专题4 空间几何体及其表面积与体积（知识点）

专题4空间几何体及其表面积与体积【知识网格】【知识讲练】知识点一空间几何体的结构一、几种常见的多面体1．棱柱定义一般地，有两个面互相__平行__，其余各面都是__四边形__，并且每__相邻__两个四边形的公共边都互相__平行__，由这些面所围成的__多面体__叫做棱柱有关概念棱柱中，两个互相__平行__的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的__公共边__叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的__公共顶点__叫做棱柱的顶点图形表示法用表示底面各顶点的__字母__表示棱柱，如上图中的棱柱可记为棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′分类按底面多边形的__边数__分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……2.棱柱概念的推广(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(4)平面六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形．(5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体．(6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体．3．棱锥 定义一般地，有一个面是__多边形__，其余各面都是__有一个公共顶点__的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥有关概念多边形面叫做棱锥的底面或底；有__公共顶点__的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的__公共顶点__叫做棱锥的顶点；相邻侧面的__公共边__叫做棱锥的侧棱图形表示法用表示顶点和底面各顶点的__字母__表示，如上图中的棱锥可记为棱锥__S－ABCD__分类按底面多边形的__边数__分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫__四面体__4．棱台定义用一个__平行于__棱锥底面的平面去截棱锥，__底面与截面__之间的部分叫做棱台有关概念原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的__下底面__和__上底面__；其它各面叫做棱台的__侧面__；相邻侧面的__公共边__叫做棱台的侧棱；底面与__侧面__的公共顶点叫做棱台的顶点图形表示法用表示底面各顶点的__字母__表示棱台，如上图中的棱台可记为棱台__ABCD－A′B′C′D′__分类按底面多边形的__边数__分为三棱台、四棱台、五棱台……5．圆柱的结构特征定义以__矩形__的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱有关概念旋转轴叫做圆柱的__轴__；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的__底面__；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的__侧面__；无论旋转到什么位置，__不垂直__于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 图形表示法用表示它的轴的字母，即表示两底面__圆心__的字母表示，上图中的圆柱可记作圆柱__O′O__规定__圆柱__和__棱柱__统称为柱体6．圆锥的结构特征定义以__直角__三角形的一条__直角边__所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥图形有关概念如上图所示，轴为__SO__，底面为__⊙O__，SA为母线．另外，S叫做圆锥的__顶点__，OA(或OB)叫做底面⊙O的__半径__表示法圆锥用表示它的__轴__的字母表示，上图中的圆锥可记作圆锥__SO__规定__棱锥__与__圆锥__统称为锥体7．圆台的结构特征定义用平行于__圆锥__底面的平面去截圆锥，__底面__与__截面__之间的部分叫做圆台图形有关概念原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的__下__底面和__上__底面．与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、__侧面__、母线，如上图所示，轴为__OO′__，AA′为母线表示法用表示轴的__字母__表示，上图中的圆台可记作圆台__OO′__规定__圆台__与__棱台__统称为台体8．球定义以半圆的__直径__所在直线为旋转轴，半圆面旋转__一周 __形成的旋转体叫做球体，简称球有关概念半圆的__圆心__叫做球的球心；半圆的__半径__叫做球的半径；半圆的__直径__叫做球的直径图形表示法球常用表示__球心__的字母表示，如上图中的球记作球__O__【归纳总结】1.棱柱的简单性质：(1)侧棱互相平行且相等；侧面都是平行四边形．(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图①所示．(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图②所示．2.棱锥的性质：(1)侧棱有公共点，即棱锥的顶点；侧面都是三角形．(2)底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示．(3)过不相邻的两条侧棱的截面是三角形，如图②所示．3.棱台的性质：(1)侧棱延长后交于一点；侧面是梯形．(2)两个底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示． (3)过不相邻的两条侧棱的截面是梯形，如图②所示．4.圆柱的简单性质：(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图①所示．(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图②所示．(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图③所示．5.圆锥的简单性质：(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．(2)平行于底面的截面都是圆，如图①所示．(3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形，如图②所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图③所示．6.圆台的简单性质：(1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点．(2)平行于底面的截面是圆，如图①所示．(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图②所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图③所示．知识点二空间几何体的三视图和直观图1．投影定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的__影子__，这种现象叫做投影，其中，我们把光线叫做__投影线__，把留下物体影子的屏幕叫做__投影面__分类中心投影光由__一点__向外散射形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影线交于__一点__平行投影在一束__平行__光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投影线相互__平行__.在平行投影中，投影线__正对 __着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影2．