【新结构19题模式】2024届贵阳一模数学试题 答案

贵阳市2024年高三年级适应性考试（一）数学2024.2本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名､准考证号用钢笔填写在答题卡相应位置上.2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.请保持答题卡平整，不能折叠考试结束后，监考老师将试题卷､答题卡一并收回.第I卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合AB={1,3,5,6,}={2,3,5,8}，则AB∩=（）A.{1,2,3,5,6,8}B.{3,5}C.{1,3}D.{2,8}2.已知z是复数，若(1i+=)z2，则z=（）A.1i−B.1i+C.2iD.22i−3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知aa2+=814,a15=27，则S12=（）A.150B.140C.130D.1204.向量a=(6,2)在向量b=(2,1−)上的投影向量为（）1A.(2,1−)B.1,−C.(4,2−)D.(3,1)2225.已知圆Cx:(−+−=1)(y2)9，直线lmxy:(+++−=1)yx0,m∈R，则下列说法正确的是（）A.直线l过定点(−−1,1)B.直线l与圆C一定相交C.若直线l平分圆C的周长，则m=−4D.直线l被圆C截得的最短弦的长度为36.2023年8月至10月贵州榕江举办了“超级星期六”全国美食足球友谊赛.已知第一赛季的第一个周六（8月学科网（北京）股份有限公司 26日）共报名了贵州贵阳烤肉队等3支省内和辽宁东港草莓队等3支省外美食足球代表队.根据赛程安排，在8月26日举行三场比赛，每支球队都要参赛，且省内代表队不能安排在同一场，则比赛的安排方式有（）A.6种B.9种C.18种D.36种π7.将函数fx()=sinx的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐31π标都变为原来的(ω>0)倍，得到函数gx()的图像.若函数gx()在−,0上单调递增，则ω的取值范ω2围是（）111A.0,B.0,C.0,D.(0,1]632x8.已知fx()是定义在R上的偶函数，且fx′()+e也是偶函数，若fafa()>−(21)，则实数a的取值范围是（）11A.(−∞,1)B.(1,+∞)C.,1D.−∞∞,∪+(1,)33二､多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设样本数据1,3,5,6,9,11,m的平均数为x，中位数为x，方差为s2，则（）0A.若x=6，则m=7B.若m=2024，则x0=6C.若m=7，则2s=11D.若m=12，则样本数据的80%分位数为1110.已知ab>>0,0，且ab+=2，则（）11A.2222ab+2+B.ablogab+log1D.22C.22ab+211.在三棱锥P−ABC中，PC⊥平面ABCPC,3=AB=，平面ABC内动点D的轨迹是集合M={|DDA=2}DB.已知CDM,∈且D在棱AB所在直线上，i=1,2，则（）iiA.动点D的轨迹是圆B.平面PCD1⊥平面PCD2学科网（北京）股份有限公司 C.三棱锥P−ABC体积的最大值为3D.三棱锥PDDC−12外接球的半径不是定值第II卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.112.已知tanα=2，则=__________.sin2α13.已知一个圆台的上､下底面半径分别为1和3，高为23.若圆台内有一个球，则该球体积的最大值为__________.（球的厚度可忽略不计）22xy14.设FF12,分别为椭圆C:22+=>>1(ab0)的左､右焦点，B为椭圆C的上顶点，直线BF1与椭圆Cab的另一个交点为A.若AFBF⋅=0，则椭圆C的离心率为__________.22四､解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）记ABC的内角ABC,,的对边分别为abc,,，已知aCsin=3coscA.（1）求角A；（2）若a=2，求ABC面积的最大值.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=AD=22AB=.（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；（2）求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值.17.（本题满分15分）猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲､乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜21对每个灯谜的概率为，乙同学猜对每个灯谜的概率为.