专题5.5 三角恒等变换（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题5.5三角恒等变换【考点1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】.................................................................................................1【考点2：二倍角公式】.............................................................................................................................................7【考点3：三角函数式的化简求值】.......................................................................................................................13【考点4：三角恒等变换的综合问题】...................................................................................................................18【考点1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】【知识点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βS(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βS(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βtanα－tanβtan(α－β)＝；T(α－β)1＋tanαtanβ变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)tanα＋tanβtan(α＋β)＝；T(α＋β)1－tanαtanβ变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)1．（2023上·全国·高一专题练习）cos15的值是（）6262A．B．226262C．D．44【答案】D【分析】利用诱导公式和和差公式求解可得.【详解】cos15cos15cos4530cos45cos30sin45sin30232162.22224故选：Dπ1532．（2023·全国·模拟预测）已知0,cos,sin，则cos（）2175 84361377A．B．C．D．85858585【答案】B【分析】将所求角通过拆角、变角，利用两角和的余弦公式求解即可.πππ【详解】0，所以0，0，222324因为sin，所以cos1sin，551528因为cos，所以sin1cos，17171548336coscoscoscossinsin，17517585故选：B．π1π3．（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）已知sinx，则cosxsinx（）336313A．B．3C．D．223【答案】Dππ3【分析】根据两角和的正弦公式和辅助角公式可得cosxsin(x)3sin(x)，即可求解.633π1【详解】由题意知，sin(x)，33π3133π3cosxsin(x)cosxsinxcosxsinxcosx3sin(x).6222233故选：D4．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）已知实数m，n满足m1n12，则m，n可能是（）π3ππ3πA．mtan，ntanB．mtan，ntan161688π3ππ3πC．mcos，ntanD．mcos，ntan161688【答案】A【分析】利用正切的两角和差公式求解即可.mn【详解】由m1n12，得1，1mntantan类比tan，1tantan π3πtantanπ3π1616tan=1.1616π3π1tantan1616故选：A.πππ5．（2023上·陕西西安·高三统考阶段练习）若sin3sin，则tan（）366536536A．536B．536C．D．33【答案】Dππππ【分析】利用诱导公式求出tan，再由tantan及两角和的正切公式计算可得.6663πππππ【详解】因为sin3sin，所以sin3sin，36626ππ所以cos3sin，66πsinπ61所以tan，6π3cos6ππ1tantan3πππ633536所以tantan.663ππ131tantan13633故选：D6．（2023上·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知角,0,π，且sincos0，sinsin3coscos，则tan(-)=（）11A．2B．C．D．222【答案】C【分析】根据两角差的正弦、余弦、正切公式化简求解即可.【详解】因为sinsin3coscos，,(0,π)ππ所以，b¹，tantan3，22又sincos0， 所以sincoscossincoscossinsin0，所以tana-tanb+1-tanatanb=0，tantan2tan-tan21所以tan(-)===.1+tantan1+32故选：C.5107．（多选）（2023上·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）在ABC中，sinA,sinB，则sinAB510的值可能是（）2222A．B．C．D．101022【答案】BD【分析】讨论A,B分别为钝角、锐角的情况，然后根据同角的三角函数关系式以及两角差的正弦公式求解出sinAB的可能值.【详解】当A,B均为锐角时，2252310所以cosA1sinA,cosB1sinB，510531025102所以sinABsinAcosBcosAsinB；51051010当A为钝角，B为锐角时，ππ此时sinAsinπAsinB，且0πA,0B，22所以πAB，即ABπ，符合要求，2252310所以cosA1sinA,cosB1sinB，510531025102sinABsinAcosBcosAsinB；5105102当A为锐角，B为钝角时，ππ此时sinAsinπBsinB，且0πB,0A，22所以πBA，即ABπ，不符合要求；显然A,B不可能同为钝角，22综上可知sinAB的值可能是，，102故选：BD.8．