【新结构19题模式】浙南名校联盟2023-2024学年高二下学期返校联考数学试题

绝密★考试结束前2023学年第二学期浙南名校联盟返校联考高二数学学科试题考生须知：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.）21.已知抛物线x=2py的焦点在直线yx=21+上，则p=（）A.1B.2C.3D.42.已知向量ab=(1,1,1,)=−−(1,1,2)，则a在b上的投影为（）232366A.−B.C.−D.33333.已知点A(0,3)及直线lxy:+−=10上一点B，则AB的值不可能是（）A.1B.2C.3D.4*374.已知数列{an}是各项为正的等比数列，前n项和为SnNn(∈)，且SS23=,=，则a1=（）24119A.B.C.1D.42422225.若圆x−+=20axy与圆xyxy+−−−=4240只有一个交点，则实数a的值可以是（）A.-1B.-2C.1D.26.已知ABC的三个内角分别为ABC,,，则lnABC++lnln的值可能是（）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.17.圆锥曲线具有丰富的光学性质，在人教版A版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，（如图（1））.如图22xy（2），已知F1为椭圆C:+=>>1(ab0)的左焦点，O为坐标原点，直线l为椭圆C的任一条切22ab学科网（北京）股份有限公司 线，H为F1在l上的射影，则点H的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲性D.抛物线1120248.已知a=,b=ln,ce=2024−1，则（）20242023A.cba>>B.bca>>C.acb>>D.abc>>二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）2229.已知mnR､∈，则方程mx+=ny1表示的曲线可能是（）A.两条直线B.圆C.焦点在x轴的椭圆D.焦点在y轴的双曲线10.如图，已知四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=ABQ,为线段BC上一点（含端点），则直线PQ与平面PCD所成角不可能是（）πππA.0B.C.D.643*Sn11.已知数列{an}为等差数列，aa13=1,=22+1，前n项和为SnNn(∈)，数列{bn}满足bn=，则n下列结论正确的是（）A.数列{abnn+}为等比数列B.数列{abnn+}为等差数列学科网（北京）股份有限公司 C.数列{an}中任意三项不能构成等比数列D.数列{bn}中可能存在三项成等比数列12.如图，已知棱长为2的正方体ABCD−ABCD1111，点P是棱AB的中点，过点P作正方体ABCD−ABCD的截面，关于下列判断正确的是（）1111A.截面的形状可能是正三角形B.截面的形状可能是直角梯形C.此截面可以将正方体体积分成1：3D.若截面的形状是六边形，则其周长为定值非选择题部分三､填空题（本大题共4小题，共20分.）13.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，第一排21个座位，从第2排起后一排都比前一排多两个位置，那么这个报告厅共有__________排座位.ax14.设曲线ye=在点(0,1)处的切线与直线20xya−+=垂直，则实数a的值为__________.15.已知正四面体ABCD，点M为棱CD的中点，则异面直线AM与BC所成角的余弦值为__________.2x216.已知点P是直线lyx:4=+上一点，点Q是椭圆Cy:1+=上一点，设点M为线段PQ的中点，O2a2为坐标原点，若OM的最小值为，则椭圆C的离心率为__________.4四､解答题（本大题共6小题，共70分.）3217.设aR∈，函数fx()=++xaxx.