2024年新高考新结构题型中大题考点预测：圆锥曲线综合 学生版

新结构题型中大题考点预测:圆锥曲线综合题型一：弦长、面积问题题型二：中点弦问题题型三：定点问题题型四：定值问题题型五：定直线问题题型一：弦长、面积问题2y2x1(2024下·甘肃武威·高三民勤县第一中学校考开学考试)已知椭圆+=1的右焦点为F，设直线l：54x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A、B两点，M为线段EF的中点.165(1)若AB=，求直线l1的倾斜角；9(2)设直线AM交直线l于点N.①求直线BN的斜率；BF②求的值.BN1 2x22(2024·山西·校联考模拟预测)已知F为椭圆C:+y=1的右焦点，过点F且斜率为k1的直线与椭圆C2交于点A，B，k1≥0且k1≠1．(1)求AB的取值范围；π(2)过点F作直线ED与椭圆C交于点E，D，直线ED的倾斜角比直线AB的倾斜角大，求四边形4AEBD面积的最大值．一、解答题2y2x1(2024上·上海·高三曹杨二中校考期末)已知椭圆Γ：+=1，A是其左顶点，过点S1,0且不42与x轴重合的直线l与Γ交于P、Q两点.(1)若直线l垂直于x轴，求线段PQ的长度；(2)若∠APQ=90°，且点P在x轴上方，求P、Q两点的坐标；(3)设直线AP与y轴交于点M，直线AQ与y轴交于点N，是否存在直线l，使得△APQ的面积是△AMN的两倍？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.2 222(2024上·浙江金华·高三统考期末)已知点P是圆S:x+y=1的动点，过P作PH⊥y轴，H为垂足，1且HQ=tHP，HR=HPt>1，记动点Q，R的轨迹分别为S1，S2．t(1)证明：S1，S2有相同的离心率；24(2)若直线l:y=kx-与曲线S1交于A，B，与曲线S2交于C，D，与圆S交于M，N，当k>3时，试比2222较AB+CD与2MN的大小．y22x13(2024上·山东青岛·高三青岛二中校考期末)已知椭圆T:+=1a>b>0的离心率，其上a2b222焦点F与抛物线K:x=4y的焦点重合.(1)求椭圆T的方程；(2)若过点F的直线交椭圆T于点A、B，同时交抛物线K于点C、D(如图1所示，点C在椭圆与抛物线第一象限交点上方)，判断AC与BD的大小关系，并证明；(3)若过点F的直线交椭圆T于点A、B，过点F与直线AB垂直的直线EG交抛物线K于点E、G(如图2所示)，判断四边形AEBG的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.3 24(2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F，准线为l.若抛物线C与直线py=2x-2交于P,Q两点，且PQ=6.(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点F的直线与C交于不同的两点A,B,O为坐标原点，直线OA与l交于点M.连接MF，过点F作MF的垂线与l交于点N.求证：O,B,N三点共线.2y2x5(2024上·湖南益阳·高三统考期末)已知椭圆C:+=1a>b>0，过椭圆C上一动点P引圆22ab222O:x+y=b的两条切线PA、PB,A、B为切点，直线AB与x轴、y轴分别交于点E、F．(1)已知P点坐标为x0,y0x0y0≠0，求直线AB的方程；22ab(2)若圆O的半径为2，且+=2，过椭圆C的右焦点作倾斜角不为0的动直线l与椭圆C交22OFOE于M、N两点，点Q在x轴上，且QM⋅QN为常数，求△QMN的面积的最大值．4 16(2024下·重庆·高三重庆一中校考开学考试)在平面直角坐标系中，过直线l:x=-上任一点M作41该直线的垂线PM，F,0，线段FM的中垂线与直线PM交于点P．4(1)当M在直线l上运动时，求点P的轨迹C的方程；22(2)过P向圆N:(x-2)+y=1引两条切线，与轨迹C的另一个交点分别为A，B．(i)证明：直线AB与圆N也相切；(ii)求△PAB周长的最小值．27(2023上·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习)设A，B是抛物线C:y=4x上异于O0,0的两点．111(1)设直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，求证：+=；k1k2k3(2)设直线AB经过点F1,0，若C上恰好存在三个点Dii=1,2,3，使得△ABDi的面积等于42，求直线AB的方程．5 2n8(2024·广东深圳·统考一模)已知动点P与定点Am,0的距离和P到定直线x=的距离的比为mm常数．其中m>0,n>0，且m≠n，记点P的轨迹为曲线C．n(1)求C的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点B-m,0，若曲线C上两动点M,N均在x轴上方，AM∥BN，且AN与BM相交于点Q．11①当m=22,n=4时，求证：+的值及△ABQ的周长均为定值；AMBN②当m>n时，记△ABQ的面积为S，其内切圆半径为r，试探究是否存在常数λ，使得S=λr恒成立？若存在，求λ(用m,n表示)；若不存在，请说明理由．9(2024·广东梅州·统考一模)有一种曲线画图工具如图1所示，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DM=DN=ON=1.