第29讲 等比数列（解析版）

第29讲等比数列1、等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示()符号语言（或者）(为常数，，)2、等比数列的通项公式一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比．3、等比中项(1)前提：三个数，，成等比数列．(2)结论：叫做，的等比中项．(3)满足的关系式：.4、等比数列项的运算性质在等比数列中，若，则.①特别地，当时，5、等比数列前项和6、等比数列中依次项之和，，，,…组成公比为（）的等比数列题型一：等比数列通项公式1．（云南师大附中高三月考（文））已知等比数列满足，，则（）A．12B．16C．32D．64【答案】D【详解】因为所以解得或（舍去），所以.所以.故选:D2．（全国高二课时练习）在等比数列中，，，则等于（）微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 A．16B．16或-16C．32D．32或-32【答案】C【详解】由a4=a1q3，得q3=8，即q=2，所以a3==32.故选：C3．（新和县实验中学高一期末）在数列中，若，，则（）A．24B．48C．96D．192【答案】C【详解】因为，，所以是等比数列，公比为，所以.故选：C.4．（陆良县中枢镇第二中学高二月考）公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则等于（）A．1B．2C．4D．8【答案】B【详解】由题知：所以，即，因此．故选：B5．（宁夏银川一中（文））已知等比数满足，则数列的公比（）A．2B．C．3D．【答案】C【详解】由题意可得，可得.故选：C6．（全国）在等比数列中，，则项数为（）微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 A．3B．4C．5D．6【答案】B【详解】在等比数列中，，，，所以，即解得：，故选：B.题型二：等比中项1．（镇远县文德民族中学校高一月考）在等比数列中，若，，那么等于（）A．B．5C．D．25【答案】C【详解】由题意，等比数列中，满足，，根据等比中项，可得，所以.故选：C.2．（赣州市赣县第三中学高二开学考试（理））在递增的正项等比数列中，和是方程的两个根，则（）.A．4B．C．D．2【答案】A【详解】和是方程的两个根，故或.因为为递增的正项等比数列，故，故.又且，故，故选：A.3．（全国高三专题练习（理））已知成等比数列，且，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】A微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【详解】解：因为成等比数列，所以，即，所以故选：A4．（全国高二专题练习）已知递增等差数列，且为与的等比中项，则公差（）A．B．或C．或D．【答案】D【详解】解：因为且为与的等比中项，所以，解得或(舍)，故选：D.5．（广西浦北中学高一月考）与的等比中项是（）A．1B．C．2D．或1【答案】D【详解】由题意可设与的等比中项是，则，解得或.故选：D.题型三：等比数列的性质及应用1．（全国）在等比数列|中，，，则的值为（）A．48B．72C．144D．192【答案】D【详解】由，得，由，得，所以，所以．故选：D．2．（南昌市豫章中学高二开学考试（文））设是等比数列，且，，则（）A．12B．2C．30D．32【答案】D【详解】解：因为是等比数列，所以数列也是等比数列，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 因为，，所以的公比为，所以.故选：D3．（建平县实验中学高二期中）在等比数列中，，，则（）A．12B．C．D．15【答案】C【详解】由等比数列的性质，，∴．故选：C4．（青海海东·平安一中）在等比数列中，，则等于（）A．16B．32C．4D．8【答案】A【详解】解：因为在等比数列中，，所以，故选：A5．（广西浦北中学高二期中（文））已知等比数列中，，则的值等于（）A．4B．8C．±4D．±8【答案】C【详解】是等比数列，，.故选：C.6．（全国高二单元测试）一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（）．A．83B．108C．75D．63【答案】D【详解】设等比数列前项和为，因为等比数列前项的和为48且不为零，则成等比数列，故，故，故选：D.7．（广西平果二中高一期中）记等比数列的前项和为，若，则（）A．24B．28C．48D．84微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【答案】D【详解】由等比数列的性质，可得成等比数列，所以，即，解得.故选：D.8．（运城市新康国际实验学校）设等比数列的前项和为，若，，则（）A．31B．32C．63D．64【答案】C【详解】因为为等比数列的前项和，所以，，成等比数列，所以，即，解得.故选：C9．（全国高二专题练习）在等比数列中，如果，，那么＝（）A．135B．100C．95D．80【答案】A【详解】由等比数列前n项和的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为，所以a7＋a8＝.故选：A10．（三亚华侨学校）已知等比数列中，，则前9项之和等于A．50B．70C．80D．90【答案】B【详解】解：因为等长连续片段的和依然是等比数列，因此可知S3，S6-S3，S9-S6，解得前9项的和为70，选B题型四：等比数列前项和1．（广西桂林·（理））首项为1，公比为2的等比数列的前6项和为（）A．62B．63C．66D．68【答案】B【详解】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 设等比数列，，公比则前6项和故选：B2．（新蔡县第一高级中学高二月考）已知等比数列中，若，，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意，等比数列中，，可得，解得，所以.故选：A.3．（全国）等比数列中，，，为的前项和．若，则的值是（）A．6B．7C．8D．不存在【答案】A【详解】等比数列中，，，则，则．当时，若，则有，解得；当时，若，则有，整理可得，无整数解．故．故选：A．4．（威宁民族中学高一期中）若递增的等比数列的前项和为，，则等于（）A．63B．64C．65D．66【答案】A【详解】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 设等比数列公比为q，由得，所以，或，因为数列递增且，所以，所以．故选：A．5．（西藏昌都市第一高级中学高二月考）在各项均为正数的等比数列中，已知，，求：（1）与公比的值；（2）数列前6项的和.【答案】（1）；（2）63.【详解】（1）由已知得，解得（2）由求和公式可得6．（金昌市第一中学高一期中（文））（1）在等差数列中，已知，，求；（2）在数列中，，，为的前项和.若，求.【答案】（1）an＝4n－27；（2）6.【详解】解：（1）解法一：设首项为a1，公差为d，依条件得解得所以an＝－23＋（n－1）×4＝4n－27.解法二：由d＝，得d＝＝＝4，由an＝a15＋（n－15）d，得an＝4n－27.（2）因为在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，因为Sn＝126，所以＝126，解得2n＋1＝128，所以n＝6.7．（全国高二单元测试）在等比数列中，，公比，前项和，求首项和项数微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 .【答案】，.【详解】，；，.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538