（1）若fx()有且只有一个零点，求a的取值范围；（2）若fx()的一个极值点为1，求函数fx()的极值.18.如图，已知等腰三角形ABC中，AB=ACD,是AC的中点，且BD(0,0,)(3,0).学科网（北京）股份有限公司 （1）求点A的轨迹T的方程；（2）设AC所在直线与轨迹T的另一个交点为E，当ABD面积最大且A在第一象限时，求AE.19.如图，ABE是边长为2的等边三角形，且BD=3,∠DBA=30.（1）若点A到平面BDE的距离为1，求DE；1（2）若BE⊥ADAD,∥BC且AD=BC，求直线AD与平面DCE所成角的正弦值.2*20.记Sn为数列{an}的前n项和(nN∈)，已知aa1=，且aSan,,nn+1成等比数列.（1）写出a2，并求出数列{a2n}的通项公式；aann++11*1（2）记Tn为数列的前n项和，若对任意的nNT∈≤,n恒成立，求a的取值范围.24x21.已知函数fxe()=−++ln(xm)1.（1）当m=1时，求函数fx()的单调区间；（2）当m≤2时，求证：fx()>1.22.已知等轴双曲线C过定点A(2,1)，直线l与双曲线C交于PQ,两点，记kAQ=kk12,,AP=kkPQ=k，且kkk+=+≠2220.12（1）求等轴双曲线C的标准方程；（2）证明：直线l过定点.学科网（北京）股份有限公司 高二数学学科参考答案与解析一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.）12345678BCACDDAB二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.）9101112ABCCDBCAC6.【参考答案】：由lnxx≤−1得：lnABCABC++lnln≤++−=−<3π30.2，故选D7.【参考答案】：xxyyPxy,，则切线l的方程是00解法一：设切线l与椭圆C相切于点(00)22+=1，ab2ay0则直线FH1的方程是y=2(xc+)，bx022422ay0bx022bx00222bxy=(xc+⇒=)cy−⇒−=xaby+−xxy22422bxayayay0000yab222(−)x22yxy00220200⇒=+−yxxy4422babab42xxyy00y022x02xy0011=+⇒=y+x+xy224422abbaabyab222(−)xy2200022⇒+=1+(xy+)444babxy22yy22yab222(−)0011000+=−+=+114422424ababbab222⇒+=xya，故点H的轨迹是圆.故选A解法二：如图，设切线l与椭圆C相切于点P，过右焦点F2作FM2⊥l于M，延长MO与直线FH1交于点N，易知FM21=FN，学科网（北京）股份有限公司 由椭圆光学性质知∠∠FPH12=FPM，设∠θFPH1=，则HM=+=PF12cosθθθPFcos2cosa，HN=+=PFsinθθθPFsin2sina，所以MN=2a，12故OH=a，故选A.1120248.【参考答案】：a=,b=ln,ce=2024−120242023x构造函数fx()=xgx,()=−−ln1(xhx),()=−∈e1;x(0,0.001)111则af=,,bg=ch=202420242024由于x1ex≥+（当且仅当x=0时取等号）恒成立，故ca>由于ln(xx+≤1)（当且仅当x=0时取等号）恒成立，故ln(−+≤−xx1)（当且仅当x=0时取等号）即−−+≥ln(xx1)（当且仅当x=0时取等号），故ba>x构造函数Fxhxgxe()=()−()=−+1ln1(−xx),∈(0,0.001)xx11∴=Fxe′′()−∴=,Fxe′()−21−xx(1−)x2∴Fxe′′′()=−3，当x∈(0,0.001)时，Fx′′′()<0(1−x)x1∴=Fxe′′()−在x∈(0,0.001)上单调递减，∴<=FxF′′()′′(00)2(1−x)学科网（北京）股份有限公司 x1∴Fxe′()=−在x∈(0,0.001)上单调递减，∴<=FxF′′()(00)1−xx∴Fxhxgxe()=()−()=−+1ln1(−x)在(0,0.001)上单调递减∴∀∈x(0,0.001,)FxhxgxF()=()−()<(0)=∴<0,cb，综上bca>>，选B11.