专题2-5 函数与导数压轴小题归类（原卷版）

专题2-5函数导数压轴小题归类目录题型01整数解型1题型02函数零点构造型2题型03同构:方程零点型同构3题型04同构:不等式型同构求参4题型05恒成立求参：移项讨论型5题型06恒成立求参：虚设零点型5题型07“倍缩”型函数求参数6题型08恒成立求参：“等式”型7题型09双变量型不等式范围最值8题型10双变量型：凸凹反转型9题型11多参型：代换型10题型12多参型：二次构造放缩型10题型13多参型：韦达定理求参型11题型14多参型：单峰函数绝对值型12题型15导数与三角函数12高考练场13题型01整数解型【解题攻略】整数解，属于导数研究函数的性质，根据题意求得整数型参数的取值范围，或者整数解求参数范围等，涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.【典例1-1】（2021·湖南怀化·二模（理））已知函数，，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是A．3B．2C．4D．5【典例1-2】.（2020·黑龙江实验中学三模（理））已知函数在区间内存在极值点，且恰好有唯一整数解，则的取值范围是（　　）A．B．C．D． 【变式1-1】在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【变式1-2】（黑龙江省佳木斯市第一中学2021-2022学年高三上学期第四次调研考试理科数学试题）已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．【变式1-3】（四川省成都石室中学高三下学期考试数学（理）试题）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是A．B．C．D．题型02函数零点构造型【解题攻略】函数零点构造型，涉及到函数的性质应用：与对称有关的常用结论：①若点，关于直线对称，则；②若的图象关于直线对称，则；③若，则的图象关于直线对称；④若，则的图象关于点对称．数形结合法解决零点问题：①零点个数：几个零点②几个零点的和③几个零点的积.【典例1-1】（2020·黑龙江实验中学高三阶段练习（理））已知函数，若实数互不相等，且，则的取值范围为______．【典例1-2】.（2020·吉林吉林·三模）已知函数，若实数满足，，则的取值范围为___________. 【变式1-1】（2022·云南省玉溪第一中学高三）已知函数，，若，其中，则的取值范围是______.【变式1-2】．（2022·浙江·高三专题练习）设函数已知，且，若的最小值为，则a的值为___________．【变式1-3】.（2021·全国·模拟预测）已知函数，，若方程有4个不同的实根，，，，则的取值范围是______．题型03同构:方程零点型同构【解题攻略】对于既含有指数式又含有对数式的等式或不等式，直接求导会出现越求导式子越复杂的情况，此时可通过同构函数，再利用函数的单调性，把问题转化为较为简单的函数的导数问题．导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，难点是寻找构造突破口。如变形得到，从而构造进行求解.常见同构：①；②；③④；【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）已知m是方程的一个根，则（    ）A．1B．2C．3D．5【典例1-2】（2023·全国·模拟预测）若方程在上有实根，则a的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知是方程的一个根，则（    ）A．B．C．2D．3【变式1-2】（2023上·四川绵阳·高三四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）已知且 则一定有（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（2023上·山东日照·高三统考开学考试）已知正实数，满足，则的最大值为（    ）A．0B．1C．2D．3题型04同构:不等式型同构求参【解题攻略】（1）乘积模型：（2）商式模型：（3）和差模型：【典例1-1】（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知关于x的不等式在上恒成立，则正数m的最大值为（    ）A．B．0C．eD．1【典例1-2】（2020上·北京·高三统考阶段练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2022下·河南·高三校联考阶段练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．【变式1-2】（2022上·浙江绍兴·高三统考期末）已知关于的不等式恒成立，其中为自然对数的底数，，则（    ） A．既有最小值，也有最大值B．有最小值，没有最大值C．有最大值，没有最小值D．既没有最小值，也没有最大值【变式1-3】（2022上·安徽亳州·高三统考期末）已知，若时，恒成立，则的最小值为（    ）A．B．C．D．题型05恒成立求参：移项讨论型【解题攻略】一般地，已知函数，（1）若，，有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有成立，故；【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则（       ）A．B．C．D．【典例1-2】.（2022·全国·高三专题练习）若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（       ）A．B．C．D．【变式1-1】（2020·福建省福州第一中学高三阶段练习（理））已知，且时，恒成立，则的最小值是（             ）A．B．C．D．【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若有最小值，则实数的取值范围是A．B．C．D．【变式1-3】（2022上·江苏扬州·高三统考阶段练习）当时，不等式有解，则实数m的范围为（    ）A．B．C．D．题型06恒成立求参：虚设零点型【解题攻略】虚设零点法：涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决 （1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，如比值代换等等。