当栓子D在滑槽AB内做往复运动时，带动N绕O转动，跟踪动点N的轨迹得到曲线C1，跟踪动点M的轨迹得到曲线C2，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)分别求曲线C1和C2的方程；(2)曲线C1与x轴的交点为E，F，动直线l:y=kx+m与曲线C1相切，且与曲线C2交于P，Q两点，求△EPQ的面积与△FPQ的面积乘积的取值范围.6 2y2x10(2024·辽宁·校联考一模)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的右顶点E1,0，斜率为1的直22ab线交C于M、N两点，且MN中点Q1,3.(1)求双曲线C的方程；(2)证明：△MEN为直角三角形；(3)若过曲线C上一点P作直线与两条渐近线相交，交点为A，B，且分别在第一象限和第四象限，若AP=1λPB，λ∈,2，求△AOB面积的取值范围.32x211(2024·山西·校联考模拟预测)已知F为椭圆C:+y=1的右焦点，过点F且斜率为k1的直线与2椭圆C交于点A，B，k1≥0且k1≠1．(1)求AB的取值范围；π(2)过点F作直线ED与椭圆C交于点E，D，直线ED的倾斜角比直线AB的倾斜角大，求四边形4AEBD面积的最大值．7 2y2x12(2023下·江西宜春·高三校联考阶段练习)已知椭圆C:+=1的左顶点为A，右焦点为F，过43点T4,0的直线l交C于M、N两点，其中点M在第二象限．(1)若直线l过点0,1，求△AMN的面积；(2)设线段MF交半径为1的圆F于点G，直线TG与AM交于点R，若直线AM，NR的斜率之比为-23，求MG．13(2023上·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习)平面直角坐标系xOy中，P为动点，PA与直线x=3y垂直，垂足A位于第一象限，PB与直线x=-3y垂直，垂足B位于第四象限，3∠APB>90°且APBP=，记动点P的轨迹为C.4(1)求C的方程；(2)已知点M-2,0，N2,0，设点T与点P关于原点O对称，∠MTN的角平分线为直线l，过点P作l的PH垂线，垂足为H，交C于另一点Q，求的最大值.QH8 22y14(2023上·云南昆明·高三云南师大附中校联考期中)在椭圆Γ：x+=1上任取点Cx0,y0，过C2分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，点D满足BA=AD，记动点D形成的轨迹为E.(1)求E的方程：(2)设O为坐标原点，直线l交轨迹E于P、Q两点，满足△OPQ的面积恒为2.求OP⋅OQ的最大值，并求取得最大值时直线l的方程.2y2x15(2024上·江苏苏州·高三统考期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：-=22aa+21的右焦点为F2,0，左、右顶点分别为A1，A2，过F且斜率不为0的直线l与C的左、右两支分别交于P、Q两点，与C的两条渐近线分别交于D、E两点(从左到右依次为P、D、E、Q)，记以A1A2为直径的圆为圆O．(1)当l与圆O相切时，求DE；(2)求证：直线A1Q与直线A2P的交点S在圆O内．9 题型二：中点弦问题2y2x1(2024·辽宁·校联考一模)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的右顶点E1,0，斜率为1的直线交22abC于M、N两点，且MN中点Q1,3.(1)求双曲线C的方程；(2)证明：△MEN为直角三角形；(3)若过曲线C上一点P作直线与两条渐近线相交，交点为A，B，且分别在第一象限和第四象限，若AP1=λPB，λ∈,2，求△AOB面积的取值范围.3一、解答题2x21(2024·全国·模拟预测)已知不过坐标原点O且斜率为1的直线与椭圆Γ:+y=1交于点A，B，M3为AB的中点．(1)求直线OM的斜率；(2)设P-2,0，直线PA，PB与椭圆Γ的另一个交点分别为C，D(均异于椭圆顶点)，证明：直线CD过定点．10 22(2023上·安徽六安·高三六安二中校考期末)已知抛物线C:x=2py(p>0)，过焦点F的直线交抛物11线于A､B两点，AF=,BF=62(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线上有一动弦CD,M为弦CD的中点，CD=3，求点M的纵坐标的最小值，2y2x3(2024·辽宁·校联考一模)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的右顶点E1,0，斜率为1的直22ab线交C于M、N两点，且MN中点Q1,3.(1)求双曲线C的方程；(2)证明：△MEN为直角三角形；(3)若过曲线C上一点P作直线与两条渐近线相交，交点为A，B，且分别在第一象限和第四象限，若AP=1λPB，λ∈,2，求△AOB面积的取值范围.311 2y2x4(2023下·上海宝山·高三上海交大附中校考期中)已知△ABC的三个顶点都在椭圆Γ:+=143上.(1)设它的三条线段AB，BC，AC的中点分别为D，E，M，且三条边所在线的斜率分别为k1,k2,k3，且k1,111k2,k3均不为0.点O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和1.求证：++为定值；k1k2k3(2)当O是△ABC的重心时，求证：△ABC的面积是定值；(3)如图，设△ABC的边AB所在直线与x轴垂直，垂足为椭圆右焦点F，过点F分别作直线l1,l2与椭圆交于C,D,E,G(不同于A，B两点)，连接CG,DE与AB分别交于M,N，求证：FM=FN.25(2024上·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中)已知F是抛物线C:y=2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且MF=2.