2024届高三三角函数与解三角形专题1 三角函数恒等变换求值·中档题（解析版）

专题1三角函数恒等变换求值今年新高考的1卷和2卷都考了三角函数的恒等变换求值问题，1卷是第8题，2卷是第7题，可以看出来三角恒等变换在选填中难度有加大，有题序后移的趋势，所以2024届的模拟考会出现更多的三角恒等变换中档题目录真题梳理.............................................................................................................................................................42023新高考二卷T7：配完全平方公式...................................................................................................42023·新高考I卷T8——和差公式+二倍角公式.....................................................................................42022·新高考II卷T6——和差公式..........................................................................................................42018全国II卷（理）T15——一题多解..............................................................................................5题型一知1求2.............................................................................................................................................71/20学科网（北京）股份有限公司 长沙市明德中学2023-2024学年高三上学期入学考试T8.....................................................................72024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学九月联考T15................................................................7题型二结合平方公式sinθθ±cos，2sin2±θ............................................................................................82024届·湖南长郡中学阶段考T7..............................................................................................................8湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考·T7................................................................................82023·浙江杭州二模T15.............................................................................................................................92024届·浙江省Z20名校联盟第一次联考题T7.....................................................................................9题型三和差公式...........................................................................................................................................102024届·长沙一中校月考（三）T7.........................................................................................................10云南师范大学附属中学2024届高三高考适应性月考卷（一）数学试题T7.....................................102024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考T7.................................................................112024届·重庆市第八中学校适应性月考（一）T7..................................................................................11题型四2倍角公式........................