专题2-3 零点与复合嵌套函数（原卷版）

专题2-3零点与复合嵌套函数目录题型01零点基础：二分法1题型02根的分布2题型03根的分布：指数函数二次型3题型04零点：切线法3题型05抽象函数型零点4题型06分段含参讨论型5题型07参数分界型讨论5题型08分离参数型水平线法求零点6题型09对数绝对值水平线法7题型10指数函数“一点一线”性质型8题型11零点：中心对称性质型10题型12零点：轴对称性质型10题型13嵌套型零点：内外自复合型11题型14嵌套型零点：内外双函数复合型12题型15嵌套型零点：二次型因式分解13题型16嵌套型零点：二次型根的分布14题型17嵌套型零点：放大型函数14高考练场15题型01零点基础：二分法【解题攻略】用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：①确定零点的初始区间，验证．②求区间的中点c．③计算，并进一步确定零点所在的区间：a．若（此时），则c就是函数的零点．b．若（此时），则令b．c．若（此时，则令a．④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④．【典例1-1】（2022·高三课时练习）已知函数满足：对任意，都有，且.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，又，则函数的零点为（    ）A．B．C．D． 【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确度）可以是（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2021秋·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数的一个零点，用二分法求精确度为0.01的的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为（    ）A．6B．7C．8D．9【变式1-2】（2021·江苏南通·高三海安高级中学校考）函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则的解析式可能是A．B．C．D．【变式1-3】（2020秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知图像连续不断的函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间等分的次数至少是（    ）A．4B．6C．7D．10题型02根的分布【解题攻略】根的分布1.基础分布：0分布特征：（1）、两正根；（2）、两负跟；（3）、一正一负两根。方法：判别式+韦达定理2．区间分布与K分布特征：（1）、根比某个常数K大或者小；（2）、根在某个区间（a，b）内（外）方法：借助复合条件的大致图像，从以下四点入手（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴位置；（4）根的分布区间端点对应的函数值正负【典例1-1】（2023上·甘肃武威·高三统考开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．且【典例1-2】（2023·高三课时练习）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ）A．B．C．或D．【变式1-1】（2022上·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知一元二次方程的两根都在内， 则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式1-2】（2022上·广东广州·高三广州市第二中学校考阶段练习）已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（2022上·辽宁沈阳·高三沈阳市外国语学校校考阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充要条件是（    ）A．B．C．D．题型03根的分布：指数函数二次型【解题攻略】指数型根的分布1.换元，令，有指数函数性质知，t的最大范围为正。2.注意题中对方程根的正负范围，对应的t的取值范围3.根据换元后新“根”的范围，用一元二次型“根的分布”求解。4.特殊的函数式子，可以分离参数，转化为“水平线型”求解。【典例1-1】（2021上·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期中）关于的方程恰有两个根为、，且、分别满足和，则【典例1-2】．（2021·高三课时练习）设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是.【变式1-1】（2021·山西临汾·统考二模）已知函数．若存在，使得，则m的取值范围是．【变式1-2】（2021上·四川遂宁·高三阶段）已知方程有两个不相等实根，则的取值范围为．【变式1-3】（2022下·浙江舟山·高三舟山中学校考开学考试）关于x的方程k•4x﹣k•2x+1+6(k﹣5)＝0在区间[﹣1，1]上有解,则实数k的取值范围是.题型04零点：切线法【解题攻略】切线法求零点或者零点个数：1、适用于小题。大题则过程证明不严谨，容易丢过程分。2、数形结合，或者求导“画图”，求导画图，有时候需要判断“上凸或者下凹”3、特殊的函数，需要通过“虚设零点”求得。 【典例1-1】（2020上·湖北武汉·高三校联考）已知函数有三个零点，则（    ）A．7B．8C．15D．16【典例1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，在上有个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2021·湖南长沙·高三长郡中学阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（          ）A．B．C．D．【变式1-2】（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（2020·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是．题型05抽象函数型零点【解题攻略】抽象型函数判断函数图像1.定义域判断。2.函数奇偶性判断。3.函数简单性判断。4.函数值正负判断5.利用极限，判断无穷远处的值与“比值”【典例1-1】（安徽省示范高中培优联盟2022-2023学年高三上学期11 月冬季联考数学试题）已知定义域为的偶函数的图象是连续不断的曲线，且在上单调递增，则在区间上的零点个数为（    ）A．100B．102C．200D．202【典例1-2】（山东省德州市2022届高三三模数学试题）已知函数是定义在上的奇函数，对于任意，必有，若函数只有一个零点，则函数有（    ）A．最小值为B．最大值为C．最小值为4D．最大值为4【变式1-1】已知是定义在上的奇函数，且，则函数的零点个数是（    ）A．3B．4C．5D．6【变式1-2】（2023秋·浙江杭州·高三杭州市长河高级中学校考）定义在R上的单调函数满足：，若在上有零点，则a的取值范围是题型06分段含参讨论型【典例1-1】（湘豫名校联考2022-2023学年高三上学期10月一轮复习诊断考试（一）数学（文科）试题）已知函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是（    ）A．B．或C．D．或【典例1-2】（2021·江苏·高三专题练习）设，e是自然对数的底数，函数有零点，且所有零点的和不大于6，则a的取值范围为．【变式1-1】已知函数，若函数只有两个零点，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式1-2】已知函数若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式1-3】已知函数，则“”是“恰有2个零点”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件题型07参数分界型讨论【解题攻略】 参数在分段函数分界处，需要分类讨论。分类讨论讨论点，首先是两段函数的交点处，齐次是每段函数的各自“特色”处，如二次函数如果二次项有参，则“开口”即位讨论点之一，要“多画图”，每一种情况，画处各自“小图”做对比【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）函数，当时，的零点个数为；若恰有4个零点，则的取值范围是.【典例1-2】.（2021秋·山东济南·高三济南外国语学校校考期中）已知函数,如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围为．【变式1-1】（2022秋·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式1-2】（2023春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（    ）A．B．B．C．D．【变式1-3】（2023春·河南南阳·高三河南省桐柏县第一高级中学校考阶段练习）设，函数，若在区间内恰有9个零点，则a的取值范围是．