假设甲､乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：32（1）甲､乙任选1个独立竞猜，求甲､乙恰有一人猜对的概率；（2）活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在A箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖学科网（北京）股份有限公司 21概率是；没有都猜对则在B箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是，求甲同学抽中新春大礼包的34概率；（3）甲､乙各任选2个独立竞猜，设甲､乙猜对灯谜的个数之和为X，求X的分布列与数学期望.18.（本题满分17分）22xy已知双曲线C的方程为−=>>1(ab0,0)，虚轴长为2，点A(−−4,1)在C上.22ab（1）求双曲线C的方程；（2）过原点O的直线与C交于ST,两点，已知直线AS和直线AT的斜率存在，证明：直线AS和直线AT的斜率之积为定值；（3）过点(0,1)的直线交双曲线C于PQ,两点，直线APAQ,与x轴的交点分别为MN,，求证：MN的中点为定点.19.（本题满分17分）英国数学家泰勒发现了如下公式：23nxxxxe1=++++++x2!3!n!其中nn!1234=×××××,e为自然对数的底数，e=2.71828.以上公式称为泰勒公式.设xx−−xxee−+eefx()=,gx()=，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.22x（1）证明：e1+x；fx()（2）设x∈+(0,∞)，证明：<gx()；x2x（3）设Fxgxa()=−+()1，若x=0是Fx()的极小值点，求实数a的取值范围.2学科网（北京）股份有限公司 贵阳市2024年高三年级适应性考试（一）参考答案与评分建议2024.2一､选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案BADCBDBD二､多项选择题（每小题6分，共18分）题号91011答案ABDABCDABC三､填空题（每小题5分，共15分）5512.13.43π14.45四､解答题（共5小题，共77分）15.解：（1）由正弦定理，得sinsinAC=3sincosCA，又CC∈≠(0,π),sin0，所以sinAA=3cos，即tanA=3.π又A∈(0,π)，所以A=.3222bca+−1（2）由余弦定理，得cosA==，22bc所以22b+−=c4bc.22由基本不等式知b+c2bc，22于是bc=+−bc42bc−⇒4bc4.当且仅当bc==2时等号成立.133所以ABC的面积S=bcsinA=bc×=43，244当且仅当bc==2时，面积S取得最大值3.学科网（北京）股份有限公司 16.（1）证明：因为PA⊥底面ABCDCD,⊂底面ABCD，所以PA⊥CD.因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD.又PA∩=ADA，所以CD⊥平面PAD.又因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.（2）解以A为原点，ABADAP,,所在直线为x轴､y轴､z轴，建立如图3所示的空间直角坐标系，则ABCDP(0,0,0,)(1,0,0,)(1,2,0,)(0,2,0,)(0,0,2).所以PC=−=(1,2,2,)BC(0,2,0,)CD=(−1,0,0).设平面PBC的法向量为nxyz=(111,,)，则nPC⋅=0,xyz+−=220,111⇒nBC⋅=02y=0.1取x1=2，得n=(2,0,1).设平面PCD的法向量为mxyz=(222,,)，则mPC⋅=0,xyz+−=220,111⇒mCD⋅=0−=x0.1取y2=1，得m=(0,1,1).设平面PBC与平面PCD的夹角为θ，则|nm⋅|110cosθ=|cos<nm,>=|==|||nm|52×1010所以平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为.1017.解：设A=“甲猜对一个灯谜”，B=“乙消对一个灯谜”，则21PA()=,.PB()=32（1）因为甲､乙恰有一人猜对的事件为AB+AB，所以学科网（北京）股份有限公司 PAB(+=AB)()()PAB+PAB=PAPBPAPB()()()()+21111=×+×=.323221所以，甲､乙恰有一人猜对的概率为.2（2）设C=“甲猜对两道题”，D=“甲中奖”，则PD()=PCPDCPCPDC()(∣∣)()(+)222221=×+−1×33348547=+=273610847所以，甲同学抽中新春大礼包的概率.10821（3）由（1）知PA()=,PB()=.32易知甲､乙猜对灯谜的个数之和X的可能取值为0,1,2,3,4.