福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校2023-2024学年高三下学期返校联考数学试卷

安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年春高三返校联考考试科目：数学满分：150分考试时间：120分钟命题者：刘法宝、吴志湖审核者：黄培华、王建清、刘晓波第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的．1．已知集合Axx12,Bxlogx1，则AB（）4A．3,4B．,13,4C．1,4D．,4a3i2．若复数是纯虚数，则实数a（）2i2233A．B．C．D．33223．在△ABC中，D是线段BC上一点，满足BD2DC,M是线段AD的中点，设BMxAByAC，则（）1111A．xyB．xyC．xyD．xy22224．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指G数衰减的学习率模型为LLDG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L表示初始学习率，D表示衰00减系数，G表示训练迭代轮数，G表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰0减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下（不含0.05）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：lg20.3010,lg30.4771）A．11B．22C．227D．48122xy5．已知椭圆C:1的左右焦点为F、F,P为椭圆C上一点，PFF，则△PFF的面积为121212433（）A．3B．1C．3D．236．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若C2A,a,b,c成等差数列，则cosC（）．1314A．B．C．D．842522xy7．已知双曲线C:1(a0,b0)的左右顶点为A、B，点P、Q均在C上，且关于x轴对称．若22ab1直线AP、BQ的斜率之积为，则该双曲线的离心率为（）4学科网（北京）股份有限公司 765A．B．C．D．2222a8．已知正数a,b,c满足eblnc,e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（）22A．ac2bB．ac2bC．acbD．acb二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．39．已知A,B是直线y与函数fxsinx(0)图象的两个相邻交点，若AB，则的266值可能是（）A．2B．4C．8D．1010．在正方体ABCDABCD中，AB2,P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点，则（）1111A．存在唯一点P，使得DPBC11B．存在唯一点P，使得直线DP与平面ABCD所成的角取到最小值11C．若DPDB，则三棱锥PBBC外接球的表面积为812D．若异面直线DP与AB所成的角为，则动点P的轨迹是抛物线的一部分11411．学校食堂每天中午都会提供A,B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：21学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为．而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套33131餐的概率为，选择B套餐的概率为；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择B套4421餐的概率也是，如此反复．记某同学第n天选择A套餐的概率为A，选择B套餐的概率为B．一个月（30nn2天）后，记甲乙丙三位同学选择B套餐的人数为X，则下列说法中正确的是（）236A．AB1B．数列A是等比数列C．EX1.5D．PX1nnn5125第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡的相应位置．2212．已知圆xy4，直线l:yxb，圆上恰好有两个点到直线l的距离等于1．则符合条件的实数b可以为______．（只需写出一个满足条件的实数即可）13．梯形ABCD中，AD∥BC,ABAD,ADAB1,BC2，分别以AB、BC、AD为轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为______．学科网（北京）股份有限公司 14．若过点1,0可以作曲线ylnxa的两条切线，则实数a的取值范围为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图为一块直四棱柱木料，其底面ABCD满足：ABAD,AD∥BC．（1）要经过平面CCDD内的一点P和棱BB将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并111写出作图说明，无需证明）（2）若ADAB2,BCAA1，当点P在点C处时，求直线AP与平面CCDD所成角的正弦值．11116．（15分）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，质点到达位置的数字记为X．（1）若该质点共移动2次，位于原点O的概率．