【参考答案】：aa−a的公差为31（1）设数列{n}dd,2==2nn(−1)S22n∴=+Sn×∴==2,bn+−1nn2n22∴数列{b}为等差数列，又数列{a}为等差数列nn∴数列{ab+}为等差数列.故B正确，A错误；nn*（2）（反证法）假设数列{an}中存在三项aaamnpNmnp,,(,,∈，且mnp<<)能构成等比数列，即2aaanmp=⋅成立.由（1）得ann=121+−()，2∴+[121(n−)]121121=+(mp−⋅+)][(−)2整理得：2n−+422nn=2(m++−−p)2mp22pm22nmp=+=nmp+∴∴2224222n−=−−nmppmn=mpmp+∴=mp∴−=mp0与mp<矛盾，2∴数列{a}中任意三项不能构成等比数列，故C正确，同理可知，D错误.n12.【参考答案】：如图（1），M，N分别为所在棱中点，A正确；当截面是梯形时如图（2），如果为直角梯形，则PM⊥MN，又PM⊥CC1，故PM⊥面BC1，PM∥AB，矛盾，形状不可能为直角梯形，B错误；如图（3），Q为所在棱中点，截面PCCQ1将正方体分成1：3，C正确；学科网（北京）股份有限公司 如图（4）､（5），当截面是六边形时，可以是正六边形，也可以是一般的六边形，周长不是定值，D错误.三､填空题（本大题共4小题，共20分.）131413.2014.−15.16.26415.【参考答案】：1正四面体ABCD的棱长设为2，则AM=(AC+=ADBC),AC−AB21AMBC⋅=(AC+⋅−=AD)(ACAB)1,|AM|=3,|BC|2=2AMBC⋅3异面直线AM与BC所成角的余弦值为=AMBC616.【参考答案】：直线lyx:4=+关于原点的对称直线为lyx′:4=−，记直线OP与直线l′的交点为P′，连结QP′，122则OM=QP′，设Qa(cos,sinθθ),|OM|=∴=QP′minmin2422acosθθ−−sin441−+a2QP′===∴=,8a2或24min22min222当a=24时，lyx′:4=−与椭圆相交，QP′最小值为0，与QP′=矛盾，舍去.min2学科网（北京）股份有限公司 2214当a=8时，符合要求，此时，c=7，椭圆离心率e=.4四､解答题（本大题共6小题，共70分.）17.【参考答案】解：（1）f(00)=，若fx()有且只有一个零点，则这个唯一零点一定是02故∀≠x0,fx()≠0，即函数y=++xax1无零点；2∴=Δaa−<∴−<<40,22322（2）fx()=+xax+∴xf′(x)=321x+ax+fx()的一个极值点为1,∴=fa′(1)0,∴=−22∴fxxx′()=−+341311=−−(x)(x)，1当x∈,1时，fx′()<0,fx()单调递减31当x∈−∞∞,,1,(+)时，fx′()>0,fx()单调递增312∴==fxf极大()−,fxf极小()=(12)=−32718.【参考答案】解：（1）AB=2AD，2222即xy+=−+2(x3)y.22∴−+=≠(xyy4)4(0)学科网（北京）股份有限公司 （2）由题意，A(4,2)∴=k2,AC所在直线方程为2xy−−=60AC2圆心(4,0)到直线AC的距离d=5228∴=AE25r−=d519.【参考答案】：（1）ABE是边长为2的等边三角形，∴=AB2又∠DBA=30,BD=3，222∴ABD中，AD=+−⋅=∴=BDAB2BDAB1,AD1点A到平面BDE的距离为1，不妨设平面BDE的法向量为nADn⋅则=1nADn⋅又AD=1,∴=AD即|ADn⋅=||ADn|||∴AD∥nn∴⊥AD平面BDE，∴⊥ADDE，又AD==∴=1,AE2,DE3（2）由（1）知222AD+=∴⊥BDABADBD，又BE⊥AD，且BD∩=∴⊥BEBAD平面BDE又AD==1,AE2,DE=3,BD=∴=⋅3DEDB1设CE中点为H，则OH∥BC，又AD∥BC，且AD=BC，2∴OH∥AD，且OH==AD1∴⊥OH平面BDE；设BE中点为O，则BE⊥OD，因此，ODOEOH,,两两垂直；如图建系；则EHCD(1,0,0,)(0,0,1,)(−1,0,2,)(0,2,0)学科网（北京）股份有限公司 ∴=−EC(2,0,2,)DC=−−(1,2,2)BC=2AD=2,AD∥BC1∴==∴==ADBCOH,ADOH(0,0,1)；2设平面DCE的法向量为n=(xyz,,)，则nEC⋅=⋅=0,nDC0，2∴−+=−−+=220xz,xyz220，取x=1，则n=1,,12nAD⋅10∴=sinθ=.nAD520.