福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校2023-2024学年高三下学期返校联考数学试卷
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安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年春高三返校联考考试科目:数学满分:150分考试时间:120分钟命题者:刘法宝、吴志湖审核者:黄培华、王建清、刘晓波第Ⅰ卷(选择题)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的.1.已知集合Axx12,Bxlogx1,则AB()4A.3,4B.,13,4C.1,4D.,4a3i2.若复数是纯虚数,则实数a()2i2233A.B.C.D.33223.在△ABC中,D是线段BC上一点,满足BD2DC,M是线段AD的中点,设BMxAByAC,则()1111A.xyB.xyC.xyD.xy22224.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中,指G数衰减的学习率模型为LLDG0,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L表示初始学习率,D表示衰00减系数,G表示训练迭代轮数,G表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰0减速度为22,且当训练迭代轮数为22时,学习率衰减为0.45,则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为()(参考数据:lg20.3010,lg30.4771)A.11B.22C.227D.48122xy5.已知椭圆C:1的左右焦点为F、F,P为椭圆C上一点,PFF,则△PFF的面积为121212433()A.3B.1C.3D.236.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C2A,a,b,c成等差数列,则cosC().1314A.B.C.D.842522xy7.已知双曲线C:1(a0,b0)的左右顶点为A、B,点P、Q均在C上,且关于x轴对称.若22ab1直线AP、BQ的斜率之积为,则该双曲线的离心率为()4学科网(北京)股份有限公司
765A.B.C.D.2222a8.已知正数a,b,c满足eblnc,e为自然对数的底数,则下列不等式一定成立的是()22A.ac2bB.ac2bC.acbD.acb二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.39.已知A,B是直线y与函数fxsinx(0)图象的两个相邻交点,若AB,则的266值可能是()A.2B.4C.8D.1010.在正方体ABCDABCD中,AB2,P是正方形ABCD内部(含边界)的一个动点,则()1111A.存在唯一点P,使得DPBC11B.存在唯一点P,使得直线DP与平面ABCD所成的角取到最小值11C.若DPDB,则三棱锥PBBC外接球的表面积为812D.若异面直线DP与AB所成的角为,则动点P的轨迹是抛物线的一部分11411.学校食堂每天中午都会提供A,B两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种),经过统计分析发现:21学生第一天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套33131餐的概率为,选择B套餐的概率为;前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为,选择B套4421餐的概率也是,如此反复.记某同学第n天选择A套餐的概率为A,选择B套餐的概率为B.一个月(30nn2天)后,记甲乙丙三位同学选择B套餐的人数为X,则下列说法中正确的是()236A.AB1B.数列A是等比数列C.EX1.5D.PX1nnn5125第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.将答案填在答题卡的相应位置.2212.已知圆xy4,直线l:yxb,圆上恰好有两个点到直线l的距离等于1.则符合条件的实数b可以为______.(只需写出一个满足条件的实数即可)13.梯形ABCD中,AD∥BC,ABAD,ADAB1,BC2,分别以AB、BC、AD为轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为______.学科网(北京)股份有限公司
14.若过点1,0可以作曲线ylnxa的两条切线,则实数a的取值范围为______.四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图为一块直四棱柱木料,其底面ABCD满足:ABAD,AD∥BC.(1)要经过平面CCDD内的一点P和棱BB将木料锯开,在木料表面应该怎样画线?(借助尺规作图,并111写出作图说明,无需证明)(2)若ADAB2,BCAA1,当点P在点C处时,求直线AP与平面CCDD所成角的正弦值.11116.(15分)如图,在数轴上,一个质点在外力的作用下,从原点O出发,每次等可能地向左或向右移动一个单位,质点到达位置的数字记为X.(1)若该质点共移动2次,位于原点O的概率.(2)若该质点共移动6次,求该质点到达数字X的分布列和数学期望.217.(15分)有nn4个正数,排成n行n列的数表:aaaaa111213141naaaaa212223242naaaaa313233343n,aaaaa414243444naaaaan1n2n3n4nn其中a表示位于第i行,第j列的数.数表中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比ij13相等.已知a1,a,a.244243816(1)求公比.(2)求aaa.1122nn218.(17分)已知抛物线C:y2px(p0)经过点P4,4.(1)求抛物线C的方程及其准线方程.学科网(北京)股份有限公司
