2024届二轮复习：空间几何体的表面积和体积学生版

空间几何体表面积和体积2023年考情考题示例考点关联考点2023年新I卷，第12题球、圆柱、棱柱的性质无2023年新I卷，第14题棱台的体积无2023年新Ⅱ卷，第9题圆锥的侧面积和体积二面角2023年天津卷，第8题三棱锥的体积无2023年乙卷文科，第16题球的性质线面垂直2023年乙卷文科，第19题(2)三棱锥的体积无2023年甲卷理科，第11题四棱锥无2023年甲卷理科，第15题球和正方体的性质无2023年甲卷文科，第10题三棱锥的体积无2023年甲卷文科，第18题(2)四棱锥的高求法四棱锥的体积题型一：多面体的表面积和体积1 【典例例题】1(2023春·广东省东莞实验中学高三一模)如图1，水平放置的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AB=AC=2，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形A1B1C，如图2，则容器的高h为()A.3B.4C.42D.6【变式训练】1(2023春·广东省大湾区高三第二次联考)如图为三棱锥A-BCD的平面展开图，其中AC=CD=CB=2，AE⊥BD，垂足为C，则该三棱锥的体积为．2(2023春·广东省高三二模)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E，F，G，H，Ⅰ，则由点E，F，G，H，Ⅰ构成的四棱锥的体积为．3(2023秋·广东省深圳市高三模拟)(多选)已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为22，侧棱长为2，则()A.棱台的侧面积为67B.棱台的体积为14317C.棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为D.棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为27题型二：旋转体的表面积和体积【典例例题】1(2023春·广东省高三一模)已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为()123A.B.C.D.3223【变式训练】1(2023春·广东省高三二模)现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥(顶点在下方，底面2 3在上方)，将半径为的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成2两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为()27334555A.πB.πC.πD.π88882(2023春·广东省潮州市高三二模)折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC=120°，则该圆台的体积为()502142A.πB.9πC.7πD.π333(2023春·广东省佛山市高三二模)科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为()23(参考数据：9.5≈90，9.5≈857，315×1005≈316600，π≈3.14)3333A.9064mB.9004mC.8944mD.8884m4(2023春·广东省揭阳市普宁市华侨中学高三二模)辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为()3 8373353A.πRB.πRC.2πRD.πR333题型三：球的表面积和体积【典例例题】1(2023春·广东省高三一模)水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为()A.4B.22+2C.23+2D.6【变式训练】1(2023春·广东省广州市高三一模)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PB=PC=25,AB=AC=4，PA=BC=2，则球O的表面积为()3167915879A.πB.πC.πD.π1515552(2023春·广东省江门市高三一模)(多选)勒洛FranzReuleaux(1829~1905)，德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体ABCD的棱长为2，则下列说法正确的是()6A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2-2B.勒洛四面体被平面ABC截得的截面面积是2π-32πC.勒洛四面体表面上交线AC的长度为3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于23(2023春·广东省汕头市高三一模)如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，A1B1=2，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积S=．4 4(2023春·广东省梅州市高三一模)《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为正方形，EF∥平面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全1等的等腰梯形，EF=AB=2，且AE=6，则此刍甍的外接球的表面积为()2A.60πB.64πC.68πD.72π5(2023秋·广东省中山市模拟)已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一球面上，PC⊥平面ABC，6PC=BC=6，AB=26，且PA与平面ABC所成角的正弦值为，则该球的表面积为.61(新课标全国Ⅰ卷)(多选)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体2(新课标全国Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,A1B1=1,AA1=2，则该棱台的体积为．3(新课标全国Ⅱ卷)(多选)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则()．A.该圆锥的体积为πB.该圆锥的侧面积为43πC.AC=22D.△PAC的面积为34(新课标全国Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．5(全国乙卷数学(理)(文))如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()5 A.24B.26C.28D.306(全国乙卷数学(文))已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA=．7(全国乙卷数学(理))已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，93∠AOB=120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为()4A.πB.6πC.3πD.36π8(全国甲卷数学(文))在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PC=6，则该棱锥的体积为()A.1B.3C.2D.39(全国甲卷数学(文))在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是．10(全国甲卷数学(理))在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4,PC=PD=3,∠PCA=45°，则△PBC的面积为()A.22B.32C.42D.5211(全国甲卷数学(理))在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为．