（多选）（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）下列化简结果正确的是（） 1tan24tan36A．cos22sin52sin22cos52B．321tan24tan361C．cos15sin152D．sin15sin30sin754【答案】AB【分析】根据题意，由三角函数的和差角公式，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.1【详解】cos22sin52sin22cos52sin5222sin30，所以A正确；2tan24tan36tan2436tan603，所以B正确；1tan24tan362cos15sin152cos45cos15sin45sin152cos4515，所以C错误；211sin15sin30sin75sin15sin30sin9015sin15cos15sin30sin30sin30，所以D错误．28故选：AB．π9．（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知tan2，则sin2的值为．43【答案】/0.65【分析】根据两角和的正切公式求出tan，再利用二倍角公式，同角三角函数的基本关系求出sin2.π1tan1【详解】tan2，解得tan，41tan32sincos2tan3sin2，222sincos1tan53故答案为：.510．（2023上·全国·高一专题练习）cos65cos20sin65sin20.2【答案】2【分析】利用余弦的两角差公式可得.2【详解】cos65cos20sin65sin20cos6520sin45.22故答案为：211．（2023上·全国·高一专题练习）化简13(1)cosxsinx22(2)3sinxcosx(3)2(sinxcosx) (4)2cosx6sinxo【答案】(1)sin(30x)o(2)2sin(x30)π(3)2sin(x).4π(4)22sin(x)6【分析】利用两角和与差的三角函数公式求解.13【详解】（1）解：cosxsinx，22oosin30cosxcos30sinx，osin(30x);（2）3sinxcosx，312(sinxcosx)，22oo2(sinxcos30cosxsin30)，o2sin(x30).（3）2(sinxcosx)，22（2sinxcosx)，22ππ（2sinxcoscosxsin)，44π2sin(x).4（4）2cosx6sinx，132（2cosxsinx)，22ππ2（2sincosxcossinx)，66π22sin(x).612．（2023上·全国·高一专题练习）求下列各式的值：(1)cos75cos15sin75sin195；(2)sin46cos14sin44cos76；13(3)cos15sin15.22 1【答案】(1)23(2)22(3)2【分析】根据题意，逆用余弦的和差角公式，结合诱导公式即可得解.【详解】（1）原式cos75cos15sin75sin18015cos75cos15sin75sin151cos7515cos60.2（2）原式sin9044cos14sin44cos9014cos44cos14sin44sin143cos4414cos30.2（3）原式cos60cos15sin60sin152cos6015cos45.2【考点2：二倍角公式】【知识点：二倍角公式】sin2α＝2sin_αcos_α；S变形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，2α1－sin2α＝(sinα－cosα)2cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；1＋cos2α变形：cos2α＝，C2α21－cos2αsin2α＝22tanαT2αtan2α＝1－tan2α11．（2024上·云南昭通·高三校考阶段练习）若tan，则sin2cos2（）31117A．B．C．D．5425【答案】A 【分析】根据题意，结合正弦、余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解.2212sincoscossin【详解】由tan，则sin2cos2322sincos112212tan1tan391.tan211519故选：A.π3π2．（江西省部分学校2024届高三上学期12月联考数学试题）已知sin，则sin2（）12437117A．B．C．D．168816【答案】B【分析】利用诱导公式和二倍角公式求解值.ππππ2π91【详解】sin2sin2cos212sin12.31221212168故选:Bπ23．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）设0，若sincos3cos23，则tan（）2A．227B．32C．23D．322【答案】C【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式，结合角的范围，即可求得答案.2【详解】由题意sincos3cos23，则12sincos3cos23sin23cos22，ππ所以2sin22，即sin21，33π又因为0，2ππ4π所以2，333πππ则2，3212ππtantanπππ3431423所以tantantan23.1234ππ1321tantan34 故选：C2π4．（2023上·辽宁沈阳·高二学业考试）已知函数fx3sinxsinxcosx,x0,，则fx的最大值为2（）13A．3B．3C．1D．1322【答案】C【分析】利用三角函数的恒等变换化简fx，从而得解.1cos2x1133π3【详解】fx3sin2xsin2xcos2xsin2x，2222232πππ2π因为x0,,2x,π，所以sin2x1，233333则fx的最大值为1.2故选：C.π3ππ5．（2023上·河北保定·高三校联考阶段练习）已知cos2cos0，则tan2α（）884144A．B．C．1D．233【答案】D【分析】利用诱导公式及同角三角函数的商数关系结合二倍角公式计算即可.π3πππ【详解】因为cos2cos0，所以cos2sin0，8888πsinπ81可得tan，8π2cos8π2tanπ84所以tan2．