【参考答案】：（1）解：由aSan,,nn+1成等比数列得aann⋅=+1Sn，且an>0，当n=1时aaaa121⋅=⇒=21；当n≥2时，aaSnnn−−11⋅=，又aann⋅=+1Sn∴=−=⋅−⋅∴−=≥∈aSSaaaaaannNnnnn−1nnnnn+−11+−111(2,)*a22n=+−×=a(n11)nnN(∈)（2）解法一：n−1an+,为奇数2由（1）易得an=，n,n为偶数2an+1,n为奇数an+21*则bn=an+，故bn=,nN∈12,n为偶数2学科网（北京）股份有限公司 ana111∴=Tn1−，而Tn<222a11∴≤∴≥a2.24解法二：aann++11aann++12+−b11aann+21n+1设bn=，则bn+1=;∴==22bn22∴{bn}是一个等比数列an+−1111*∴=b,nN∈n22ana111∴=Tn1−，而Tn<222a11∴≤∴≥a2.2421.【参考答案】：xx1（1）当m=1时，fxe()=−ln(x++1)1,∴fxe′()=−x+1x1x1∴=fxe′′()+>20，故fxe′()=−在(−+1,∞)单调递增，(x+1)x+1又fx′(0)=∴∈−0,(1,0)时，fx′()<∴∈+0,x(0,∞)时，fx′()>0∴函数fx()的单调递减区间为(−1,0)，单调递增区间为(0,+∞)xx（2）当m≤2时，f(x)=−++exln(mex)1≥−++ln(2)1xx1令gxe()=−++ln(x2)1，则gxe′()=−，x+2x1∴=gxe′′()+>02(x+2)∴=ygx′()在(−+2,∞)单调递增，又gg′(−<1)0,′(0)>0，∴∃∈−x0(1,0)，使得gx′(0)=0，且是ygx=′()在(−+2,∞)上的唯一零点，∴gx′()在(−2,x0)上为负，在(x0,+∞)上为正，学科网（北京）股份有限公司 故gx()在xx=0处取到极小值，也就是最小值.x1gx′=0e0=,∴=−xxxln+2,∈−1,0(0)，即0(00)()x+20x11∴gxgx()≥()=−e0ln(x++=2)1++=x1++−>−(x2)1210000xx++2200∴当m≤2时，求证：fx()>1.22.【参考答案】解：22（1）设等轴双曲线C：xy−=≠λλ(0)；22C过AC(2,1,)∴=∴λ1的标准方程为xy−=1.（2）证明：设直线l的方程为y=kxm+；22xy−=1222联立方程：⇒−(k1)x+2kmx++=(m10)y=kxm+2−+21kmm设QxyPxy(11,,,)(22)，则x1+=x222;xx12=;(Δ>0)kk−−11yy−−11(kx1221+−m12)(x−++−)(kxm12)(x−)kk+=12+=12x1−−22x2xx12−+2(x1x2)2kxx12+−−(m12k)(x1+x2)−22(m−1)==222k+xx12−22(x1++x2)∴22xx12−(2km++3)(x1++x2)22m++4220k=2m+12km22⋅22+(2km++3)+22mk++4220=kk−−112232化简整理得：(km+2)+(22kkmkkk+−32)++(22−=2)02∴+(mkk2)(+2)m+(2kk+−20)=k+≠∴+20(mk2)(mk+210−=)∴=−mk2或mk=−12当mk=−2，直线l恒过定点(2,0)；学科网（北京）股份有限公司 当mk=−12，直线l恒过定点A(2,1)，故舍去.综上所述，命题得证.学科网（北京）股份有限公司