（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量求导就可以解决相应的问题。（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围【典例1-1】（四川省内江市威远中学校2022-2023学年高三上学期第三次月考数学（理）试题）已知不等式对恒成立，则取值范围为（    ）A．B．C．D．【典例1-2】（黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式1-1】设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式1-2】已知函数有唯一零点，则（）A．B．C．D．【变式1-3】若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（）A．B．C．D．题型07“倍缩”型函数求参数【解题攻略】如果函数在定义域的某个区间（）上的值域恰为（），则称函数为上的k倍域函数，称为函数的一个k倍域区间．把函数存在区间，使得函数为上的倍域函数，结合函数的单调性，转化为是解答的关键.【典例1-1】（陕西省汉中中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试卷）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是 A．B．C．D．【典例1-2】（浙江省杭州学军中学西溪校区2020-2021学年高三3月数学试题）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是________.【变式1-1】（2020年浙江省新高考考前原创冲刺卷（二））设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”.若函数为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是________.【变式1-2】（河北省邢台一中2021-2022学年高三下学期模拟数学（理)试题）.设函数的定义域为，若存在，使得在区间上的值域为，则称为“倍函数”.已知函数为“3倍函数”，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【变式1-3】（2022吉林吉林·高三阶段练习（理））设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为（且），则称为“倍函数”，若函数为“3倍函数”，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．题型08恒成立求参：“等式”型【解题攻略】一般地，已知函数，若，，有，则的值域是值域的子集．【典例1-1】（2021·四川·绵阳中学模拟预测（文））已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是A．B．C．D．【典例1-2】．（2022·福建·泉州市城东中学高三）已知，是函数 的两个极值点，且，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围（       ）A．B．C．D．【变式1-1】（2022·四川成都·高三阶段练习（文））设函数，，其中．若对任意的正实数，，不等式恒成立，则a的最小值为（       ）A．0B．1C．D．e【变式1-2】（2022·河南安阳·高三阶段练习）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（       ）A．B．C．D．【变式1-3】（江苏省南京航空航天大学附属高级中学2020-2021学年高三数学试题）已知函数，，对任意的，总存在使得成立，则a的范围为_________．题型09双变量型不等式范围最值【解题攻略】一般地，已知函数，不等关系(1)若，，总有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有成立，故．【典例1-1】（2023下·四川眉山·高三眉山市彭山区第一中学校考阶段练习）已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（    ）A．B．C．D．有极小值点【典例1-2】（2023下·福建福州·高三福建省福州第一中学校考）已知函数，若，且，，则（    ）A．B．C．D． 【变式1-1】（2019下·河南鹤壁·高三鹤壁高中校考阶段练习）已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．【变式1-2】（2019下·山西长治·高三统考阶段练习）若方程x﹣2lnx+a＝0存在两个不相等的实数根x1和x2，则（　　）A．B．C．D．【变式1-3】（2021上·高三单元测试）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（    ）A．B．C．D．题型10双变量型：凸凹反转型【解题攻略】凸凹翻转型常见思路，如下图转化为两个函数的最值问题是关键。【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（    ）．A．7B．9C．11D．12【典例1-2】（2023上·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知正数满足，则（    ）A．B．C．1D．【变式1-1】.已知实数，满足，则的值为A．B．C．D．【变式1-2】（安徽省六安市第一中学、合肥八中、阜阳一中三校2021-2022学年高三上学期10月联考数学试题）已知函数有两个零点，则的取值范围为（） A．B．C．D．题型11多参型：代换型【解题攻略】不等式中，可以借助对数均值不等式解决，完整的对数均值不等式为：，可用两边同除，令整体换元的思想来构造函数，证明不等式成立求解参数【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，对于正实数a，若关于t的方程恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（       ）A．B．C．D．【典例1-2】（2020·江苏·高三专题练习）若对任意正实数恒成立，则实数的取值范围是_________【变式1-1】（2020·全国·高三专题练习（文））设三次函数，（a,b,c为实数且）的导数为，记，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为____________【变式1-2】已知存在，若要使等式成立（e=2.71828…），则实数的可能的取值是（    ）A．