第38讲 椭圆（解析版）

第38讲椭圆1、椭圆的定义平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PF1PF22aF1F2),这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若PF1PF2F1F2，则动点P的轨迹为线段F1F2；若PF1PF2F1F2，则动点P的轨迹无图形.2、椭圆的简单几何性质2222xyyx椭圆：1(ab0)与1(ab0)的简单几何性质2222abab2222xyyx标准方程1(ab0)1(ab0)2222abab图形焦点F(c,0)，F(c,0)F(0,c)，F(0,c)1212焦距F1F22cF1F22c范围xa，ybxb，ya对称性关于x轴、y轴和原点对称性质顶点(a,0)，(0,b)(0,a)，(b,0)轴长长轴长=2a，短轴长=2b长半轴长=a，短半轴长=b（注意看清题目）c离心率e(0e1)aA1F1A2F2ac；A1F2A2F1ac；acPF1ac；(p是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）3、椭圆相关计算微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 （1）椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义a2b2c222b（2）通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长焦点弦：椭圆过焦点的弦。a22b最短的焦点弦为通经，最长为2a。a（3）最大角:p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时，FPF为最大角。12（4）椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。2焦点三角形的面积SPF1F2btan，其中F1PF2（注意公式的推导）2题型一：椭圆定义2x21．（乌苏市第一中学高二月考）若椭圆y1上一点A到焦点F1的距离为2，则点A到焦点F2的距离9为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【详解】由椭圆方程知：a3，又|AF1||AF2|2a，|AF1|2，∴|AF2|2a|AF1|624.故选：D22xy2．（全国高二课时练习）设P是椭圆1上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的259距离为（）A．2B．4C．8D．16【答案】C【详解】设该椭圆左焦点为F1，右焦点为F2，由题可知a5，所以PF1PF22a10，而PF12，所以PF28．故选：C．2x23．（福建省连城县第一中学高二月考）已知ABC的顶点B，C在椭圆y1上，顶点A是椭圆的一3个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（）A．23B．6C．4D．43【答案】D【详解】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 2x2由椭圆y1，得：a3，3由题意可得ABC的周长为:ACCFFBBF2a2a4a43.221故选：D.2x2F4．（吉林长春十一高高二月考）若椭圆y1上一点A到焦点1的距离为2，B为AF1的中点，O是9坐标原点，则|OB|的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】2x2因为椭圆y1，所以a3，设椭圆的另一个焦点为F2，则AF22a2624，9AF△AFF的中位线，所以2而OB是12OB2．2故选：B．22y5．（广东光明·高三月考）已知直线l：yx1与曲线C：x1相交于A,B两点，F(0,1)，则ABF2的周长是（）A．2B．22C．4D．42【答案】D【详解】22y依题意椭圆x1，a2,b1,c1，2微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 椭圆的焦点为0,1,0,1，所以F是椭圆的焦点，且直线l过椭圆的另一个焦点0,1.所以ABF的周长为4a42.故选：D22xy6．（渝中·重庆巴蜀中学高二开学考试）若椭圆1上一点P到椭圆一个焦点的距离为4，则P到另2516一个焦点的距离为（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【详解】设点P到另一个焦点的距离为d，2由椭圆方程可知a25，2a10，则4d10，所以d6.故选：D7．（全国高三专题练习（理））已知定点F1,F2，且|F1F2|8，动点P满足|PF1||PF2|8，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．圆C．直线D．线段【答案】D【详解】因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是线段F1F2.故选：D2x28．（全国高三专题练习（理））已知ABC的顶点B，C在椭圆y1上，顶点A是椭圆的一个焦点，3且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（）A．23B．43C．4D．