(1)求抛物线的方程；(2)设抛物线C上的点S,T在其准线上的射影分别为S1,T1，若△S1T1F的面积是△STF的面积的2倍，求线段ST中点的轨迹方程.(3)设过点F的直线交抛物线于A,B两点，斜率为2的直线l与直线MA,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,R,2N,且RN=PN⋅QN，求直线l在x轴上截距的范围.12 2y2x6(2023上·江西·高三统考阶段练习)已知曲线C：+=1m≠0.9m(1)若C为椭圆，点F是C的一个焦点，点P是C上任意一点且PF的最小值为2，求m；(2)已知点E，G是C上关于原点对称的两点，点P是C上与E，G不重合的点.在下面两个条件中选一个，判断是否存在过点M1,1的直线与C交于点A，B，且线段AB的中点为M，若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由.8①直线PE,PG的斜率之积为2；②直线PE，PG的斜率之积为-.9注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.2x27(2023上·上海虹口·高三上外附中校考期中)已知椭圆Γ：+y=1中，A为Γ的上顶点，P为Γ上4异于上、下顶点的动点，Mx0,0x0>0为x轴上的动点．(1)若AP=5，求点P的纵坐标；83(2)设P5,5，若△APM是直角三角形，求x0的值；(3)若MA=MP，是否存在以AM，AP为邻边的平行四边形MAPQ，使得点Q在Γ上？若存在，求出此时点P的纵坐标；若不存在，说明理由．13 22y8(2023下·广东·高三统考阶段练习)已知双曲线C:x-=1与直线l:y=kx+m(k≠±2)．2(1)若直线l与双曲线C相交于A，B两点，点P1,2是线段AB的中点，求直线l的方程；(2)若直线l与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于DxD,0，E0,yE两点．当点M运动时，求点PxD,yE的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．题型三：定点问题21(2024上·浙江金华·高三校联考期末)已知F为拋物线E:y=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，M为E1的准线l上一点，直线MF的斜率为-1,△OFM的面积为．已知P3,1,Q2,1，设过点P的动直线与16抛物线E交于A、B两点，直线AQ,BQ与E的另一交点分别为C,D．(1)求拋物线E的方程；(2)当直线AB与CD的斜率均存在时，讨论直线CD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．14 一、解答题2y2x31(2024·江苏·校联考模拟预测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F，点P1,在椭圆a2b22C上，且PF垂直于x轴．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l斜率存在，交椭圆C于A,B两点，A,B,F三点不共线，且直线AF和直线BF关于PF对称．(ⅰ)证明：直线l过定点；(ⅱ)求△ABF面积的最大值．22(2024下·江苏泰州·高三统考阶段练习)已知抛物线E：x=2y，焦点为F，过F作y轴的垂线l0，点P在x轴下方，过点P作抛物线E的两条切线l1，l2，l1，l2分别交x轴于A，B两点，l1，l2分别交l0于C，D两点．(1)若l1，l2与抛物线E相切于C，D两点，求点P的坐标；(2)证明：△PAB的外接圆过定点；(3)求△PCD面积S的最小值．15 23(2024上·河北邢台·高三统考期末)已知M4,4为抛物线C:y=2pxp>0上的一点，F为C的焦点.(1)设C的准线l与x轴交于点N，过点M作MG⊥l，垂足为G，求四边形MGNF的面积；(2)若A、B为C上横坐标不同的两动点，A、B与M均不重合，且直线MA、MB的斜率之积为-2，证明：直线AB过定点.243x4(2024·四川·校联考模拟预测)已知定点F3,0，定直线l:x=，动点Mx0,y0在曲线C:+342y=1上.MF(1)设曲线C的离心率为e，点M到直线l的距离为d，求证：=e；d(2)设过定点F的动直线与曲线C相交于P,Q两点，过点P与直线l垂直的直线与l相交于点R，直线QR是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.16 2y2x5(2024上·湖北武汉·高三校联考期末)已知双曲线方程为2-2=1，F1，F2为双曲线的左、有焦点，ab离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足PF1⋅PF2=0，PF1⋅PF2=6．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点F2作斜率不为0的直线l交双曲线于A,B两点；则在x轴上是否存在定点Q(m,0)使得QA⋅QB为定值，若存在，请求出m的值及此时△QAB面积的最小值，若不存在，请说明理由．2y2x6(2024上·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期末)过点-2,8作直线l与双曲线C：-=1交416于A，B两点，P是双曲线C的左顶点，直线PA,PB与y轴分别交于Q,R．