................................................................................................................132023届广州市一模T7.............................................................................................................................132024届广东实验中学校考T15...............................................................................................................142024届·广州市越秀区高三月考（十月）T7.........................................................................................142024届·广州市天河区高三综合测试（一）T7.....................................................................................15武汉市硚口区2024届高三上学期起点质量检测T15..........................................................................15题型五统一角度化简...................................................................................................................................162024届·重庆市第一中学校高三上学期9月月考·T15..........................................................................162023届·江苏省七市三模·T7...................................................................................................................162022届·广东省汕头二模·T7............................................................................................................172/20学科网（北京）股份有限公司 题型六和差公式+倍角公式........................................................................................................................172023湖南省五市十校高二下期末·T15...................................................................................................172024届·重庆市巴蜀中学适应性月考（二）·T11..................................................................................182024·江苏省海安高级中学高三上学期10月月考·T6...........................................................................19知识点一．两角和与差的正余弦与正切①sin(αβ±=)sincosαβ±cossinαβ；②cos(αβ±=)coscosαβsinsinαβ；tanαβ±tan③tan(αβ±=)；1tanαβtan知识点二．二倍角公式①sin2α=2sincosαα；2222②cos2αααα=cos−sin=2cos−=−112sinα；2tanα③tan2α=；21tan−α补充：2倍角公式变形（扩角降幂）221cos2−+αα1cos2sinαα=；cos=；22知识点三．辅助角公式babasinα+bcosα=a2+b2sin(α+ϕ)（其中sinϕ=，cosϕ=，tanϕ=）．a2+b2a2+b2a【常见式子变形】222①1cos2+=α2cosα；1cos2−=α2sinα；1sin2±=±ααα(sincos)ππππ②sinαβα=cos⇒cos−=cos−=αβcos，具体是选α−还是−α要看题目给出的范2222围sinβββ−−costan1π③⇒=+tanβsinβββ++costan143/20学科网（北京）股份有限公司 真题梳理2023新高考二卷T7：配完全平方公式15+α1．已知α为锐角，cosα=，则sin=（）．4235−−+1535−−+15A．B．C．D．8844【答案】D【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．2α15+【详解】因为cosα=12sin−=，而α为锐角，242α=35−−(51−)51解得：sin．2==81642023·新高考I卷T8——和差公式+二倍角公式112．已知sin(αβ−=),cossinαβ=，则cos2(αβ+=2)（）．