专题2.5 一元二次函数、方程和不等式（能力提升卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题2.5一元二次函数、方程和不等式（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2023·上海·高一专题练习）不等式2x+3-x2>0的解集是（    ）A．{x|-3<x<1}B．{x|-1<x<3}C．{x|1≤x<3}D．{x|−32≤x<3}【答案】B【分析】根据题意得(x-3)(x+1)<0，进而可得解.【详解】因为2x+3-x2>0，所以(x-3)(x+1)<0，所以-1<x<3，所以不等式的解集为{x|-1<x<3}.故选：B.2．（2023·高一单元测试）已知x>2,y>1,(x−2)(y−1)=4，则x+y的最小值是（    ）A．1B．4C．7D．3+17【答案】C【分析】由目标式可得x+y=(x−2)+(y−1)+3，结合已知条件，应用基本不等式即可求目标式的最小值，注意等号成立的条件.【详解】∵x>2,y>1,(x−2)(y−1)=4，∴x+y=(x−2)+(y−1)+3≥2(x−2)(y−1)+3=7当且仅当{x=4y=3时等号成立.故选：C3．（2023秋·高一课时练习）某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=12x2−200x+80000，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为（    ）.A．200吨B．300吨C．400吨D．600吨 【答案】C【分析】列出处理成本函数yx，然后由基本不等式求最小值，并得出取最小值时处理量x．【详解】由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为yx=12x+80000x−200⩾212x⋅80000x−200=200，当且仅当12x=80000x，即x=400时，等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每旽的平均处理成本最低.故选;C【点睛】本题考查基本不等式在函数中的应用，解题关键是列出函数关系式．4．（2022秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）若关于x的不等式ax2−ax>−1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是（    ）A．0⩽a<4B．0<a<4C．a⩽0或a>4D．a<−4或a⩾0【答案】A【分析】当a＝0时，不等式恒成立；当a≠0时，结合二次函数的图象知a>0且Δ<0，解出a的范围即可.【详解】原不等式可化为ax2−ax+1>0，当a＝0时，不等式显然恒成立，此时解集是全体实数；当a≠0时，a>0Δ=a2−4a<0，解得0<a<4．综上所述：a的取值范围是0≤a<4．故选：A5．（2023·高一课时练习）ax+y≤x+y对所有的正实数x、y恒成立，则实数a最大值是（    ）A．1B．22C．32D．3−1【答案】B【分析】根据基本不等式即可得解.【详解】解：依题意可知，a≤x+yx+y对所有的正实数x，y恒成立，∵x>0,y>0∴x+y≥2xy当且仅当x=y时取等号，∴2x+y≥x+y2当且仅当x=y时取等号，∴2x+y≥x+y，当且仅当x=y时取等号，∴x+yx+y≥22当且仅当x=y时取等号， 所以实数a的最大值为22故选：B【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.6．（2023·湖北省直辖县级单位·统考三模）甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点．甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走,如果m≠n，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，则有A．t1>t2B．t1<t2C．t1≤t2D．t1≥t2【答案】B【分析】分别根据两人的运动情况表示出两人走完全程所用的时间，再对两人所用的时间用作差法比较大小即可得出正确选项.【详解】设从出发点到指定地点的路是S，依题意有t12m+t12n=S，S2m+S2n=t2t1=2Sm+n,t2=S(m+n)2mnt1−t2=−S(m−n)22mn(m+n)<0即t1<t2，故选：B.7．（2023·高二课时练习）已知a,b∈R+，则下列不等式中不成立的是（    ）．A．a+b+1ab≥22B．(a+b)1a+1b≥4C．a2+b2ab≥a+bD．2aba+b≥ab【答案】D【分析】结合基本不等式可证明ABC的正确与否，通过代入特殊值可证明D选项不正确.【详解】解：A：a+b+1ab≥2ab+1ab≥22ab⋅1ab=22，故A正确；B：(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥2+2ba⋅ab=4，故B正确；C：a2+b2ab≥a+b22ab≥a+b2a+b=a+b，故C正确；D：当a=1,b=2时，2aba+b=2×21+2=43，ab=2，此时2aba+b≥ab不成立，故选:D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了几种常见形式的不等式的证明. 