(1)求直线l斜率的取值范围；(2)求证：线段QR的中点M为定点，并求出点M的坐标．17 2y2x27(2024上·江苏·高三统考期末)已知椭圆E：+=1a>b>0的离心率为，且过点A2,1，a2b22点B与点A关于原点对称，过点P1,-2作直线l与E交于M，N两点(异于A点)，设直线AM与BN的斜率分别为k1，k2．1(1)若直线l的斜率为-，求△AMN的面积；2(2)求k1k2-2k2的值．28(2024上·江西吉安·高三江西省峡江中学校考期末)已知抛物线C：y=2px的焦点F在x轴正半轴上，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．已知当l的斜率为2时，AB=5．(1)求抛物线C的解析式；(2)试判断直线MN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；(3)设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMN面积的最小值．18 题型四：定值问题2y2x1(2024上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期末)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上、下顶22ab1点分别是A，B，点E(异于A，B两点)在椭圆C上，直线EA与EB的斜率之积为-，椭圆C的短轴长2为2．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点Q是椭圆C长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q作斜率不为0的直线l，l与椭圆的两个交11点分别为P，N，若+为定值，则称点Q为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，求出|PQ||QN|所有的“稳定点”；若没有，请说明理由．一、解答题2y2x2221(2024上·浙江绍兴·高三统考期末)已知椭圆C：+=1a>b>0与圆x-2+y-1=r22ab交于M，N两点，直线MN过该圆圆心，且斜率为-1，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过椭圆右焦点的直线l交椭圆于D、E两点，记直线AD，BE的斜率分别为k1，k2.(1)求椭圆C的离心率；k1(2)若a=6，求的值.k219 22(2023上·安徽六安·高三六安二中校考期末)已知抛物线C:x=2py(p>0)，过焦点F的直线交抛物11线于A､B两点，AF=,BF=62(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线上有一动弦CD,M为弦CD的中点，CD=3，求点M的纵坐标的最小值，23(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)已知曲线Γ:x=4y．t(1)若点Tt,s是Γ上的任意一点，直线l:y=x-s，判断直线l与Γ的位置关系并证明．2(2)若E是直线y=-1上的动点，直线EA与Γ相切于点A，直线EB与Γ相切于点B．①试问∠AEB是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．EBAB②若直线EA,EB与x轴分别交于点C,D，证明：=．ECCD20 2y2x4(2024下·安徽·高三蚌埠二中校联考开学考试)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1的左､右焦点，42M,N是C上位于x轴上方的两点，MF1∥NF2，且MF2与NF1的交点为P．(1)求四边形MF1F2N的面积S的最大值；(2)证明：PF1+PF2为定值．2y2x5(2024上·山东青岛·高三统考期末)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为e，左、右焦点分22ab2x2别为F1,F2，且直线y=ex是双曲线-y=1的一条渐近线.直线x=x0与椭圆E交于C，D两点，且4△CDF1的周长最大值为8.椭圆E的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，直线PQ与x轴相交于点M(m,0)，记直线AP的斜率为k1，直线QB的斜率为k2.k1(1)求值.k2(2)若m=1，设△AQP和△BPQ的面积分别为S1,S2，求S1-S2的最大值.21 2n6(2024·广东深圳·统考一模)已知动点P与定点Am,0的距离和P到定直线x=的距离的比为mm常数．其中m>0,n>0，且m≠n，记点P的轨迹为曲线C．n(1)求C的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点B-m,0，若曲线C上两动点M,N均在x轴上方，AM∥BN，且AN与BM相交于点Q．11①当m=22,n=4时，求证：+的值及△ABQ的周长均为定值；AMBN②当m>n时，记△ABQ的面积为S，其内切圆半径为r，试探究是否存在常数λ，使得S=λr恒成立？若存在，求λ(用m,n表示)；若不存在，请说明理由．7(2024·全国·校联考模拟预测)已知椭圆E的一个焦点是-3，0．直线l1：y=k1x+b1与直线l2：y=k2x+b2关于直线y=x+1对称，且其相交于椭圆E的上顶点．(1)求k1k2的值；(2)设直线l1，l2分别与椭圆E交于P,Q两点，证明：直线PQ过定点．22 228(2024·福建龙岩·统考一模)已知双曲线C:x-y=4,A是双曲线C的左顶点，直线l:x=my+tm≠±1.