则22111PX(=0,)=×=32362211211111111PX(==×××1,)C22+×××C=+=33222391862222211111211113PX(==2,)×+×+×××××=C22C323233223622112111121PX(==×××3,)C22+×××C=332223322211Px(=4.)=×=329所以X的分布列为X01234111311P3663639因此，X的数学期望学科网（北京）股份有限公司 111311847EX()=×+×+×+×+×==01234.366363936318.解：（1）因为虚轴长22b=，所以b=1.161又因为点A(−−4,1)在双曲线上，所以−=1，22ab解得2a=8.2x2故双曲线C的方程为−=y1.8（2）证明：设Sxy(00,)，则Txy(−−00,)所以2yy+−+111−y000kk⋅=⋅=ASAT2xx+−+4416−x000因为Sxy(00,)在双曲线C上，所以22xx0022−=⇒−=−yy11200882x022−于是1−y081，kk⋅===ASAT2216−−xx168001所以直线AS和直线AT的斜率之积为定值，定值是.8（3）证明：设PxyQxy(11,,,)(22)，直线PQ的方程为y=kx+1.y=kx+1,2222⇒−(18k)x−16kx−=160①xy−=88则222Δ=−(16)kk−418(−)×−(16)=−64256k>0,所以2y12+=y(kx1++11)(kx2+=)kx(12++=x)22②18−k2yy12=(kx1+1)(kx2+=1)kxx12+kx(1++=x2)11③y+11直线AP的方程为yx=(+−41)，令y=0，得点M的横坐标为x+41学科网（北京）股份有限公司 x+41xM=−4y+11同理可得点N的横坐标为x+42xN=−4y+12xx++4412所以xxMN+=+−8yy++1112xy12++++xyxx211248(y1++y2)=−8(yy12++11)()xkx12(++1148)xkx21(++++)x12x(y12++y)=−8yy+++yy1121222kxx12+++++(x1x2)4(y1y2)8=−8.yy+++yy11212将①②③式代入上式，并化简得到28818+−(k)xx+=−=−=−8484,MN22218+−(k)xx+MN所以MN的中点的横坐标为x==−2，2故MN的中点是定点(−2,0).xx19.证明：（1）设hx()=−−e1x，则hx′()=e1−.当x>0时，hx′()>0：当x<0时，hx′()<0.所以hx()在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.x因此，hxh()(00)=，即e1+x.2345nxxxxxx（2）由泰勒公式知e1=++++++++x，①2!3!4!5!n!2345n−xnxxxxx于是e=−+−+−++−1x(1)+，②2!3!4!5!n!由①②得xx−−3521nee−xxxfx()==++++x+,23!5!(2n−1!)学科网（北京）股份有限公司 xx−−2422nee+xxxgx()==++++1,+22!4!(2n−2!)所以fx()xx24x22n−=++++1+xn3!5!(2−1!)2422n−xxx<++++1+2!4!(2n−2!)=gx().fx()即<gx().x22xx−xxee+（3）Fxgxa()=−+=()11−+a，则222xx−−xxec−ee+Fx′()=−−axF,.′′(x)=a22xx−ee1+xx−由基本不等式知，×⋅=2ee1，当且仅当x=0时等号成立.22所以当a1时，Fx′′()10−a，所以Fx′()在R.单调递增.又因为Fx′()是奇函数，且F′(00)=，所以当x>0时，Fx′()>0；当x<0时，Fx′()<0.所以Fx()在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.因此，x=0是Fx()的极小值点.下面证明：当a>1时，x=0不是Fx()的极小值点.lnaa−lne+e1111当a>1时，Fa′′(ln)=−=aa+−=a−<a0，22aa2又因为Fx′′()是R上的偶函数，且Fx′′()在(0,+∞)上单调递增（这是因为当x>0时，学科网（北京）股份有限公司 所以当x∈−(ln,lnaa)时，Fx′′()<0.因此，Fx′()在(−ln,lnaa)上单调递减.又因为Fx′()是奇函数，且F′(00)=，所以当−<<lnax0时，Fx′()>0；当0<<xaln时，Fx′()<0.所以Fx()在(−ln,0a)上单调递增，在(0,lna)上单调递减.因此，x=0是Fx()的极大值点，不是Fx()的极小值点.综上，实数a的取值范围是(−∞,1].学科网（北京）股份有限公司