112(新高考天津卷)在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM=PC，线段PB上的点N满32足PN=PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为()31214A.B.C.D.99391(2023春·广东省深圳市4月份高三大联考)圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为()A.384πB.392πC.398πD.404π2(2023秋·广东省东莞市模拟)已知体积为1的正四棱台上、下底面的边长分别为a,b(a<b)，若棱台6 的高为h=b-a，则()33223322A.b-a=3B.b-a=3C.b+a=3D.b+a=33(2023春·广东省深圳市高三一模)如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是()15121211A.6,6B.3,3C.2,3D.6,24(2023秋·广东省深圳市高三联考)如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为100π，则该圆台的体积为()175π238π259πA.B.75πC.D.3335(2023春·广东省韶关市高三二模)已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的下底面为矩形，AB=2A1B1，高为3，且该棱台的体积为63，则该棱台上底面A1B1C1D1的周长的最小值是()A.15B.14C.13D.126(2023春·广东省深圳市高三二模)设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为V1、V2和V3，则()A.V1<V2<V3B.V2<V1<V3C.V3<V1<V2D.V3<V2<V17(2023秋·广东省东莞市高三模拟)如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1=a，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，那么当底面ABC水平放置时，水面高为()7 aa3aA.B.C.D.a4248(2023春·广东省东莞实验中学高三一模)(多选)已知同底面的两个正三棱锥P-ABC和Q-ABCπ均内接于球O，且正三棱锥P-ABC的侧面与底面所成角的大小为，则下列说法正确的是().4A.PA⎳平面QBCB.设三棱锥Q-ABC和P-ABC的体积分别为VQ-ABC和VP-ABC，则VQ-ABC=4VP-ABC4C.平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的倍255D.二面角P-AB-Q的正切值为-39(2023春·广东省惠州市高三一模)(多选)在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为4的正方形，AA1,BG,CC1,DD1均与底面ABCD垂直，且AA1=CC1=DD1=2BG=43，点E,F分别为线段BC,CC1的中点，则下列说法正确的是()A.直线A1G与△AEF所在平面相交B.三棱锥C1-BCD的外接球的表面积为80π235C.直线GC1与直线AE所成角的余弦值为35D.二面角C1-AD-C中，N∈平面C1AD，M∈平面BAD,P,Q为棱AD上不同两点，MP⊥AD,NQ⊥AD，若MP=PQ=2，NQ=1，则MN=710(2023春·广东省汕头市高三一模)(多选)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则()A.AC1=6B.AC1⊥BD22C.四边形BDD1B1的面积为D.平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为228 11(2023春·广东省大湾区高三第二次联考)已知某圆锥的内切球(球与圆锥侧面､底面均相切)的体积32π为，则该圆锥的表面积的最小值为()3A.32πB.28πC.24πD.20π12(2023春·广东省高州市高三二模)贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为3:3:5，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为()A3:6:10B.3:9:25C.3:21:35D.9:21:3513(2023秋·广东省梅州市高三模拟)(多选)如图所示，四边形ABCD是边长为4的正方形，M,N分别为线段AB,AD上异于点A的动点，且满足AM=AN，点H为MN的中点，将点A沿MN折至点A处，使AH⊥平面BCD，则下列判断正确的是()142A.若点M为AB的中点，则五棱锥A-MBCDN的体积为3162B.当点M与点B重合时，三棱锥A-BCD的体积为3C.当点M与点B重合时，三棱锥A-BCD的内切球的半径为4-231283D.五棱锥A-MBCDN体积的最大值为2714(2023春·广东省茂名市高三二模)如图所示，正三棱锥P-ABC，底面边长为2，点Р到平面ABC2距离为2，点M在平面PAC内，且点M到平面ABC的距离是点P到平面ABC距离的，过点M作一个3平面，使其平行于直线PB和AC，则这个平面与三棱锥表面交线的总长为()9 24+16312+163AB.9912+8324+83C.D.9915(2023春·广东省茂名市高三二模)(多选)如图所示，有一个棱长为4的正四面体P-ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是()πA.若E是CD的中点，则直线AE与PB所成角为2B.△ABE的周长最小值为4+346C.如果在这个容器中放入1个小球(全部进入)，则小球半径的最大值为3D.如果在这个容器中放入10个完全相同的小球(全部进入)，则小球半径的最大值为6-216(2023春·广东省汕头市高三二模)(多选)已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r(0<r<2)，设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是()A.当r=1时，V=73πB.V存在最大值C.当r在区间(0,2)内变化时，V逐渐减小D.当r在区间(0,2)内变化时，V先增大后减小17(2023秋·广东省惠州市高三模拟)(多选)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M是其侧面ADD1A1上的一个动点(含边界)，点P是线段CC1上的动点，则下列结论正确的是()2πA.存在点P,M，使得二面角M-DC-P大小为310 B.存在点P,M，使得平面B1D1M与平面PBD平行2πC.当P为棱CC1的中点且PM=22时，则点M的轨迹长度为322πD.当M为A1D中点时，四棱锥M-ABCD外接球的体积为318(2023秋·广东省梅州市高三模拟)(多选)已知同底面的两个正三棱锥P-ABC和Q-ABC均内π接于球O，且正三棱锥P-ABC的侧面与底面所成角的大小为，则下列说法正确的是().4A.PA⎳平面QBCB.设三棱锥Q-ABC和P-ABC的体积分别为VQ-ABC和VP-ABC，则VQ-ABC=4VP-ABC4C.平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的倍255D.二面角P-AB-Q的正切值为-319(2023秋·广东省中山市模拟)(多选)如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是3，则()3+32A.这两个球体的半径之和的最大值为B.这两个球体的半径之和的最大值为2310πC.这两个球体的表面积之和的最大值为D.这两个球体的表面积之和的最大值为(6+33)π920(2023春·广东省梅州市高三二模)半径为2的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为2π21(2023春·广东省韶关市高三二模)将一个圆心角为、面积为2π的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥3内半径最大的球的表面积为.22(2023秋·广东省肇庆市模拟)已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为20π，则该三棱柱的体积为.23(2023春·广东省高州市高三二模)已知球O与正四面体A-BCD各棱相切，且与平面α相切，若AB=1，则正四面体A-BCD表面上的点到平面α距离的最大值为.24(2023秋·广东省东莞市高三模拟)已知四面体ABCD满足BC=CD=BD=43，它的体积为283，其外接球球O的表面积为100π，则点A在球O表面的轨迹长度为；线段AB长度的最小值为.25(2023秋·广东省深圳市高三大联考)如图所示，已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为等腰直角三角形，斜边AC=22，侧面SAB为正三角形，D为AB的中点，SD⊥底面ABC，则三棱锥S-ABC外接球的表面积为.11 26(2023秋·广东省东莞市高三模拟)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=9，AA1=10，过点A且与直线CD平行平面α将长方体分成两部分，且分别与棱DD1，CC1交于点H，M.(1)若DH=DC=9，则三棱柱ADH-BCM外接球表面积为；(2)现同时将两个球分别放入被平面α分成的两部分几何体内.在平面α变化过程中，这两个球半径之和的最大值为.12