（2）若该质点共移动6次，求该质点到达数字X的分布列和数学期望．217．（15分）有nn4个正数，排成n行n列的数表：aaaaa111213141naaaaa212223242naaaaa313233343n，aaaaa414243444naaaaan1n2n3n4nn其中a表示位于第i行，第j列的数．数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比ij13相等．已知a1,a,a．244243816（1）求公比．（2）求aaa．1122nn218．（17分）已知抛物线C:y2px(p0)经过点P4,4．（1）求抛物线C的方程及其准线方程．学科网（北京）股份有限公司 （2）设O为原点，直线ykx2与抛物线C交于M,N（异于P）两点，过点M垂直于x轴的直线交直线OP于点T，点H满足MTTH．证明：直线HN过定点．2119．（17分）已知函数fxexlnx,gxx1．e（1）证明：对任意的x0,1，都有fxgx．（2）若关于x的方程fxm有两个不等实根x,x，证明：1mxx21m．1221学科网（北京）股份有限公司 安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年春高三返校联考数学参考答案题号1234567891011答案ACBDAACBADBCDABD1．答案：A解析：由x12，得x1或x3，所以Axx1或x3，由logx1，得0x4，所以4Bx0x4，所以ABx3x4．2．答案：Ca3ia3i2i2a36ai3解析：，则2a30，有a．2i5523．答案：B解析：因为D是线段BC上一点，满足BD2DC，2212所以ADABBCABACABABAC，3333111又M是线段AD的中点，所以AMADABAC，2631151所以BMBAAMABABACABAC，6363511所以x,y，故xy．6324．答案：DGG解析：由于LLDG0，所以L0.5D22，0G229922依题意0.450.5D22D，则L0.5，1010GGG92292219221G9由L0.50.05得,lglg,lg1，10101010102210学科网（北京）股份有限公司 22Glg9lg1022,Glg10lg922,G，lg10lg9222222G480.35，12lg3120.47710.0458所以所需的训练迭代轮数至少为481轮．5．答案：A解析：P为短轴上的顶点．6．答案：A解析：因为C2A，所以B3A．又因为a,b,c成等差数列，则2bac．根据正弦定理可得：2sinBsinAsinC，即2sin3AsinAsinC，展开得：2sin2AcosA2cos2AsinAsinAsinC，进一步得：sin2A2cosA1sinA12cos2A，2因为sinA0，可得8cosA2cosA30，2331又易知A为锐角，所以cosA，则cosC21，故A正确．4487．答案：C22yy1y1b15111解析：设Px,y,Qx,y，则,,,e．1111222xaxa4xa4a421118．答案：Bbb解析：由题设a0，则b1，且alnb,ce，则aclnbe，x1x令fxlnxe2x且x1，故fxe2，x1xx1令gxe2，则gxe在1,上递增，故gxg1e10，2xx所以gxfx在1,上递增，故fxf1e10，x所以fx在1,上递增，故fxf1e20，即lnxe2x在1,上恒成立，故ac2b，2x2e2A错，B对；对于ac,b的大小关系，令hxelnxx且x1，而h110,heee0，x2显然hx在1,上函数符号有正有负，故elnx,x的大小在x1,上不确定，2即ac,b的大小在b1,上不确定，所以C、D错．学科网（北京）股份有限公司 9．答案：AD15解析：设函数fx的最小正周期为T，则ABT或者ABT，66210即或，解得2或10，666610．答案：BCD解析：对于A选项：正方形BCCB中，有BCBC，1111正方体中有AB平面BCCB,BC平面BCCB,ABBC，111111又BCABB,BC,AB平面ABCD,BC平面ABCD，1111111只要DP平面ABCD，就有DPBC,P在线段AB上，有无数个点，A选项错误；11111对于B选项：DD平面ABCD，直线DP与平面ABCD所成的角为DPD,DD2,DPD取到最小11111值时，PD最大，此时点P与点B重合，B选项正确；11对于C选项：若DPDB，则P为DB中点，△PBC为等腰直角三角形，外接圆半径为BC1，三221棱锥PBBC外接球的球心到平面PBC的距离为BB1，则外接球的半径为2，所以三棱锥PBBC1112外接球的表面积为8，C选项正确；对于D选项：以D为原点，DA,DC,DD1的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D0,0,2,A2,0,2,B2,2,0,Px,y,00x2,0y2，则有11D1PA1B2y42D1Px,y,2,A1B0,2,2，有cosD1P,A1Bcos，化DPABx2y24842112简得x4y,P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点，所以P的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确．11．答案：ABD解析：由于每人每次只能选择A,B两种套餐中的一种，所以AB1，所以A正确，依题意，nn112122224An1An1An，则An1Ann1,nN，又n1时，A1，4254553515学科网（北京）股份有限公司 241所以数列A是以为首项，以为公比的等比数列，所以n5154n1nn241216131613A,A,B1A，当n30时，B，所以nnnnn515451545154523l32369XB3,，PX1C,EX,3555125512．