8．（2023·高一课时练习）已知a>0，b<0，且a−3b+2ab=0，则3a−b的最小值是（）A．6B．8C．12D．16【答案】B【分析】根据题意可化简为2=3a−1b，判断符号，代入3a−b结合基本不等式即可得解.【详解】由a-3b+2ab=0得2=3a−1b，又因为a>0，b<0，则−3ba>0，−3ab>0，则3a−b=12×2(3a−b)=12×(3a−1b)(3a−b)=12×[10+(−3ba)+(−3ab)]≥12[10+2(−3ba)(−3ab)]=8（当且仅当−3ba=−3ab即a=2，b=-2时，等号成立），故3a-b的最小值为8.故答案为：B二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2023·高一单元测试）已知实数a，b，c满足a<b<c，且ac<0，则下列式子一定成立的是（　　）A．cb2>ab2B．c(a−b)<0C．1a>1bD．ac（a-c）>0【答案】BD【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意知，实数a,b,c满足a<b<c且ac<0，可得a<0,c>0,b不确定，对于A中，当b=0时，cb2=ab2，所以A不正确；对于B中，由a−b<0,c>0，可得c(a−b)<0，所以B正确；对于C中，由1a−1b=b−aab，因为ab的符号不确定，所以C不正确；对于D中，由ac<0,a−c<0，可得ac(a−c)>0，所以D正确.故选：BD.10．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考阶段练习）若一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是−1,2，则下列选项正确的是（    ）A．b>0且c>0B．a−b+c>0C．a+b+c>0 D．不等式ax2−bx+c>0的解集是{x∣−2<x<1}【答案】ACD【分析】根据题意可得ax2+bx+c=0的根为−1,2，且a<0，利用韦达定理可得a,b,c的关系，由此可判断各选项的对错.【详解】ax2+bx+c>0的解集是−1,2，则ax2+bx+c=0的根为−1,2，且a<0则−ba=1ca=−2，可得：b=−a>0c=−2a>0，A正确；∵−1为ax2+bx+c=0的根，则a−b+c=0，B错误；∵1∈−1,2，则a+b+c>0，C正确；∵ax2−bx+c=ax2+ax−2a>0且a<0，则x2+x−2<0，则−2<x<1∴不等式解集为{x∣−2<x<1}，D正确；故选：ACD.11．（2022秋·四川广安·高一广安二中校考期中）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（　　）A．ab的最大值为14B．1a+2b的最小值为3+22C．a2+b2的最小值为12D．a+12b+1的最大值为3【答案】ABC【分析】利用基本不等式求解判断【详解】因为a>0，b>0，且a+b=1，A.ab≤a+b22=14，当且仅当a=b=12时，等号成立，故正确；B.1a+2b=1a+2ba+b=3+ba+2ab≥3+2ba⋅2ab=3+22，当且仅当ba=2ab，即a=2−1,b=2−2时，等号成立，故正确；C.a2+b2≥a+b22=12，当且仅当a=b时，等号成立，故正确；D.a+12b+1=122a+22b+1≤122a+b+322=258，当且仅当2a+2=2b+1，即a=14,b=34时，等号成立，故错误；故选：ABC12．（2022秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知a，b，c均为正实数，ab+ac=2，则1a+1b+c+8a+b+c 的取值不可能是（    ）A．1B．2C．3D．4【答案】ABC【分析】根据ab+ac=2得到b+c=2a，代入1a+1b+c+8a+b+c，化简后利用基本不等式求出1a+1b+c+8a+b+c≥4，从而得到答案.【详解】a，b，c均为正实数，由ab+ac=2得：ab+c=2，即b+c=2a，所以1a+1b+c+8a+b+c=1a+a2+8a+2a=2+a22a+8aa2+2，由基本不等式得：1a+1b+c+8a+b+c=2+a22a+8aa2+2≥22+a22a⋅8aa2+2=4，当且仅当2+a22a=8aa2+2，即a=2±2时，等号成立.故选：ABC三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2023·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）已知a>1，b>1，且满足ab−a−b=3，则下列说法正确的是.（填序号）①ab有最小值；②ab有最大值；③a+b有最小值；④a+b有最大值.【答案】①③【分析】由题得出a+b与ab得关系，再代入不等式a+b≥2ab，解不等式即可，解不等式时注意等号成立的条件.