三视图分类正视图光线从几何体的__前__面向__后__面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图侧视图光线从几何体的__左__面向__右__面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图俯视图光线从几何体的__上__面向__下__面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图说明几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的__三视图__，三视图是__正__投影特征一个几何体的侧视图和正视图__高度__一样，俯视图与正视图__长度__一样，侧视图与俯视图__宽度__一样3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)在已知图形中取互相__垂直__的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)在已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成__平行__于x′轴或y′轴的线段．(3)在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度__不变__，平行于y轴的线段，长度变为原来的__一半__．4．画空间几何体的直观图的步骤(1)在几何体中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOy＝90°，∠xOz＝90°．(2)画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．(3)在几何体中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成__平行__于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．(4)在几何体中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度__不变__，平行于y轴的线段，长度为原来的__一半__．(5)擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．【归纳总结】1.当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影具有下述性质：(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段．(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线．(3)平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长．(4)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等．2.三视图的排列规则是：先画正视图，俯视图安排在正视图的正下方，长度与正视图一样；侧视图安排在正视图的正右方，高度与正视图一样．正视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图；俯视图与侧视图共同反映物体的宽度要相等．3.用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点．因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形．4.用斜二测画法画几何体的直观图时，与画水平放置的平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且平行于z轴的线段的平行性和长度都不变，在直观图中，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和 z′O′x′表示直立平面．知识点三空间几何体的表面积1．柱体的表面积(1)侧面展开图：棱柱的侧面展开图是__平行四边形__，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的__底面周长__，如图①所示；圆柱的侧面展开图是__矩形__，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图②所示．(2)面积：柱体的表面积S表＝S侧＋2S底．特别地，圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积S侧＝__2πrl__，表面积S表＝__2πr(r＋l)__．2．锥体的表面积(1)侧面展开图：棱锥的侧面展开图是由若干个__三角形__拼成的，则侧面积为各个三角形面积的__和__，如图①所示；圆锥的侧面展开图是__扇形__，扇形的半径是圆锥的__母线__，扇形的弧长等于圆锥的__底面周长__，如图②所示．(2)面积：锥体的表面积S表＝S侧＋S底．特别地，圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝__πrl__，表面积S表＝__πr(l＋r)__．3．台体的表面积(1)侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个__梯形__拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的__和__，如图①所示；圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，如图②所示．(2)面积：台体的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底．特别地，圆台的上、下底面半径分别为r′、r，母线长为l，则侧面积S侧＝__π(r＋r′)l__，表面积S表＝__π(r2＋r′2＋rl＋r′l)__．4．球的表面积球的半径为R，那么它的表面积S＝__4πR2__． 【方法技巧】1．表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，常把多面体展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积，侧面积是指侧面的面积，与表面积不同．一般地，表面积＝侧面积＋底面积．2.球内切于旋转体(圆柱、圆锥、圆台)或旋转体内接于球，解题的关键是抓住轴截面中各几何量．3．多面体(长方体、正方体、正四面体、正三棱锥、正四棱锥、正三棱柱等)内接于球．关键抓住球大圆及球小圆与多面体的顶点位置关系．4．球内切于多面体，主要抓住球心到多面体各面的距离都等于球半径．知识点四空间几何体的体积1．柱体的体积(1)棱柱(圆柱)的高是指__两底面__之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)柱体的底面积S，高为h，其体积V＝__Sh__.特别地，圆柱的底面半径为r，高为h，其体积V＝__πr2h__．2．锥体的体积(1)棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线，__顶点__与__垂足__(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)锥体的底面积为S，高为h，其体积V＝__Sh__.特别地，圆锥的底面半径为r，高为h，其体积V＝__πr2h__．3．台体的体积(1)圆台(棱台)的高是指__两个底面__之间的距离．(2)台体的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝__(S＋＋S′)h__.特别地，圆台的上、下底面半径分别为r、r′，高为h，其体积V＝__π(r2＋rr′＋r′2)h__．4．球的体积球的半径为R，那么它的体积V＝__πR3__．【总结提升】1.对球的表面积与体积公式的几点认识：(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有惟一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．2．与球有关的组合体问题(1)若一个长方体内接于一个半径为R的球，则2R＝(a、b、c分别为长方体的长、宽、高)，若正方体内接于球，则2R＝a(a为正方体的棱长)； (2)半径为R的球内切于棱长为a的正方体的每个面，则2R＝a．3.求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.4.几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在的轴截面、底面圆的作用．(1)在求解空间几何体的表面积问题时，常将空间几何体的表(侧)面展开，化折(曲)为直，将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题的常用方法．(2)将一些不规则的几何体进行修补(补形法)，或者将一些几何体进行分割(分割法)，或者通过变换顶点和底面，利用体积相等求解(等积法)等是求空间几何体体积的重要思想方法．例如，常见的将三棱柱补成四棱柱，四棱锥分割成三棱锥，再利用四棱柱、三棱锥的特殊性求体积．又如将三棱锥的顶点和底面进行交换，利用体积相等求体积或求几何体的高．