(1)设直线l过定点B1,0，且交双曲线C于E,F两点，求证：直线AE与AF的斜率之积为定值；(2)设直线l与双曲线C有唯一的公共点M.(i)已知直线l与双曲线C的两条渐近线相交于两点R,S，求证：MR=MS；(ii)过点M且与l垂直的直线分别交x轴､y轴于Px,0,Q0,y两点，当点M运动时，求点Nx,y的轨迹方程.题型五：定直线问题2y2x1(2024下·广东·高三校联考开学考试)已知椭圆C:+=1a>b>0的左、右顶点分别是A，B，点22ab11H3,在椭圆C上，P是椭圆C上异于点A，B的动点，且直线PA，PB的斜率之积为-．24(1)求椭圆C的标准方程．(2)过点1,0的直线l与椭圆C交于M，N(异于A，B)两点，直线AM与BN交于点Q，试问点Q是否恒在一条直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．23 一、解答题1(2024下·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)已知B-2,0,C2,0为△ABC的两个顶点，P为△ABC的重心，边AC,AB上的两条中线长度之和为36.(1)求点P的轨迹Γ的方程；(2)过C作不平行于坐标轴的直线交Γ于D，E两点，若DM⊥x轴于点M，EN⊥x轴于点N，直线DN与EM交于点Q.①求证：点Q在一条定直线上，并求此定直线；②求△DEQ面积的最大值.22(2024·全国·高三专题练习)已知抛物线E:y=2pxp>0，过点-1,0的两条直线l1、l2分别交E于1A、B两点和C、D两点．当l1的斜率为时，AB=210．2(1)求E的标准方程；(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G在定直线上．24 2y2x3(2024·全国·高三专题练习)平面直角坐标系xOy中，椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是22ab32，抛物线E:x=2y的焦点F是C的一个顶点.设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线2l与C交于不同的两点A,B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(1)求证：点M在定直线上；S1(2)直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点S2P的坐标.2y2x4(2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标ab35原点，点P-1,2在椭圆C上，且PF2=2，直线l过点F1且与椭圆C交于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知OF1=F1M，OF2=F2N，若直线AM，BN交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．25 5(2024·全国·高三专题练习)如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲2y2x线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E:-=1b>0的左、右焦4b2点分别为F1、F2，从F2发出的光线经过图2中的A、B两点反射后，分别经过点C和D，且tan∠CAB=3-，AB⊥BD.4(1)求双曲线E的方程；(2)设A1、A2为双曲线E实轴的左、右顶点，若过P4,0的直线l与双曲线C交于M、N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．26(2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C：x=4y，过点D0,2的直线l交抛物线交于A，B两点，抛物线在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，直线l1与l2交于点M.(1)设直线l1，l2的斜率分别为直线k1，k2，求证：k1⋅k2=-2；(2)证明：点M在定直线上；MN(3)设线段AB的中点为N，求的取值范围.AB26 2y2x7(2024·安徽池州·池州市第一中学校联考模拟预测)已知双曲线C：-=1a>0,b>0的离心22ab率为2，过点E1,0的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点(异于顶点)．(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积(O为坐标原点)；(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且AB=4，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由2y2x8(2024·全国·高三专题练习)已知点(2,3)在双曲线C:-=1上．22aa+2(1)双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A,B两点，其中O为坐标原点，求证：△AOB的面积S是定值；1(2)已知点P,1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M､N，在线段MN上取异于点M､N2PMMH的点H，满足=，证明：点H恒在一条定直线上．PNHN27