6【答案】B【详解】2x2椭圆y1，则a3，3微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 由题意可得ABC的周长为ACCF2F2BBF12a2a4a43.故选：B22xy9．（六安市裕安区新安中学高二开学考试（理））已知P椭圆1上的动点，则P到该椭圆两焦点164的距离之和为（）A．23B．4C．43D．8【答案】D【详解】22xy根据椭圆方程1可得a4，164所以P到该椭圆两焦点的距离之和为2a8.故选：D.22xy10．（山西省长治市第二中学校高二期末（文））已知椭圆1上一点P到椭圆一个焦点的距离是3，3616则点P到另一个焦点的距离为（）A．9B．7C．5D．3【答案】A【详解】由椭圆定义知，点P到另一个焦点的距离为2×6-3=9.故选：A题型二：椭圆标准方程22xy1．（全国）以双曲线1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（）1692222xyxyA．1B．116925162222xyxyC．1D．12591625微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【答案】C【详解】22xy双曲线1的焦点为5,0，5,0，顶点为4,0，4,0，169所以椭圆的焦点坐标为4,0，4,0，顶点为5,0，5,0，222所以bac25169，22xy所依椭圆的方程为1.259故选：C22xy2．（沙坪坝·重庆八中高二月考）已知曲线1表示椭圆，则m的取值范围为（）3mm1A．(1,)B．(,3)C．(1,3)D．(1,2)(2,3)【答案】D【详解】3m0由题意可得m10，解得1m3且m2，3mm1所以m的取值范围为(1,2)(2,3).故选：D22xy3．（全国高二课时练习）已知方程1表示椭圆，则实数k的取值范围是（）3k2k1111A．3,,B．3,,22222C．2,D．,3【答案】B【详解】22xy由于方程1表示椭圆，3k2k3k011所以2k0k3,,2.223k2k故选：B22xy4．（全国高二课时练习）椭圆1的焦距是2，则m的值为（）m4A．5B．3C．5或3D．20【答案】C微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【详解】因为焦距是2，所以c1，22222当焦点在x轴时，am,b4,cabm41解得，m5，22222当焦点在y轴时，a4,bm,cab4m1解得，m3，故选：C．5．（全国高二课时练习）焦点坐标为0,4，（0，4），且长半轴a6的椭圆方程为（）2222xyxyA．1B．1362020362222xyxyC．1D．136161636【答案】B【详解】22222xy因为c4,a6，所以bac20，而焦点在y轴上，所以椭圆方程为1．2036故选：B．2222xyxy6．（全国）椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则实数a等于（）224aa21A．B．1C．1D．1或12【答案】D【详解】22xy因为双曲线1的焦点在横轴上，2a2222所以由题意可得：4aa2a1a1，故选：D227．（江苏广陵·扬州中学高二月考）椭圆x2y4的焦点坐标为（）A．2,0，2,0B．0,2，0,2C．6,0，6,0D．0,6，0,6【答案】A【详解】22xy由题得方程可化为，142222所以a4,b2,c422微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 所以焦点为(2,0)故选：A.22xy8．（全国）已知椭圆1的一个焦点坐标为0,2，则k的值为（）k27A．1B．3C．9D．81【答案】A【详解】22xy由椭圆1的一个焦点坐标为0,2，则半焦距c=2，k272于是得(k2)27，解得k1，所以k的值为1.故选：A题型三：离心率1．（毕节市实验高级中学高二月考（文））若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为（）3256A．B．C．D．2233【答案】B【详解】由题意：椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，所以b=c.则22abc2c，c2所以离心率e.a2故选：B22xy2．（泉州鲤城北大培文学校高二期中）椭圆1的离心率为（）1681132A．B．C．D．3222【答案】D【详解】22xy22222解：因为椭圆方程为：1，所以a16，b8，所以a4，又cab，所以c22，所以168c222离心率ea42微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 故选：D22xy33．（全国高二课时练习）已知椭圆C:1ab0的离心率为，则（）22ab2222A．a2bB．a2bC．3a4bD．3a4b【答案】B【详解】23b322e，得e1，得a4b，即a2b．22a2故选：B22xy24．（贵溪市实验中学高三模拟预测）椭圆1的离心率为（）943A．对B．错【答案】B【详解】22xy对于椭圆1，22a3,cab945，94c5所以离心率为e.a3故选：B22xy5．（全国高三专题练习（文））设椭圆C：221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F2的直线ab与C交于A,B两点，若ABF1为等边三角形，则C的离心率为（）3321A．