367117A．B．C．−D．−9999【答案】B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(αβ+)，再利用二倍角的余弦公式计算作答.111【详解】因为sin(αβ−=)sinαβcos−cossinαβ=，而cossinαβ=，因此sincosαβ=，3622则sin(αβ+=)sinαβcos+cossinαβ=，32221所以cos(2αβ+=2)cos2(αβ+=−)12sin(αβ+=−×=)12().392022·新高考II卷T6——和差公式π3．若sin(αβ++)cos(αβ+=)22cosα+sinβ，则（）4A．tan(αβ−=)1B．tan(αβ+=)1C．tan(αβ−=)−1D．tan(αβ+=)−1【答案】C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.4/20学科网（北京）股份有限公司 【详解】[方法一]：直接法由已知得：sinαβαβαβαβcos++−=−cossincoscossinsin2cos(ααβsin)sin,即：sinαβαβαβαβcos−++=cossincoscossinsin0，即：sin(αβ−+)cos(αβ−=)0所以tan(αβ−=)−1故选：C[方法二]：特殊值排除法π解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取α=，排除A,B；2π再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=，排除D；选C.4[方法三]：三角恒等变换ππsin(αβ++)cos(αβ+=)2sin（αβ++）=2sin[（α++）β]44πππ=+++=2sin（αβαβ）cos2cos（）sin22cos（αβ+）sin444ππ所以2sin（αβαβ+=+）cos2cos（）sin44πππsin（α+−+）cosβαβcos（）sin=0即sin（αβ+−）=0444πππ22∴sin（αβ−+）=sin（αβ−）cos+cos（αβ−）sin=sin（αβ−+）cos（αβ−）=044422∴−−sin（αβ）=cos（αβ−）即tan(αβ−）=-1,2018全国II卷（理）T15——一题多解4．已知sinαβ+=cos1，cosαβ+=sin0，则sin(αβ+)．1【答案】−2【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．【详解】［方法一］：【最优解】1两式两边平方相加得22sin(+αβ+=)1，sin()αβ+=−．2［方法二］：利用方程思想直接解出11sinα=1cos,cos−=βα−sinβ，两式两边平方相加得cosβ=，则sinα=．2233cosα=−cosα=221又或，所以sin()αβ+=−．332sinβ=sinβ=−22［方法三］：诱导公式+二倍角公式5/20学科网（北京）股份有限公司 3π3π3π由cosαβ+=sin0，可得sinβα=−=cossin+α，则βπ=++2kα或β=2kkππ+−+α()∈Z．2223π若βπ=++∈2kkα()Z，代入得sinαβα+==cos2sin1，即213π21sinα=,sin(αβ+=)sin2kπ++2α=−cos2α=2sinα−=−1．222π若βπα=−−∈2kk()Z，代入得sinαβ+=cos0，与题设矛盾．21综上所述，sin()αβ+=−．2［方法四］：平方关系＋诱导公式22221由cosββ+sin=−(1sin)α+−(cos)α=−22sinα=1，得sinα=．2sinαβββ1cos−β又tanα===−=−tantan，απ=−∈kk()Z，即22α=kπβ−，则cosαβ−sin2221αβ+=−∈2()kkπαZ．从而sin(αβ+=)sin(2kπα−=)−=sinα−．2［方法五］：和差化积公式的应用1由已知得(sinα+cos)(cosβα+=sin)β(sin2α++−sin2)cos(βαβ)2=sin(αβ+)cos(αβ−+)cos(αβ−=)0，则cos(αβ−=)0或sin(αβ+=)−1．ππ若cos(αβ−=)0，则αβπ−=+kk()∈Z，即αβπ=++∈kk()Z．221当k为偶数时，sinαβ=cos，由sinαβ+=cos1，得sinαβ=cos=，又223131cosαβ+=sin0,cossinαβ=−=sinβ−，所以sin(αβ+=)sincosαβ+cossinαβ=−=−．4442当k为奇数时，sinαβ=−cos，得sinαβ+=cos0，这与已知矛盾．ππ若sin(αβ+=)−1，则αβ+=−2()kkπ∈Z．则sinα=sin2kπβ−−=−cosβ，得sinαβ+=cos0，22这与已知矛盾．1综上所述，sin()αβ+=−．2【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．重点题型·归类精讲6/20学科网（北京）股份有限公司 题型一知1求2长沙市明德中学2023-2024学年高三上学期入学考试T83πsin(αβ+)1．已知sinαα=,∈,π，若=4，则tan(αβ+=)（）52cosβ167162A．−B．−C．D．