2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第35讲等比数列及其前n项和（讲）（Word版附解析）

第35讲等比数列及其前n项和（讲）思维导图知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(q≠0，n∈N*)．(2)等比中项如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1．(2)前n项和公式：Sn＝3．等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a．(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．常用结论1．正确理解等比数列的单调性当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列； 当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列；当q＝－1时，{an}是摆动数列．2．记住等比数列的几个常用结论(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.(3)一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．(4){an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．(5)当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝.(6)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．题型归纳题型1等比数列的基本运算【例1-1】（2020春•辽源期末）在等比数列{an}中，a1＝1，a10＝3，则a5a6＝（　　）A．3B．27C．3D．243【分析】由题意利用等比数列的性质，求得a5a6＝的值．【解答】解：等比数列{an}中，a1＝1，a10＝3，则a5a6＝a11•a10＝3，故选：A．【例1-2】（2020春•赤峰期末）若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝3，S6＝9，则S9＝（　　）A．12B．18C．21D．24【分析】由已知可知S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，从而可求．【解答】解：等比数列{an}中，S3＝3，S6＝9，由等比数列的性质可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，即3，6，S9﹣S6成等比数列， 所以36＝3（S9﹣S6），则S9＝21故选：C．【例1-3】（2020•新课标Ⅲ）设等比数列{an}满足a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm+Sm+1═Sm+3，求m．【分析】（1）设其公比为q，则由已知可得a1+a1q=4a1q2-a1=8，解得a1＝1，q＝3，可求其通项公式．（2）由（1）可得log3an＝n﹣1，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，可求Sn=n(n-1)2，由已知可得m(m-1)2+(m+1)m2=(m+3)(m+2)2，进而解得m的值．【解答】解：（1）设公比为q，则由a1+a1q=4a1q2-a1=8，可得a1＝1，q＝3，所以an＝3n﹣1．（2）由（1）有log3an＝n﹣1，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，所以Sn=n(n-1)2，所以m(m-1)2+(m+1)m2=(m+3)(m+2)2，m2﹣5m﹣6＝0，解得m＝6，或m＝﹣1（舍去），所以m＝6．【跟踪训练1-1】（2020春•广州期末）已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn=an+1an，若b5b6＝2，则a11＝（　　）A．16B．21C．31D．32【分析】由题意利用等比数列的性质，求得结果．【解答】解：∵数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn=an+1an，∴b1•b2•b3…b10=a2a1•a3a2•a4a3⋯a11a10=a11a1=a11．∵b5b6＝2，∴b1•b2•b3…b10=[a5⋅a6]5=25， ∴a11＝25＝32，故选：D．【跟踪训练1-2】（2020•新课标Ⅱ）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则Snan=（　　）A．2n﹣1B．2﹣21﹣nC．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣1【分析】根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据求和公式即可求出．【解答】解：设等比数列的公比为q，∵a5﹣a3＝12，∴a6﹣a4＝q（a5﹣a3），∴q＝2，∴a1q4﹣a1q2＝12，∴12a1＝12，∴a1＝1，∴Sn=1-2n1-2=2n﹣1，an＝2n﹣1，∴Snan=2n-12n-1=2﹣21﹣n，故选：B．【跟踪训练1-3】（2020•山东）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{an}的通项公式；（2）记bm为{an}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．【分析】（1）设出等比数列的公比，由已知列式求得公比，进一步求出首项，可得等比数列的通项公式；（2）由题意求得0在数列{bm}中有1项，1在数列{bm}中有2项，2在数列{bm}中有4项，…，可知b63＝5，b64＝b65＝…＝b100＝6．则数列{bm}的前100项和S100可求．