B．C．D．3232【答案】A【详解】由于ABF1为等边三角形，根据椭圆的对称性可知ABF1F2，在Rt△AF1F2中，AF1F2，AF2:AF1:F1F21:2:3，62c33所以e.2a123故选：A22xy6．（林芝市第二高级中学高二期末（文））椭圆1的离心率为（）493256A．B．C．D．3333微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【答案】C【详解】22222由椭圆方程可知a9，b4，所以cab5，c5椭圆的离心率e.a3故选：C222xy7．（黑龙江实验中学高三模拟预测（文））已知抛物线C1:y4x的焦点与椭圆C2:21(a0)的a3一个焦点重合，则C2的离心率为（）1133A．B．C．D．4242【答案】B【详解】222xy2抛物线C1:y4x的焦点为(1,0)，则椭圆C2:21(a0)的一个焦点为(1,0)，则a314，a31解得a2，所以C2的离心率为e.2故选：B.22y8．（吉林（文））已知m是1和9的等比中项，则圆锥曲线x1的离心率为（）m6623623A．B．或2C．D．或33333【答案】B【详解】由m是1和9的等比中项，可得m3，22y16当m3时，曲线方程为x1，该曲线为焦点在y轴上的椭圆，离心率e1，33322y当m3时，曲线方程为x1，该曲线为焦点在x轴上的双曲线，离心率e132，3故选：B.22xy39．（贵州高三模拟预测（理））已知椭圆C:1(m4)的离心率为，则椭圆C的长轴长为（）m43A．6B．6C．26D．12【答案】C【详解】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 m43由题意可知：，解得m6，所以椭圆长轴长为：26．m3故选：C．22y10．（宁夏吴忠中学高二月考（文））椭圆x1的离心率为（）453A．B．C．5D．322【答案】B【详解】22y22222解：因为x1，所以a4，b1，即a2，b1，又因为cab3，所以c34c3所以离心率ea2故选：B题型四：焦点三角形22y1．（广东光明·高三月考）已知直线l：yx1与曲线C：x1相交于A,B两点，F(0,1)，则ABF2的周长是（）A．2B．22C．4D．42【答案】D【详解】22y依题意椭圆x1，a2,b1,c1，2椭圆的焦点为0,1,0,1，所以F是椭圆的焦点，且直线l过椭圆的另一个焦点0,1.所以ABF的周长为4a42.故选：D2x22．（全国高三专题练习（理））已知ABC的顶点B，C在椭圆y1上，顶点A是椭圆的一个焦点，3且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（）A．23B．43C．4D．6【答案】B【详解】2x2椭圆y1，则a3，3微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 由题意可得ABC的周长为ACCF2F2BBF12a2a4a43.故选：B2x23．（全国）已知△ABC的顶点B､C在椭圆y1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦3点在BC边上，则ABC的周长为（）A．2B．23C．4D．43【答案】D【详解】由椭圆方程知：2a23，又|AB||BF2||AC||CF2|2a，|BF||BF2||CF2|，∴△ABC的周长为4a43，故选：D.2x24．（林芝市第二高级中学高三月考（文））已知F1，F2是椭圆C：y1的两个焦点，若点P是椭圆C4上的一个动点，则△PF1F2的周长是（）A．423B．425C．8D．10【答案】A【详解】2x2由椭圆C：y1知，4微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 a1，b1，ca2b23，所以F1F223，由椭圆的定义知，PF1PF22a4，则△PF1F2的周长为：PF1PF2F1F2423.故选：A.22xy5．（怀仁市第一中学校云东校区（文））椭圆1与y轴的交点为P，两个焦点为F1，F2，则△PF1F22516的面积为（）A．6B．8C．10D．12【答案】D【详解】22xy由椭圆1可得a5,b4，所以ca2b225163，2516令x0可得y4，所以P0,4，11所以△PF1F2的面积为yPF1F24612，22故选：D22xy6．（北京市育英学校高二期末）已知点F1,F2分别是椭圆1的左､右焦点,点P在此椭圆259上,F1PF260,则PF1F2的面积等于A．3B．33C．63D．93【答案】B【详解】22xy椭圆1259222则a25,b9，所以c16，则PF1PF22a10,FF22c8222PF1PF2FF21由余弦定理可知cosFPF122PFPF212代入化简可得PF1PF212，113则SPFPFsinFPF1233，PF1F21212222故选：B.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 22xy7．（深州长江中学）设M是椭圆1上的一点，F1,F2为焦点，且F1MF2，则MF1F2的面积为25166163A．B．16(23)C．16(23)D．163【答案】C【详解】试题分析：设MF1=x1,MF2x2,则x1+x2=10，222x+x-4c312所以由余弦定理得：cosF1MF2=,即x1x2=642-3，2xx2121所以SMF1F2x1x2sinF1MF2=162-3．