(2)设O为原点,直线ykx2与抛物线C交于M,N(异于P)两点,过点M垂直于x轴的直线交直线OP于点T,点H满足MTTH.证明:直线HN过定点.2119.(17分)已知函数fxexlnx,gxx1.e(1)证明:对任意的x0,1,都有fxgx.(2)若关于x的方程fxm有两个不等实根x,x,证明:1mxx21m.1221学科网(北京)股份有限公司
安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年春高三返校联考数学参考答案题号1234567891011答案ACBDAACBADBCDABD1.答案:A解析:由x12,得x1或x3,所以Axx1或x3,由logx1,得0x4,所以4Bx0x4,所以ABx3x4.2.答案:Ca3ia3i2i2a36ai3解析:,则2a30,有a.2i5523.答案:B解析:因为D是线段BC上一点,满足BD2DC,2212所以ADABBCABACABABAC,3333111又M是线段AD的中点,所以AMADABAC,2631151所以BMBAAMABABACABAC,6363511所以x,y,故xy.6324.答案:DGG解析:由于LLDG0,所以L0.5D22,0G229922依题意0.450.5D22D,则L0.5,1010GGG92292219221G9由L0.50.05得,lglg,lg1,10101010102210学科网(北京)股份有限公司
22Glg9lg1022,Glg10lg922,G,lg10lg9222222G480.35,12lg3120.47710.0458所以所需的训练迭代轮数至少为481轮.5.答案:A解析:P为短轴上的顶点.6.答案:A解析:因为C2A,所以B3A.又因为a,b,c成等差数列,则2bac.根据正弦定理可得:2sinBsinAsinC,即2sin3AsinAsinC,展开得:2sin2AcosA2cos2AsinAsinAsinC,进一步得:sin2A2cosA1sinA12cos2A,2因为sinA0,可得8cosA2cosA30,2331又易知A为锐角,所以cosA,则cosC21,故A正确.4487.答案:C22yy1y1b15111解析:设Px,y,Qx,y,则,,,e.1111222xaxa4xa4a421118.答案:Bbb解析:由题设a0,则b1,且alnb,ce,则aclnbe,x1x令fxlnxe2x且x1,故fxe2,x1xx1令gxe2,则gxe在1,上递增,故gxg1e10,2xx所以gxfx在1,上递增,故fxf1e10,x所以fx在1,上递增,故fxf1e20,即lnxe2x在1,上恒成立,故ac2b,2x2e2A错,B对;对于ac,b的大小关系,令hxelnxx且x1,而h110,heee0,x2显然hx在1,上函数符号有正有负,故elnx,x的大小在x1,上不确定,2即ac,b的大小在b1,上不确定,所以C、D错.学科网(北京)股份有限公司
9.答案:AD15解析:设函数fx的最小正周期为T,则ABT或者ABT,66210即或,解得2或10,666610.答案:BCD解析:对于A选项:正方形BCCB中,有BCBC,1111正方体中有AB平面BCCB,BC平面BCCB,ABBC,111111又BCABB,BC,AB平面ABCD,BC平面ABCD,1111111只要DP平面ABCD,就有DPBC,P在线段AB上,有无数个点,A选项错误;11111对于B选项:DD平面ABCD,直线DP与平面ABCD所成的角为DPD,DD2,DPD取到最小11111值时,PD最大,此时点P与点B重合,B选项正确;11对于C选项:若DPDB,则P为DB中点,△PBC为等腰直角三角形,外接圆半径为BC1,三221棱锥PBBC外接球的球心到平面PBC的距离为BB1,则外接球的半径为2,所以三棱锥PBBC1112外接球的表面积为8,C选项正确;对于D选项:以D为原点,DA,DC,DD1的方向为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则D0,0,2,A2,0,2,B2,2,0,Px,y,00x2,0y2,则有11D1PA1B2y42D1Px,y,2,A1B0,2,2,有cosD1P,A1Bcos,化DPABx2y24842112简得x4y,P是正方形ABCD内部(含边界)的一个动点,所以P的轨迹是抛物线的一部分,D选项正确.11.答案:ABD解析:由于每人每次只能选择A,B两种套餐中的一种,所以AB1,所以A正确,依题意,nn112122224An1An1An,则An1Ann1,nN,又n1时,A1,4254553515学科网(北京)股份有限公司