7873【答案】C【分析】由已知条件算出tan,tanαβ即可求解.3π24sinα3【详解】因为sinαα=,∈,π，所以cosααα=−−1sin=−,tan==−，525cosα4sin(αβ+)sinαβαβcos+cossin34因为==+sinααβcostan=−=tanβ4，cosββcos5517所以tanβ=−，4317−−tanαβ+tan4416所以tan(αβ+=)==.1tan−αβtan31771−−×−442024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学九月联考T153π2．已知cosαα=,∈0,，角β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点52722P,，且β∈(0,π)，则αβ−=.1010π【答案】44272π【分析】根据已知得sinα，sinββ=,cos=且0<−<αβ，应用差角正弦公式求角的大小.51010224272π【详解】由题设sinαα1cos，sinββ=,cos=，即β∈0,，510102ππ而sinαβ>sin，故0<<<βα，则0<−<αβ，222π所以sin(αβ−=)sinαβcos−cossinαβ=，则αβ−=247/20学科网（北京）股份有限公司 题型二结合平方公式sinθθ±cos，2sin2±θ2024届·湖南长郡中学阶段考T7ππ3．已知α∈0,，且2cos2αα=sin+，则sin2α=（）2433A．−B．C．−1D．144【答案】B【分析】法1：展开，结合平方公式；法2：换元+诱导公式.π【详解】2cos2αα=sin(+)，42222(cosαα−sin)=(sinαα+cos),21∴(cosαααα+sin)(cos−−=sin)0，2π又α∈0,，则sinαα>>0,cos0，即cosαα+>sin021所以cosαα−=sin，2π因为α∈0,，所以2α∈(0,π)，sin2α>0.2113由cosαα−=sin平方可得1sin2−=α，即sin2α=，符合题意.2443综上，sin2α=.4湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考·T7π3π4．已知α∈,，化简22sin2−αα−+1cos2的结果是（）24A．2sinαB．−2sinαC．2cosαD．−2cosα【答案】A【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可.2π【详解】因为22sin2−=−α212sin(ααcos)=2sin(αα−=cos)2sinαα−=cos2sinα−，4π3πππππ且α∈,，则α−∈,，可得sinα−>0，244424π所以22sin2−α=2sinα−=2sin(αα−cos)；42又因为1cos2+=ααα2cos=2cos，8/20学科网（北京）股份有限公司 π3π且α∈,，可得cosα<0，24所以1cos2+=αα−2cos；综上所述：22sin2−α−+1cos2α=2sin(αα−cos)+2cosα=2sinα.πππ5．已知−<−<αβ，sinαβ+=2cos1，cosαβ−=2sin2，则sin(β+=)2233636A．B．C．D．3366【答案】A【分析】先由sinαβ+=2cos1，cosαβ−=2sin2，两式同时平方再求和，求出αβ、的关系式，代入πsinβ+，即可求出结果.3【详解】由sinαβ+=2cos1，cosαβ−=2sin2，将两个等式两边平方相加，得54+sin(αβ−=)3，1πππππsin(αβ−=)−，−<−<αβ，∴−=−αβ，即αβ=−，代入sinαβ+=2cos1，得3sinβ+=1，222663π3即sinβ+=.故选A332023·浙江杭州二模T152226．已知sinθθα+=cos2sin，sincosθθ=sinβ，则4cos2αβ−=cos2．【答案】0222【分析】将sinθθα+=cos2sin平方，结合sincosθθ=sinβ可得12+=sinβ−4sinα0，22利用二倍角余弦公式将4cos2αβ−cos2化简求值，可得答案.2【详解】将sinθθα+=cos2sin平方得12sincos+=θθ4sinα，22222结合sincosθθ=sinβ可得1i+=2sniβ4snα，即12+=sinβ−4sinα0，22则4cos2αβ−=−cos2(2cos2αβαβcos2)(2cos2+cos2)22=(14sin−+αβαβ2sin)(2cos2+=cos2)02024届·浙江省Z20名校联盟第一次联考题T71π7．已知sinαα−=cos，0≤≤απ，则sin2α−=（）54172172312312A．−B．C．−D．50505050【答案】D【分析】利用和差公式和同角三角函数关系以及二倍角即可得出结论.9/20学科网（北京）股份有限公司 11【详解】将sinαα−=cos平方得12sincos−=αα，52524π所以2sinααcos=，则α∈0,．25222449所以(sinαα+cos)=+12sinααcos=+=1，25257从而sinαα+=cos．514sinαα−=cossinα=55联立，得．sinαα+=cos7cosα=355222422347所以sin2α=2sinααcos=，cos2ααα=−=−=cossin−．255525π22247312故sin2α−=(sin2αα−cos2)=×−−=422252550题型三和差公式2024届·长沙一中校月考（三）T78．已知角αβ,∈(0,π)，且sin(αβ++)cos(αβ−=)0,sinsinαβ−3coscosαβ=0，则tan(αβ+=)（）11A．−2B．−C．D．222【答案】D【分析】由两角和与差公式化简后求解．