222xy8．（黑龙江鹤岗一中高二月考）已知椭圆221ab0的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上ab一动点（异于左、右顶点），若AF1F2的周长为6，且面积的最大值为3，则椭圆的标准方程为（）222222xyxyx2x2A．1B．1C．y1D．y1433224【答案】A【详解】由椭圆的定义可得2ac6，∴ac3①，当点A为上顶点或下顶点时，△AF1F2的面积取得最大值为bc，222∴bc3②．又acb③，由①②③，得a2，b3，c1，22xy∴椭圆的标准方程为1．43故选：A22xy9．（全国）椭圆221ab0的左、右焦点分别为F1，F2，A0,b，△AF1F2的面积为3，且abFAFAFF，则椭圆方程为（）1212222x2xyA．y1B．1334222x2xyC．y1D．1443【答案】D12cb3，且b3c，222由题意可得abc，2微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 22xy解得a2，b3，c1，所以椭圆的方程为1，43故选：D．22xy10．（全国高二课时练习）椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴123上，那么PF1∶PF2的值为（）98A．7B．5C．D．23【答案】A【详解】22xy22由＝1可知a12，b3，123222所以cab1239，所以F1(－3，0)，F2(3，0)，∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点O为线段F1F2的中点，所以PF2//MO，所以PF2x轴，∴可设P(3，b)，22xy23把P(3，b)代入椭圆＝1，得b.123437333∴|PF1|＝36，|PF2|＝0.424273|PF|21∴7.|PF|322故选：A.22xy11．（全国高三专题练习（文））已知椭圆C:221ab0的左､右焦点分别是F1，F2，直线ykxab与椭圆C交于A，B两点，AF13BF1，且F1AF260，则椭圆C的离心率是（）7793A．B．C．D．164164【答案】B【详解】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 由椭圆的对称性，得AF2BF1.设AF2m，则AF13m.由椭圆的定义，知AF1AF22a，即a3aam3m2a，解得m，故AF1，AF2.222222在△AF1F2中，由余弦定理，得F1F2AF1AF22AF1AF2cosF1AF2，即222229aa3aa17a2c774c2，则e，故e.2442224a164故选：B.22xy12．（全国）已知F1,F2是椭圆1的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则△AF1F2的内切圆的43半径的最大值是（）113A．1B．C．D．233【答案】D设△AF1F2的内切圆的半径为r，22xy由1，则a2，b3，ca2b2143所以AF1AF22a4，F1F22c2，1111由F1F2rAF1rAF2rF1F2yA，222211即rF1F2AF1AF22yA，22即3ryA，若△AF1F2的内切圆的半径最大，即yA最大，又3yA3，3所以r.max3故选：D13．（深圳市龙岗区平冈中学高三月考）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以F1F2为直径的圆过点P，且PF2F12PF1F2，则C的离心率为（）331A．1B．31C．D．2322微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【答案】B【详解】在△F1PF2中，F1PF290,PF2F160设PF2m，则2cF1F22m,PF13m，又由椭圆定义可知2aPF1PF231mc2c2me31则离心率a2a31m，故选：B.22xy14．（浙江高二单元测试）已知椭圆221ab0的左､右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与椭ab圆交于A，B两点，若ABF1为正三角形，则该椭圆的离心率为（）6633A．B．C．D．3623【答案】D【详解】因为ABF1是正三角形，所以BF1AF1AB，ABx轴.2a设AF2x，则BF1AF12ax，AB2AF22x，故2ax2x，解得x，32a2b从而BF2AF2.将xc代入椭圆方程可得AF2，3a2222abb2cb3因此，得，故椭圆的离心率e1，223aa3aa3故选：D.2x215．（吉林高三模拟预测（理））已知F1，F2是椭圆C:y1的左、右焦点，点D在椭圆C上，F1DF2120，4点O为坐标原点，则OD（）563A．1B．C．D．222【答案】A【详解】设DF2m，由椭圆的定义可得DF14m，222由余弦定理可得FFDFDF2DFDFcosFDF，121212122212即m(4m)2m(4m)12，即m4m40，解得m2，2微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 所以DF1DF22，即点D与椭圆C的上顶点重合，所以OD1.故选：A.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538