241所以数列A是以为首项,以为公比的等比数列,所以n5154n1nn241216131613A,A,B1A,当n30时,B,所以nnnnn515451545154523l32369XB3,,PX1C,EX,3555125512.答案:符合2b32即可713.答案:3解析:如下图所示:由题意可知,四边形ABCD是直角梯形,且AB为直角腰,ABAD1,BC2.①若以AB为轴旋转一周,则形成的几何体为圆台,且圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,高为1,几17何体的体积为V441;133②若以BC为轴旋转一周,则形成的几何体是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成的几何体,且圆柱、圆锥的底面2124半径均为1,高均为1,几何体的体积为V1111;233③若以AD为轴旋转一周,则形成的几何体是在一个圆柱中挖去一个圆锥所形成的几何体,圆柱的底面半径为21251,高为2,圆锥的底面半径与高均为1,几何体的体积为V1211.因为VVV,3132337因此,分别以AB、BC、AD为轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为.314.答案:1a0解析:曲线ylnxa有渐近线xa,且与x轴交于点A1a,0.结合图像可知,点1,0应位于A与渐近线之间,故有a11a,解得:1a0.学科网(北京)股份有限公司
15.解析:(1)过点P作直线EF∥CC,分别交CD、CD于E、F,连接BE、BF.1111(2)以AA、AB、AD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Axyz.1则A0,0,0,D0,0,2,D1,0,2,C0,2,1P0,2,11AP0,2,1,CD0,2,1,DD11,0,0.nCD2yz0设平面CC1D1D的法向量为nx,y,z,则,nDDx01取n0,1,2.nAP4设直线AP与平面CCDD所成角为,sincosn,AP,11nAP54所以直线AP与平面CCDD所成角的正弦值为.11516.解析:(1)质点移动2次,可能结果共有224种,1若质点位于原点O,则质点需要向左、右各移动一次,共有C2种,221故质点位于原点O的概率P.42(2)质点每次移动向左或向右,设事件A为“向右”,则A为“向左”.1故PAPA,2学科网(北京)股份有限公司
1设Y表示6次移动中向左移动的次数,则YB6,,质点到达的数字X62Y,26011所以PX6PY0C,62646113PX4PY1C6,23262115PX2PY2C6,2646315PX0PY3C6,21664115PX2PY4C6,2646513PX4PY5C6,2326611PX6PY6C6,264所以X的分布列为:X6420246131551531P643264166432641EXE62Y2EY62660.211117.解析:(1)第4行公差为daa,aa.43424443161642111由已知:aq,所以q.又每个数都是正数,所以q.24422111k(2)因为a,所以a是首项为,公差为的等差数列.故a.414k4k16161616n4n11因为每一列的数成等比数列,并且所有的公比都相等,所以aak.nk4k22n1故an,设a的前n项和为S,nnnnn2122n1111Saaa123n①,n1122nn2222学科网(北京)股份有限公司
234n111111S123n②,n22222123nn1111111①-②得Snn222222111n1n221n12121n1.nn122n2所以S2.nn218.解析:(1)由已知,168p,所以p2.2抛物线C:y4x,准线方程为x1.2y4x2(2)由,消去x,得ky4y80.ykx248设Mx,y,Nx,y,则k0,Δ0,且yy,yy.11221212kk直线OP方程为:yx.所以Tx,x.11又MTTH,则T为MH中点,所以Hx,2xy.11lyyxx22所以HN:.2xyyxx11212y2x1x2x22x1y1y2y2x1x2x22x1y1y2x1令y0,则xx.22xyy2xyy2xyy112112112222yyyyyyyyyy441221121212又xyx2xyyyy0.12211112442424kk所以直线HN过定点O.2119.解析:1令hxfxgxexlnxx1,x0,1.e121则hxelnx12xelnx2xe,h0.eeee又当x0,1时,hx2e20,所以hx在0,1上单调递增.x学科网(北京)股份有限公司
1111所以当x0,时,hxh0,当x,1时,hxh0.eeee1所以hxh0.故对任意的x0,1,都有fxgx.e12fxelnx1,当x0,时fx0,fx单调递减,e1当x,时fx0,fx单调递增.e1又f1,limf(x)0,f(1)0,所以1m0.ex0设函数gx的图象与直线ym的交点的横坐标分别为x和x.12不妨设xx,xx,则xxxx,所以xxxx.12121122212121221又方程mx1可化为xx1m0,其两根为x和x,212eee21所以xx,xx1m.12122ee2所以xxxx4xx21m.211212故xx21m.211当x0,时,fxexlnxex,函数fx图像在直线yex的下方.e11当x,时,令kxe1lnx1,exe11e1x1则kx.22xxx111所以kx在,上递减,在,1上递增.ee1e1111又kk10.所以当x,时,kxe1lnx10.eexee故fxexlnxx1,函数fx图像在直线yx1的下方.e1e1学科网(北京)股份有限公司
e直线ym与直线yex的交点横坐标分别为x,与直线yx1交点的横坐标为x,则34e1mmx,xm1.34ee所以xxxxm1.2143综上,1mxx21m.21学科网(北京)股份有限公司
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