42π31tan2故选：D26．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知函数fx3sinxcosxsinx，若fx在区间0,a上的值域是30,，则a的取值范围为（）2π2π2πA．,B．0,333 πππC．,D．,332【答案】Aπ1【分析】根据三角恒等变换化简fxsin2x，即可根据整体法求解.622311π1【详解】由fx3sinxcosxsinx可得fxsin2xcos2xsin2x，22262πππ当x0,a时，2x,2a，6663要使fx在区间0,a上的值域是0,，2ππ7ππ2π则2a，解得a，26633故选：A7．（多选）（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）下列等式成立的是（）2132sin551A．sin40cos40sin70B．122sin20π2π4π1coscoscosD．tan25523C．7778【答案】CD【分析】利用三角恒等变换与三角诱导公式即可得解.13【详解】对于A，sin40cos40sin4060sin100sin70，故A错误.2222sin551cos110sin20对于B，1，故B错误，sin20sin20sin20ππ2π4π12π2π4πsincoscoscossincoscosπ2π4π77772777对于C，coscoscos777ππsinsin7714π4π18π1πsincossinsin47787871，故C正确.πππ8sinsinsin777313对于D，tan255tan18075tan75tan304523，故D正确.313故选：CD.π35πππ8．（2023上·福建泉州·高二统考阶段练习）若sinx，且x,，则sin2x.35663 24【答案】/0.96252π【分析】利用二倍角公式求得sin2x后，再利用诱导公式求解即可.35πππππ【详解】因为x,，则x,，66322π3又sinx，352ππ4所以cosx=1sinx，3352πππ24则sin2x2sinxcosx，33325π2π2π24则sin2xsin2xπsin2x，3332524故答案为：.251tan9．（2023上·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知1，则1sin2cos2．2tan2【答案】/0.45【分析】首先求出tan，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.1tan1【详解】因为1，所以tan，2tan22所以1sin2cos212sincos12sin22sincos2sin22sincos2sin22sincos22tan2tan2tan121122222.215122故答案为：5110．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）若3sinsin，则22sin2.67【答案】/0.8758 1【分析】根据辅助角公式可得sin，再结合诱导公式和二倍角公式即可得结果.6411【详解】因为3sincos2sin，所以sin，626427所以sin2sin2cos212sin.6626687故答案为：.8511．（2022上·云南文山·高一校考期末）已知sin，132(1)求sin2的值；(2)求cos2的值．120【答案】(1)169119(2)169【分析】（1）先根据平方关系求出cos，再根据二倍角的正弦公式即可得解；（2）根据二倍角的余弦公式计算即可.5212【详解】（1）因为sin，，所以cos1sin，13213120所以sin22sincos；1692119（2）cos212sin.169π2π3π12．（2023上·广东汕头·高二校考期中）已知cosx，x,．41024(1)求sinx的值．π(2)求sin2x的值．44【答案】(1)5172(2)50πππ【分析】（1）把x看作一个整体，将x化为x，用两角和的正弦公式求解；444（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得cosx的值，结合二倍角公式求得sin2x、cos2x的值，再π利用两角和的正弦公式，计算求得sin2x的值．4 π22π2π98【详解】（1）∵cosx，∴sinx1cosx，41044100π3πππππ又∵x,，∴x,，∴sinx0244424π9872∴sinx，410010ππ∴sinxsinx44ππππsinxcoscosxsin4444722221021024.54∴sinx.54π3π23（2）由第（1）问，sinx，x,，∴cosx1sinx52452427所以sin2x2sinxcosx，cos2x2cosx1.2525πππ2472172所以sin2xsin2xcoscos2xsin.4442525250【考点3：三角函数式的化简求值】【知识点：三角函数式的化简求值】1.三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．[方法技巧]三角函数式的化简要遵循“三看”原则 1．（2022春·安徽六安·高三六安二中校考阶段练习）化简costan的结果是（）A．1B．C．2D．【答案】A【分析】先利用“切化弦”思想，进行通分运算，根据辅助角公式结合二倍角公式化简即可得结果.sin【详解】costancoscoscoscossincoscossincoscossinsinsin.sin故选：A.2．（河北省部分学校2023届高三上学期期末数学试题）已知sinsin，则cos（）A．B．C．D．【答案】A【分析】解方程得到sin，再利用二倍角公式计算得到答案.【详解】sinsinsinsin，sin㌳，sin，故sin，sin，cossin故选：A3．（2022春·江苏南京·高三期末）若sinsin㌳sintan，则tantan（）A．2B．C．1D．【答案】A【分析】由三角恒等变换化简结合已知条件求解即可coscoscossinsin【详解】因为，coscoscossinsin所以sinsincoscos，所以sinsincoscos，又sintan， sin所以sin即sinsincos，cos所以coscoscos，所以sinsincos即sinsincos，又sinsin，所以sinsincoscossinsin，所以sinsincoscossin，所以sincoscos，所以sinsincoscos即sinsincoscos，又易知coscos，sinsin所以，即tantan，coscos故选：A4．