【详解】由ab−a−b=3，得a+b=ab−3，因为a+b≥2ab，所以ab−3≥2ab，得ab−3ab+1≥0，因为a>1,b>1，所以得ab−3≥0，解得ab≥9，当a=b=3的时候等号成立，所以ab有最小值为9，无最大值，故①正确，②错误；由ab−a−b=3，得ab=a+b+3，因为ab≥9，所以得a+b+3≥9，解得a+b≥6，当a=b=3的时候等号成立，所以a+b有最小值为6，无最大值，故③正确，④错误；故填：①③14．（2023·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习）若关于x的不等式ax2−2ax≥4的解集为∅，则实数a的取值范围是．【答案】{a|−4<a≤0}【分析】讨论a=0，a≠0两种情况，由一元二次不等式的解法得出实数a的取值范围. 【详解】由题意得ax2−2ax−4≥0的解集为∅，当a=0时，−4≥0的解集为∅，当a≠0时，a<0Δ=4a2+16a<0，解得−4<a<0，综上，实数a的取值范围是{a|−4<a≤0}．故答案为：{a|−4<a≤0}15．（2023·天津北辰·高一天津市第四十七中学校考阶段练习）设关于x的不等式ax2+6a+1x+5a+10≥0，（a∈Z），只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为___________.【答案】−6【分析】先确定a<0，再利用0为其中的一个解，a∈Z，可求出a的值，从而可求出原不等式的解，由此确定不等式的整数解，从而可得出答案.【详解】若a=0，则原不等式为6x+10≥0，即x≥−53，显然原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故a≠0.设y=ax2+6(a+1)x+5a+10a≠0，其图象为抛物线，对于任意一个给定的a值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足y≥0而整数解只有有限个，所以a<0，因为0为其中一个解，所以5a+10≥0，即a≥−2，所以−2≤a<0，又a∈Z，所以a=−2或a=−1，若a=−2，则不等式为−2x2−6x≥0，解得−3≤x≤0，因为x为整数，所以x=−3,−2,−1,0；若a=−1，则不等式为−x2+5≥0，解得−5≤x≤5，因为x为整数，所以x=−2,−1,0,1,2；所以全部不等式的整数解的和为−6.故答案为：−616．（2022秋·上海宝山·高三统考期末）已知0<a<1，0<b<1，不等式ax2+x+b≥0对于x∈R恒成立，且方程bx2+x+a=0有实根，则11−a+21−b的最小值为.【答案】4+423 【分析】根据题意结合一元二次不等式在R上恒成立可得1−4ab=0，消b整理得11−a+21−b=44−4a+24a−1+2，注意到4−4a+4a−1=3，结合基本不等式求最值.【详解】由题意可得：不等式ax2+x+b≥0对于x∈R恒成立，则Δ=1−4ab≤0方程bx2+x+a=0有实根，则Δ=1−4ab≥0∴1−4ab=0，即b=14a，则11−a+21−b=11−a+21−14a=11−a+8a4a−1=44−4a+24a−1+2∵4−4a+4a−1=3，则344−4a+24a−1=4−4a+4a−144−4a+24a−1=44a−14−4a+24−4a4a−1+6≥244a−14−4a×24−4a4a−1+6=46+6当且仅当44a−14−4a=24−4a4a−1时等号成立∴44−4a+24a−1≥423+2，则11−a+21−b≥4+423故答案为：4+423.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（2023·安徽宣城·高二阶段练习）已知p：，q：x2﹣（a2+1）x+a2＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】−2≤a≤2【详解】试题分析:根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解：由p：⇒﹣1≤x＜2，方程x2﹣（a2+1）x+a2=0的两个根为x=1或x=a2，若|a|＞1，则q：1＜x＜a2，此时应满足a2≤2，解得1＜|a|≤2，当|a|=1，q：x∈∅，满足条件，当|a|＜1，则q：a2＜x＜1，此时应满足|a|＜1，综上．−2≤a≤2.考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．18．（2022秋·新疆·高一校联考期中）已知p：∃x≠0，mx2−x+1≤0，q：∀x∈R，2x2−mx+2>0. (1)若p为真命题，求m的取值范围；(2)若p，q中至少有一个为真命题，求m的取值范围.【答案】(1)m≤14；(2)m<4.【分析】（1）转化为m≤−1x2+1xmax，求解即可；（2）结合判别式可得若q为真命题m的取值范围，分p真q真，p真q假，p假q真三种情况讨论即得解.【详解】（1）由题意得∃x≠0，mx2≤x−1，因为x≠0，所以m≤−1x2+1xmax，又−1x2+1x=−1x−122+14≤14，所以m≤14.（2）若q为真命题，则Δ=m2−4×2×2<0，得−4<m<4.若p真q真，则m≤14,−4<m<4,得−4<m≤14.若p真q假，则m≤14m∈(−∞,−4]∪[4,+∞)，得m≤−4.若p假q真，则m>14,−4<m<4,得14<m<4.故m的取值范围为m<4.19．（2022秋·四川宜宾·高一四川省宜宾市第四中学校校考期中）已知不等式ax2−4x+3>0的解集为{x|x<1或x>b}，其中b>1．