答案：符合2b32即可713．答案：3解析：如下图所示：由题意可知，四边形ABCD是直角梯形，且AB为直角腰，ABAD1,BC2．①若以AB为轴旋转一周，则形成的几何体为圆台，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为1，几17何体的体积为V441；133②若以BC为轴旋转一周，则形成的几何体是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成的几何体，且圆柱、圆锥的底面2124半径均为1，高均为1，几何体的体积为V1111；233③若以AD为轴旋转一周，则形成的几何体是在一个圆柱中挖去一个圆锥所形成的几何体，圆柱的底面半径为21251，高为2，圆锥的底面半径与高均为1，几何体的体积为V1211．因为VVV，3132337因此，分别以AB、BC、AD为轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为．314．答案：1a0解析：曲线ylnxa有渐近线xa，且与x轴交于点A1a,0．结合图像可知，点1,0应位于A与渐近线之间，故有a11a，解得：1a0．学科网（北京）股份有限公司 15．解析：（1）过点P作直线EF∥CC，分别交CD、CD于E、F，连接BE、BF．1111（2）以AA、AB、AD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Axyz．1则A0,0,0,D0,0,2,D1,0,2,C0,2,1P0,2,11AP0,2,1,CD0,2,1,DD11,0,0．nCD2yz0设平面CC1D1D的法向量为nx,y,z，则，nDDx01取n0,1,2．nAP4设直线AP与平面CCDD所成角为,sincosn,AP，11nAP54所以直线AP与平面CCDD所成角的正弦值为．11516．解析：（1）质点移动2次，可能结果共有224种，1若质点位于原点O，则质点需要向左、右各移动一次，共有C2种，221故质点位于原点O的概率P．42（2）质点每次移动向左或向右，设事件A为“向右”，则A为“向左”．1故PAPA，2学科网（北京）股份有限公司 1设Y表示6次移动中向左移动的次数，则YB6,，质点到达的数字X62Y，26011所以PX6PY0C，62646113PX4PY1C6，23262115PX2PY2C6，2646315PX0PY3C6，21664115PX2PY4C6，2646513PX4PY5C6，2326611PX6PY6C6，264所以X的分布列为：X6420246131551531P643264166432641EXE62Y2EY62660．211117．解析：（1）第4行公差为daa,aa．43424443161642111由已知：aq，所以q．又每个数都是正数，所以q．24422111k（2）因为a，所以a是首项为，公差为的等差数列．故a．414k4k16161616n4n11因为每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，所以aak．nk4k22n1故an，设a的前n项和为S，nnnnn2122n1111Saaa123n①,n1122nn2222学科网（北京）股份有限公司 234n111111S123n②,n22222123nn1111111①-②得Snn222222111n1n221n12121n1．nn122n2所以S2．nn218．解析：（1）由已知，168p，所以p2．2抛物线C:y4x，准线方程为x1．2y4x2（2）由，消去x，得ky4y80．ykx248设Mx,y,Nx,y，则k0,Δ0，且yy,yy．11221212kk直线OP方程为：yx．所以Tx,x．11又MTTH，则T为MH中点，所以Hx,2xy．11lyyxx22所以HN:．2xyyxx11212y2x1x2x22x1y1y2y2x1x2x22x1y1y2x1令y0，则xx．22xyy2xyy2xyy112112112222yyyyyyyyyy441221121212又xyx2xyyyy0．12211112442424kk所以直线HN过定点O．2119．解析：1令hxfxgxexlnxx1,x0,1．e121则hxelnx12xelnx2xe,h0．eeee又当x0,1时，hx2e20，所以hx在0,1上单调递增．x学科网（北京）股份有限公司 1111所以当x0,时，hxh0，当x,1时，hxh0．eeee1所以hxh0．故对任意的x0,1，都有fxgx．e12fxelnx1，当x0,时fx0,fx单调递减，e1当x,时fx0,fx单调递增．e1又f1,limf(x)0,f(1)0，所以1m0．ex0设函数gx的图象与直线ym的交点的横坐标分别为x和x．12不妨设xx,xx，则xxxx，所以xxxx．12121122212121221又方程mx1可化为xx1m0，其两根为x和x，212eee21所以xx,xx1m．12122ee2所以xxxx4xx21m．211212故xx21m．211当x0,时，fxexlnxex，函数fx图像在直线yex的下方．e11当x,时，令kxe1lnx1，exe11e1x1则kx．22xxx111所以kx在,上递减，在,1上递增．ee1e1111又kk10．所以当x,时，kxe1lnx10．eexee故fxexlnxx1，函数fx图像在直线yx1的下方．e1e1学科网（北京）股份有限公司 e直线ym与直线yex的交点横坐标分别为x，与直线yx1交点的横坐标为x，则34e1mmx,xm1．34ee所以xxxxm1．2143综上，1mxx21m．21学科网（北京）股份有限公司