【详解】由sin(αβ++)cos(αβ−=)0，可得sincosαβ+++=cossinαβcoscosαβαβsinsin0，即sincosαβ+cossinαβ=−1，coscosαβαβ+sinsintanαβ+tan故=−1.又sinsinαβ−=3coscosαβ0，故sinsinαβ=3coscosαβ，1tantan+αβtanαβ+tan即tantanαβ=3，代入=−1可得tanαβ+=tan−4.1tantan+αβtanαβ+tan故tan(αβ+=)=21tantan−αβ云南师范大学附属中学2024届高三高考适应性月考卷（一）数学试题T7ππ9．设α∈0,，β∈0,，且tanαβ⋅=cos1sin+β，则（）2210/20学科网（北京）股份有限公司 A．sin3(αβ−=)1B．sin3(αβ+=)−1C．sin2(αβ−=)1D．sin2(αβ+=)−1【答案】Cπ【分析】对题中条件进行变化化简，可以得到2αβ−=，进一步即可判断正确答案.2【详解】tanαβ⋅=cos1sin,+βsinα∴⋅=cosββ1sin,+cosα即sinαβαβα⋅=+⋅coscossincos,sinαββαα⋅−⋅=cossincoscos,π即sin(αβ−=)cosα=sin(−α),2ππ又α∈0,，β∈0,，22ππππ则−<−<αβ,0<−<α,2222π所以2αβ−=∴,sin(2αβ−=)1,，故C正确.22024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考T715310．已知角α，β均在(0,π)内，cosα=，sin(αβ+=)，则角β的值为（）714πππ5πA．B．C．D．64312【答案】C【分析】根据题意，由同角的平方关系可得cos(αβ+)，再由余弦的和差角公式，即可得到结果.143cosα=，所以2【详解】因为αβ,∈(0,π)，且sinαα=1cos−=，7753因为sin(αβ+=)，所以sinα>+sin(αβ)，所以(αβ+)为钝角，14211所以cos(αβ+=−−)1cos(αβ+=−)，14则cosβ=cos(αβα+−=)cos(αβ+)cosα+sin(αβα+)sin=11153431π−×+×=，且βπ∈(0,)，则β=147147232024届·重庆市第八中学校适应性月考（一）T7πsin2(αβ+)111．已知αβ,∈0,,−2cos(αβ+=)，则（）2sinααtan11/20学科网（北京）股份有限公司 π3πA．αβ+=B．αβ+=24ππC．αβ−=−D．αβ−=44【答案】Asinβ1ππ【分析】根据两角和与差的正弦公式，化简得到=，得到sinβα=sin(−)，再由αβ,∈0,，sinααtan22结合正弦函数的性质，即可求解sin2(αβ+)sin[ααβ++()]【详解】由−+2cos(αβ)=−+2cos(αβ)sinααsinsinααβcos(++)cossin(ααβ+)=−+2cos(αβ)sinαcossin(ααβ+)cossin(ααβ+−)sinααβcos(+)=−cos(αβ+=)sinααsinsin[(αβα+−)]sinβ==，sinααsinsinβ1sinβαcosπ所以=，可得=，即sinβα=cos，即sinβα=sin(−)，sinααtansinααsin2πππππ因为αβ,∈0,，可得−∈α0,，所以βα=−，所以αβ+=22222cos(βα−−)sin(αβ+)12．已知α，β都是锐角，tan(αβ+=)−1，则=.coscosαβ【答案】2【分析】法一：利用两角和与差的三角函数公式求解；法二：利用特殊值法求解.tanαβ+tan【详解】法1：tan(αβ+=)=−1.1tantan−αβ∴+=tanαβtantantanαβ−1，cos(βα−−)sin(αβ+)∴=1−(tanαβ+tan)+=tantanαβ1−−(tantanαβ1)+=tantanαβ2.coscosαβ3π法2：由tan(αβ+=)−1，令αβ==，83π21cos+−1则3π42，cos==82221−cos(βα−−)sin(αβ+)2==22coscosαβ2则1−2212/20学科网（北京）股份有限公司 题型四2倍角公式2023届广州市一模T7π13．若αβ,,∈π，且(1cos2−α)(1sin+=β)sin2cosαβ，则下列结论正确的是（）25π3πA．2αβ+=B．2αβ−=247ππC．αβ+=D．αβ−=42【答案】Aπ【分析】由απ∈,及二倍角的余弦公式可得sinα(1sin+=β)coscosαβ，根据两角和的余弦公式可得2sinα=cos(αβ+)，由诱导公式及αβ,的范围即可求解.π【详解】αβ,,∈π，∴≠sinα0.22由(1cos2−α)(1sin+=β)sin2cosαβ，可得2sinα(1sin+=β)2sincoscosααβ，即sinα(1sin+=β)coscosαβ.∴=sinαcoscosαβ−sinsinαβ=+cos(αβ)，π∴cos(αβ+=)cos−α，2πππαβ,,∈π，∴<+<παβπ2，且−<−<α0，222π5π根据函数yx=cos易知：αβ+=−+απ2，即得：2αβ+=.2222ππ14．（2023秋·浙江绍兴高三校考）cosxx++sin−=（）44A．1B．1sin2−xC．1cos2−xD．-1【答案】B【分析】利用降幂升角公式和诱导公式化简即可得到结果.ππ1cos2++−−xx1cos21111【详解】22ππ22=−sin2x+−sin2xx=−1sin2cosxx++sin−=+22224422岳阳市高二下期末1cos−+xxsin15．