-a(x2+2x)(a∈R).(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a>1e时,函数f(x)有三个不同的零点x1,x2,x3,求证:x1+x2+x32<lna.6.已知函数f(x)=ex-exsinx,x∈0,π2(e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的值域;(2)若不等式f(x)≥k(x-1)(1-sinx)对任意x∈0,π2恒成立,求实数k的取值范围;(3)证明:ex-1>-12x-322+1.<拓展延伸>7.已知函数f(x)=2ex-ax2+1.(1)若f(x)在(0,+∞)上不单调,求实数a的取值范围.(2)若f(x)在区间(0,+∞)上存在极大值M,求证:M<a+1. 8.已知函数f(x)=ex,其中e是自然对数的底数.(1)求函数y=f(x)-x的最小值;(2)求证:f(x)lnx+2x>32.