（2022·广东广州·统考一模）若㌳㌳，且cossinsincos，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由㌳及二倍角的余弦公式可得sinsincoscos，根据两角和的余弦公式可得sincos，由诱导公式及㌳的范围即可求解.【详解】㌳㌳，sin.由cossinsincos，可得sinsinsincoscos，即sinsincoscos.sincoscossinsincos，coscos，㌳㌳，，且，根据函数cos易知：，即得：. 故选：Aππsincos5．（2022秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）已知㌳，tantan，则__．sincos【答案】tantan【分析】利用和差公式计算得到tan，再化简得到原式为，代入计算得到答案.tanππtan【详解】㌳，tantan，所以tan，tan所以tantan，所以tan或tan（舍去），sincossincossin所以sincossinsincossincossincossintantan．sincostan故答案为：πππ6．（2022春·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考期中）已知cos，则sincos的值为__.【答案】1ππ【分析】根据诱导公式及二倍角公式可得sincos，然后根据降幂公式可得cosπ，进而即得.ππππππ【详解】由cos，得sinsincoscos，πππ再由cos，得cos，可得cos，ππsincos．故答案为：1.7．（2022春·陕西西安·高一高新一中校考期末）设函数sincos，若实数㌳㌳使得cos对任意R恒成立，求的值.【答案】【分析】整理得，sincossincossin， 则可整理得，cossinsincos，据此，列出方程组，cossinc，解方程组，可得答案.【详解】解：sincossincossin，sinsin，即sinsin，即sinsincoscossin，化为：cossinsincos，依题意，cossinsincos对任意R恒成立，cossinc，cos由cos得：，故答案为：8．（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）（1）求costan的值；ππ（2）已知tantan，求cos的值.【答案】（1）；（2）.sinsin【分析】（1）切化弦，通分后利用二倍角正弦公式可得，利用两角和差正弦公式展开sincos，整理化简即可得到结果；（2）利用两角和差正切公式可化简已知等式求得tan；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可化简所求式子为正余弦齐次式的形式，代入tan即可求得结果.sincoscossinsincossin【详解】（1）costancoscoscoscossinsinsinsinsincoscossinsinsincossincos；coscoscoscoscosπtan（2）tantan，tan tantantan，即tantantantan，解得：tan或tan；πππcossinsincostantancoscoscossinsincossin；sincostanπ当tan时，cos；π当tan时，cos；π综上所述：cos.【考点4：三角恒等变换的综合问题】【知识点：三角恒等变换的综合问题】[方法技巧]三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用(1)图象变换问题先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再进行图象变换．(2)函数性质问题求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式；2π②利用公式T＝(ω>0)求周期；ω③根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．1．（2022春·陕西西安·高一高新一中校考期末）已知函数cossincos.(1)求函数的对称中心；ππ(2)若㌳π，且，求tan的值.ππ【答案】(1)㌳㌳Z(2)π【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为sin，根据正弦函数的对称中心， π令π㌳Z，解之即可求解；ππππ(2)结合（1）的结论，将化简整理可得：sin，进而求出，代入tan即可求解.【详解】（1）因为cossincoscossincosπsincossin，πππ令π㌳Z，则㌳Z，ππ所以函数的对称中心为㌳㌳Z；ππππ（2）sinsin，ππ所以sin，又㌳π，所以，πππππtantan则tantanππ.tantan2．（2022春·河南郑州·高一校考期末）已知函数cossincos㌳R的最π大值为1，且图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求：(1)和的值；ππ(2)当㌳，求函数的单调递增区间．【答案】(1)㌳ππ(2)㌳【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，求出和的值；（2）由题意可知，利用整体代入即可得出正弦函数的单调性，进而求出函数的单调递增区间.【详解】（1）由cossincos㌳R得πcossinsin所以，函数的最大值为，得；π即函数sin；ππ又因为图象的两条相邻对称轴之间的距离为， π所以，，即sin.π（2）对于函数sin，πππ令ππ㌳Z，ππ得ππ㌳Z，ππ可得函数的增区间为π㌳π㌳Z；ππππ故当㌳时，函数的增区间为㌳.3．（2022春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）已知函数sincossincos，.(1)求的最小正周期；(2)若㌳，求的最大值和最小值.【答案】(1)(2)min，max【分析】（1）将函数化为psin的形式，再利周期公式求解．（2）先求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即可求解.【详解】（1）sincossincossincossin所以最小正周期.（2）由，则，所以sin㌳，所以sin㌳当，即时，max.当，即时，min.