(1)求实数a，b的值；(2)当c∈R时，解关于x的不等式ax2−(c+b)x+bc≤0（用c表示）．【答案】(1)a=1、b=3(2)答案见解析【分析】（1）依题意x=1、x=b为方程ax2−4x+3=0的两根，代入方程得到关于a、b的方程组，解得即可；（2）由（1）可得不等式即x2−(c+3)x+3c≤0，即x−3x−c≤0，分c=3、c>3、c<3三种情况讨论，分别求出不等式的解集.【详解】（1）解：依题意x=1、x=b为方程ax2−4x+3=0的两根，所以a−4+3=0ab2−4b+3=0，解得a=1b=1或a=1b=3，因为b>1， 所以a=1、b=3；（2）解：由（1）可得不等式ax2−(c+b)x+bc≤0，即x2−(c+3)x+3c≤0，即x−3x−c≤0，当c=3时原不等式即x−32≤0，解得x=3，所以不等式的解集为3；当c>3时解得3≤x≤c，即不等式的解集为x|3≤x≤c；当c<3时解得c≤x≤3，即不等式的解集为x|c≤x≤3；综上可得：当c=3时不等式的解集为3，当c>3时不等式的解集为x|3≤x≤c，当c<3时不等式的解集为x|c≤x≤3.20．（2023·高一课时练习）某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0<x<1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，为使日利润有所增加，求x的取值范围．【答案】{x|0<x<34}【分析】根据题意求出y关于x的函数关系式，再解一元二次不等式可得结果.【详解】设增加成本后的日利润为y元．y=60×1+0.5x−40×1+x×1000×1+0.8x=2000×−4x2+3x+100<x<1.要保证日利润有所增加，则y>60−40×1000，且0<x<1，即−4x2+3x>00<x<1，解得0<x<34.所以为保证日利润有所增加，x的取值范围是{x|0<x<34}．21．（2022秋·青海海东·高一校考期中）如图，计划依靠一面墙建一个植物角.墙长为18m.用栅栏围成四个相同的长方形区域种植若干种植物.(1)若每个长方形区域的面积为24m2，要使围成四个区域的栅栏总长度最小，每个长方形区域长和宽分别是多少米？并求栅栏总长度的最小值； (2)若每个长方形区域的长为xm（x>2），宽为长的一半.每米栅栏价格为5元，区域的重建费用为每平方米10元.要使总费用不超过180元，求长方形区域的长x的取值范围.【答案】(1)每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m(2)2<x≤94【分析】（1）利用基本不等式即可求得栅栏总长度的最小值；（2）根据题意可知总费用y=10×2x2+5×7x=20x2+35x，解不等式即可求得x的取值范围.【详解】（1）设每个长方形区域的长为xm（0<x≤9），则宽为24xm，则栅栏总长为l=4x+6×24x=4x+144x≥24×144=48..当且仅当4x=144x，即x=6时等号成立，所以每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m；（2）由题可知每个长方形区域的长为xm，宽为x2m，2<x≤9，则长方形区域的面积为4x⋅x2=2x2，栅栏总长为4x+6×x2=7x，∴总费用y=10×2x2+5×7x=20x2+35x，又总费用不超过180元，∴20x2+35x≤180，解得：−4≤x≤94,又∵2<x≤9，∴2<x≤94,故当2<x≤94时，总费用不超过180元.22．（2022·全国·高一期中）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元m≥0满足x=4−km+1(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按8+16xx元来计算）．（1）求k的值；（2）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （3）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1）k=2；（2）y=36−16m+1−mm≥0；（3）投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.【解析】（1）根据题意m=0时，x=2可得解；（2）由（1）求出x=4−2m+1，进一步求出销售价格1.5×8+16xx，由利润=销售额−固定成本−再投入成本−促销费，即可求解.（2）由（1）y=36−16m+1−m=37−16m+1+m+1m≥0，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由题意知，当m=0时，x=2（万件），则2=4−k，解得k=2，（2）由（1）可得x=4−2m+1.所以每件产品的销售价格为1.5×8+16xx（元），∴2020年的利润y=1.5x×8+16xx−8−16x−m=36−16m+1−mm≥0.（3）∵当m≥0时，m+1>0，∴16m+1+(m+1)≥216=8，当且仅当m=3时等号成立.∴y≤−8+37=29，当且仅当16m+1=m+1，即m=3万元时，ymax=29（万元）.故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.