B．C．D．0【变式1-3】（江苏省扬州中学2022-2023学年高三考试数学）若正实数满足，则函数的零点的最大值为______.题型12多参型：二次构造放缩型【解题攻略】多参数型求参数范围，或者多参型最值，难点是能够两次构造函数，利用导数求出相应函数的最值【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ）A．B．C．D． 【典例1-2】（2021·高三单元测试）已知为自然对数的底数，为实数，且不等式对任意的恒成立.则当取最大值时，的值为（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2021·四川成都·统考模拟预测）设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（    ）A．B．C．D．【变式1-2】（2022·四川南充·高三四川省南充高级中学校考）已知函数，若时，恒有，则的最大值为A．B．C．D．【变式1-3】（2023·浙江·高三路桥中学校联考）已知，，关于的不等式无实数解，则的最小值为（    ）A．B．C．D．题型13多参型：韦达定理求参型【典例1-1】（2023上·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考）若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（    ）A．B．C．D．【典例1-2】（2023上·江苏苏州·高三苏州中学校考开学考试）若函数既有极大值也有极小值，则（     ）A．B．C．D．【变式1-1】（2023·山东烟台·统考二模）若函数有两个极值点，且，则（    ） A．B．C．D．【变式1-2】（2021·浙江·模拟预测）已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（2023·河南开封·高三统考）已知函数的两个极值点分别是，则下列结论正确的是（    ）A．或B．C．存在实数a，使得D．题型14多参型：单峰函数绝对值型【典例1-1】（安徽省阜阳市太和第一中学2019-2020学年高三数学试题）若存在实数，对任意实数，使不等式恒成立，则实数的取值范围为________.【典例1-2】（中学生标准学术能力诊断性测试2019-2020学年高三1月（一卷）数学（理）试题）设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为__________．【变式1-1】设函数，若对任意的实数，总存在使得成立，则实数的取值范围是________．【变式1-2】若，，，对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围____________．【变式1-3】（浙江省温州市2021-2022学年高三适应性测试一模数学试题）设函数.若在上的最大值为2，则实数a所有可能的取值组成的集合是________.题型15导数与三角函数【典例1-1】函数的最大值为（）A．B．C．D．【典例1-2】已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数a的最小值为A．B．1C．D．3 【变式1-1】函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为___________.【变式1-2】已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（    ）A．B．C．D．【变式1-3】已知函数，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（    ）A．B．C．D．高考练场1.（黑龙江省实验校2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知函数在区间内存在极值点，且恰好有唯一整数解，则的取值范围是（　　）A．B．C．D．2.（2021·江苏·高三开学考试）已知函数，，若，，则的最小值为___________.3.（2023·广东梅州·统考三模）已知实数，满足，，则（    ）A．1B．2C．4D．84.（2021·广东深圳·高三练习）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（    ）A．B．C．D．5.（2021下·四川眉山··高三练习）若，恒成立，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．6.（江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高三上学期10月学情调研测试数学试题）当时，不等式有解，则实数m的范围为（    ）A．B．C．D． 7.（陕西省汉中中学2022高三上学期第二次月考数学试卷）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是A．B．C．D．8.（湖北省十堰市东风高级中学2021-2022学年高三数学试题）已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是______.9.（2021·新疆乌鲁木齐·统考三模）若，令，则的最小值属于（    ）A．B．C．D．10.（2022·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．11.（四川省泸县第五中学2021-2022学年高三模拟考试数学（文）试题）若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________.12.（2023·江苏·统考模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（    ）A．B．－1C．D．－213.（2022下·福建泉州·高三泉州市城东中学校考）已知，是函数的两个极值点，且，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围（    ）A．B．C．D．14.（2022·全国·高三专题练习）设函数，，，若对任意的实数，，总存在实数，使得不等式成立，则的最大值是_______． 15.已知函数．若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为___________．