已知=−2，则tanx的值为()1cos++xxsin4433A．B．−C．D．−3344【答案】A13/20学科网（北京）股份有限公司 x【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式先化已知角x为，然后再由正切的二倍角公式求tanx．2【详解】1−−12sin2x+2sinxxcos2sin2x+2sinxxcosxxx2sin(sin+cos)1cos−+xxsin222222222x−=2====tan，1cos++xxsin2xxx2xxxxxx21+2cos−+12sincos2cos+2sincos2cos(cos+sin)222222222x2tan22(2)×−4∴tanx==2=．2x1(2)−−31tan−22024届广东实验中学校考T151cos2+−αβ1cos2π16．若两个锐角α，β满足=，则cosαβ++=2.2cosαα+sin2sin2β33【答案】−2π【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式，化简可得角α，β的关系，代入cosαβ++2即可求解.31cos2+−αβ1cos2【详解】因为=，2cosαα+sin2sin2β12cos+−2α11−−(12sin2β)所以=2cosα+2sincosαα2sincosββ22cosαβsin所以=，cosααα+sincossincosββcosαβsin因为α，β为锐角，所以有=，1sin+αβcos所以coscosαββ=sin(1sin+α)，即coscosαβ=sinββα+sinsin，所以coscosαβαββ−=coscossin，即cos(αβ+)=sinβ，ππ因为α，β为锐角，所以有αββ++=，即αβ+2=，22ππππ3所以cosαβ++=2cos+=−=sin−323322024届·广州市越秀区高三月考（十月）T7π17．已知α∈,π，且3cos2αα−=4sin1，则tan2α=（）2142A．B．3714/20学科网（北京）股份有限公司 142C．−D．−37【答案】D12sinα=，进而求tanα，应用倍【分析】由倍角余弦公式并整理得3sinαα+2sin−=10，结合角的范围得3角正切公式求值即可.22【详解】由3cos2αα−=4sin36sin−−=αα4sin1，即3sinαα+2sin−=1(3sinαα−1)(sin+=1)0，1π1所以sinα=或sinα=−1，又α∈,π，则sinα=，323221所以cosα=−，则tanα=−，3222tanα42由tan2α==−.21tan−α72024届·广州市天河区高三综合测试（一）T7πsinββ−cos218．若tan2α−=，则12cos−(2αβ−=)（）3sinββ+cos1133A．B．−C．D．−2222【答案】Dππππ【分析】由商数关系及两角差的正切公式将已知化为tan2αβ−=tan−，得出2αβ−=−+kπ，3434再根据二倍角的余弦公式即可得解.πtanβ−tanπsinβββ−−costan14π【详解】由tan2αβ−====tan−，3sinβββ++costan1π41tantan+β4πππ所以2αβ−=−+kπ，即2αβ=++∈kkπ,Z，34122π12cos−(2αβ−=)−cos22(αβ−=)−cos2β++−kπβ12πππ3=−cos2+=kkπ−cos+=2π−=cos−12662武汉市硚口区2024届高三上学期起点质量检测T15π19．已知73sinθθ=+17cos.则sin2θ+=.697【答案】9815/20学科网（北京）股份有限公司 π1【分析】根据辅助角公式可得sinθ−=，再根据二倍角与诱导公式求解即可.61431π1【详解】73sinθθ=+17cos即14sinθθ−=cos1，故sinθ−=.22614π2π97故cos2θθ−=−12sin−=.3698ππππ97则sin2θθ+=sin2−+=cos2θ−=.632398题型五统一角度化简2024届·重庆市第一中学校高三上学期9月月考·T157πcos(α+)π1820．若tanα=2tan，则=.9πsin(α+)9【答案】223−【分析】利用和角的正余弦公式化简，再利用诱导公式及齐次式求法求解即可.π【详解】tanα=2tan，97π7π7ππππcos(ααααα+−)coscossinsincossin−−sincostantanα181818999则===ππππππsin(αααααα++)sincoscossinsincos++cossintantan99999912−==22−3.21+2023届·江苏省七市三模·T721．已知cos40(°−θθθ)+cos40(°+)+cos80(°−)=0，则tanθ=（）33A．−3B．−C．D．333【答案】A【分析】利用和差角公式展开，得到2cos40cos°+°+°=θθθcos80cossin80sin0，即可得到2cos40°+cos80°tanθ=−，再利用两角差的余弦公式计算可得.sin80°【详解】因为cos40(°−θθθ)+cos40(°+)+cos80(°−)=0，16/20学科网（北京）股份有限公司 所以cos40cos°+°+°−°+°+°=θθθθθθsin40sincos40cossin40sincos80cossin80sin0，所以2cos40cos°+°+°=θθθcos80cossin80sin0，所以2cos40°+cos80°+sin80tan°θ=0，2cos40°+cos80°所以tanθ=−sin80°2cos120(°−80°+)cos80°=−sin80°2cos120cos80(°°+sin120sin80°°+)cos80°3sin80°=−=−=−3sin80°°sin802022届·广东省汕头二模·T722．