【解答】解：（1）∵a2+a4＝20，a3＝8，∴8q+8q＝20，解得q＝2或q=12（舍去），∴a1＝2，∴an＝2n， （2）记bm为{an}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，∴2n≤m，∴n≤log2m，故b1＝0，b2＝1，b3＝1，b4＝2，b5＝2，b6＝2，b7＝2，b8＝3，b9＝3，b10＝3，b11＝3，b12＝3，b13＝3，b14＝3，b15＝3，b16＝4，…，可知0在数列{bm}中有1项，1在数列{bm}中有2项，2在数列{bm}中有4项，…，由1×(1-26)1-2=63＜100，1×(1-27)1-2=127＞100可知b63＝5，b64＝b65＝…＝b100＝6．∴数列{bm}的前100项和S100＝0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37＝480．【名师指导】等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝..题型2等比数列的判定与证明【例2-1】（2019春•玉田县期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=32an+b（n∈N*，b∈R，b≠0）．（I）求证：{an}是等比数列；（II）求证：{an+1}不是等比数列．【分析】（Ⅰ）根据数列的递推公式和等比数列的定义即可证明，（Ⅱ）利用反证法证明即可．【解答】证明：（I）因为Sn=32an+b，所以当n≥2时Sn﹣1=32an﹣1+b，两式相减得Sn﹣Sn﹣1=32an+b-32an﹣1﹣b，∴an=32an-32an﹣1， ∴an＝3an﹣1，故{an}是公比为q＝3的等比数列．（II）假设：{an+1}是等比数列，则有：（an+1）2＝（an+1+1）（an﹣1+1），即：an2+2an+1＝an+1an﹣1+an+1+an﹣1+1，由（I）知{an}是等比数列，所以an2＝an+1an﹣1，于是2an＝an+1+an﹣1，即6an＝an﹣1+9an﹣1，解得an﹣1＝0，这与{an}是等比数列相矛盾，故假设错误，即：{an+1}不是等比数列．【跟踪训练2-1】（2019•广西二模）已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1，（n∈N*）．（1）求证：数列{an+1}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和．【分析】（1）把所给的递推公式两边加上1后，得到an+1+1＝2（an+1），再变为an+1+1an+1=2，由等比数列的定义得证；（2）根据（1）的结论和条件，求出{an+1}的通项公式，再求出{an}的通项公式，利用分组求和方法和等比数列的前n项和公式进行求解．【解答】解：（1）∵an+1＝2an+1，（n∈N*），∴an+1+1＝2（an+1），∴an+1+1an+1=2，∴数列{an+1}是以2为公比的等比数列，（2）由（1）知，数列{an+1}是等比数列，且q＝2，首项为a1+1＝2，∴an+1＝2•2n﹣1＝2n，∴an＝2n﹣1，∴数列{an}的前n项和sn＝（2+22+…+2n）﹣n=2(1-2n)1-2-n＝2n+1﹣n﹣2．【名师指导】等比数列的4种常用判定方法 定义法若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列中项公式法若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列通项公式法若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列题型3等比数列的性质及应用【例3-1】（2020春•宣城期末）已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an＜an+1，n∈N*，a4•a14＝9，a8+a10＝10，则数列{an}的公比为（　　）A．12B．13C．2D．3【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，能求出公比．【解答】解：各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an＜an+1，n∈N*，a4•a14＝9，a8+a10＝10，∴a1q3⋅a1q13=9a1q7+a1q9=10q＞1，解得数列{an}的公比为q＝3．故选：D．【例3-2】（2020春•绵阳期末）若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S20＝（　　）A．80B．120C．150D．180【分析】由已知结合等比数列的求和公式即可直接求解．【解答】解：∵等比数列{an}中S5＝10，S10＝30，∴q≠1，a1(1-q5)1-q=10a1(1-q10)1-q=30， 解可得，a11-q=-10，q5＝2，则S20=a11-q(1-q20)=-10×（1﹣16）＝150．故选：C．【跟踪训练3-1】（2020春•五华区校级期末）已知正项等比数列{an}中，a3=a4a2，若a1+a2+a3＝7，则数列的前十项和S10＝（　　）A．511B．512C．1023D．1024【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，由a2•a3＝a4得a1q2=q2，所以a1＝1，又因为a1+a2+a3＝7，得1+q+q2＝7，所以q＝2，S10=1×(1-210)1-2=1023，故选：C．【跟踪训练3-2】（2020春•广东期末）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2020S1010=3，则S3030S1010=（　　）A．9B．7C．5D．4【分析】利用等比数列前n项和的性质，转化求解即可．【解答】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，所以S1010，S2020﹣S1010，S3030﹣S2020，是等比数列，由S2020S1010=3，不妨设S2020＝3，S1010＝1，则S2020﹣S1010＝2，S3030﹣S2020＝4，∴S3030＝1+2+4＝7，则S3030S1010=7．故选：B．【名师指导】1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．3．等比数列{an}中，所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和S偶具有的性质，设公比为q. (1)若共有2n项，则＝q；(2)若共有2n＋1项，＝q.