若λsin160++=tan20cos703，则实数λ的值为（）3A．3B．C．2D．42【答案】A【分析】根据诱导公式、同角三角函数基本关系、两角差的正弦公式和正弦的二倍角公式化简即可求解.【详解】因为λsin160++=tan20cos703，即λsin180(−+20)tan20+cos90(−=20)3，sin20所以λsin20++=sin203，cos20所以λsin20cos20++sin20sin20cos20=3cos20，31所以(λ+1sin20cos20)=3cos20−=sin202cos20−sin20，22λ+1所以sin40=2sin60cos20(−cos60sin20)=2sin60(−=20)2sin40，2λ+1所以=2，所以λ=32题型六和差公式+倍角公式2023湖南省五市十校高二下期末·T15123．已知αβ,均为锐角，tanα+=+tanβ2sin(αβ)，且cos(αβ+=)，则cos2(αβ−=).31【答案】−91【分析】化切为弦，然后逆用两角和正弦公式，求得coscosαβ=，再利用两角和与差的余弦公式求得22cos(αβ−=)，根据二倍角公式即可得结果.317/20学科网（北京）股份有限公司 sincosαββα+sincossin(αβ+)【详解】2sin(αβ+=+=)tanαtanβ=，coscosαβcoscosαβ11因为cos(αβ+=)，则sin(αβ+≠)0，因此coscosαβ=，321111而cos(αβ+=)coscosαβ−sinsinαβ=，从而sinsinαβ=−=，3236112因此cos(αβ−=)coscosαβ+sinsinαβ=+=，26321则cos2(αβ−=)2cos(αβ−−=−)1.91故答案为：−.92024届·重庆市巴蜀中学适应性月考（二）·T1133224．（多选）已知0<<<<αβππ，cos2α=−，cos(αβ+=)−，则（）251072A．tanα2B．sin(αβ+=)−103π2C．βα−=D．coscosαβ=−45【答案】BC32【分析】根据cos2α=−，判断α的范围，再根据cos2α，求出tanα，再由cos(αβ+=)−，求出sin(αβ+)，510tan(βα−)，cos(βα−)，从而得出答案.【详解】因为0<<απ，所以022<<απ，3π3ππ3π3又cos2α=−<0，所以<<2α，<<α，由cos2α=−，得tanα=±2.522445π3π3π3π9π对于A选项，若tanα2，则<<α，又π<<β，所以<+<αβ，242242而cos(αβ+=)−<0矛盾，所以tanα≠−2.故A错误；10ππ3π对于B选项，根据A选项知，tanα=2，则<<α，又π<<β，4225π25π3π所以<+<αβ2π，而cos(αβ+=)−<0，所以<+<αβ，4104272这样sin(αβ+=)−，故B正确；10对于C选项，根据A选项知，tanα=2，722再根据B选项中sin(αβ+=)−，cos(αβ+=)−，101018/20学科网（北京）股份有限公司 tan(αβ+−)tanα1知tan(αβ+=)7，从而tanβ=tan(αβα+−=)=，1tan(++αβα)tan3tanβα−tan则tan(βα−=)=−1，1tan+βαtan3ππππ5π又π<<β，−<−<−α，<−<βα，224243π所以βα−=，故C正确；43π对于D选项，根据C选项知βα−=，42所以cos(βα−=)cosβαcos+sinsinαβ=−，22又cos(αβ+=)coscosαβ−sinsinαβ=−，1032解得coscosαβ=−，故D错误102024·江苏省海安高级中学高三上学期10月月考·T61sin2+θ25．已知角θ的大小如图所示，则＝（）cos2θ55A．−B．C．−4D．433【答案】Cπ5【分析】根据三角函数的定义可得tanθ+=−4,进而又和差角公式得tanθ，又二倍角和齐次式即可43求解.π【详解】由图可知tanθ+=−4,4ππtanθ+−tan445所以tanθ==，ππ31tan++θtan4421sin2+θ(sinθθ+cos)sinθθθ++costan1则====−4cos2θ(cosθθθθθθ+sin)(cos−sin)cos−−sin1tanθ19/20学科网（北京）股份有限公司 πππ1π626．已知α∈(0,π)，β∈−,满足sinα+=，cosβ−=，则sin(αβ+=2)（）223366210+2210−2−+2102210+2A．B．C．D．−9999【答案】Bππππ【分析】注意到α+=++22βαβ−，后结合α(0,π)，β∈−,，利用二倍角，两角和的正弦3622公式可得答案.ππ4ππ13π【详解】因α∈(0,π)，则α+∈，，又sinα+=<=sin，3333323πππ−22则α+∈,π，得cosα+=.3233π6π2π2因cosβ−=，则cos22β−=cosβ−−=−1.66663πππ2πππ61πππ又β∈−,，则β−∈−,，结合cosβ−=<=cos，则β−∈−,0，得22633662362π30sinβ−=−，66πππ5则sin22β−=cosβ−sinβ−=−.6663ππ又注意到α+=++22βαβ−，36ππππ则sin(αβ+=+2)sinαcos2β−+cosα+sin2β−363612−−2252102=×−+×−=.3333920/20学科网（北京）股份有限公司