题型08分离参数型水平线法求零点【解题攻略】分离参数水平线法求零点1.分离参数。2.构造函数于水平线。3.构造函数时，要注意函数是否有“水平渐近线”【典例1-1】（2021上·山东潍坊·高三统考）已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是　　A．B． C．D．【典例1-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数，若存在，使得方程有两个不同的实数根且两根之和为6，则实数的取值范围是．【变式1-1】（2022上·广东汕头·高三校考）已知函数，令，则下列说法正确的（   ）A．函数的单调递增区间为B．当时，有3个零点C．当时，的所有零点之和为D．当时，有1个零点【变式1-2】（2023上·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（2021上·河南新乡·高三校考阶段练习）若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．题型09对数绝对值水平线法【解题攻略】对数绝对值对于，若有两个零点，则满足1.2.3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变” 【典例1-1】．（2021上·江苏连云港·高三统考）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、、、，且，则A．B．C．D．【典例1-2】（2020上·河南信阳·高三统考）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2019·湖南·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是.A．B．C．D．【变式1-2】（2023上·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知函数，若有四个解，则的取值范围是．【变式1-3】．（2020上·河南郑州·高三校联考中）已知函数，若方程有4个不同的实根，，，且，则题型10指数函数“一点一线”性质型【解题攻略】指数函数，无论平移或者翻折，始终要注意函数的核心性质“一点一线”是否变化。要把“一点一线”这个核心性质提升到底数大于1或者小于1的分类讨论相同地位 图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数【典例1-1】（2023上·云南昆明·高三昆明八中校考）已知，若，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【典例1-2】（2023上·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）已知函数，若函数有四个不同的零点，，，且，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2023上·四川成都·高三四川省成都列五中学校考）若关于x的方程有两个不等的实数解，则实数m的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式1-2】（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（    ）A．B．C．D． 【变式1-3】（2023下·四川达州·高三校考阶段练习）已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）.A．B．C．D．题型11零点：中心对称性质型【解题攻略】函数中心对称：（1）若函数满足，则的一个对称中心为（2）若函数满足，则的一个对称中心为（3）若函数满足，则的一个对称中心为.【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）函数在上的所有零点之和等于.【典例1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数()的所有零点之和为（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2022上·甘肃张掖·高三阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，若，则关于的方程的所有根之和为A．B．C．D．【变式1-2】（2021下·江西宜春·高三阶段性）已知函数是定义在上的奇函数，若，则关于的方程的所有根之和为A．B．C．D．【变式1-3】．（2022上·吉林松原·高三统考）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为A．3a﹣1B．1﹣3aC．3﹣a﹣1D．1﹣3﹣a题型12零点：轴对称性质型【解题攻略】 轴对称性的常用结论如下：（1）若函数满足,则的一条对称轴为（2）若函数满足,则的一条对称轴为（3）若函数满足,则的一条对称轴为(4)f(a－x)＝f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称；【典例1-1】（2020·广东中山·校联考模拟预测）定义域为的函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，，，则（    ）A．1B．2C．D．【典例1-2】（2020上·辽宁沈阳·高三校联考）已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上的所有零点之和为（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2018上·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考）已知函数，若互不相等），则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式1-2】（2019上·天津南开·高三天津二十五中统考）已知三个函数，，的零点依次为、、，则A．B．C．D．【变式1-3】（2018上·贵州贵阳·高三贵阳一中阶段练习）已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（   ）A．B．C．D．题型13嵌套型零点：内外自复合型【解题攻略】对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.【典例1-1】（2015下·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是A．当时，有3个零点；当时，有4个零点 B．当时，有4个零点；当时，有3个零点C．无论k为何值，均有3个零点D．无论k为何值，均有4个零点【典例1-2】（2022上·河北石家庄·高三统考）已知函数若函数的零点个数为A．3B．4C．5D．6【变式1-1】（2021上·天津·高三天津实验中学校考期中）已知为偶函数，当时，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围（    ）A．B．C．D．【变式1-2】（2021上·安徽滁州·高三安徽省定远中学校联考）已知函数，若存在四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（2019上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考）已知函数，则函数的零点个数为A．B．C．D．题型14嵌套型零点：内外双函数复合型【典例1-1】（2021上·陕西安康·高三统考阶段练习）已知函数，，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【典例1-2】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考）已知函数，，当时，方程根的个数为（    ）.A．B．C．D．【变式1-1】（2021上·安徽池州·高三池州市第一中学校考）设函数，，若方程有四个实数根，则实数t的取值范围是（    ） A．B．C．D．【变式1-2】（2020上·江苏南京·高三南京市第五高级中学校考阶段练习）已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为A．B．C．D．【变式1-3】（2021·全国·高三专题练习）已知函数，则方程的实数根的个数为（    ）A．5B．6C．7D．8题型15嵌套型零点：二次型因式分解【典例1-1】（2020·山东德州·统考一模）已知函数，若关于的方程有且只有两个不同实数根，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【典例1-2】（2020下·江苏无锡·高三校考）已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数解，则实数m的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2022秋·天津河东·高三校考阶段练习）已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则a的取值范围为．【变式1-2】（2023春·上海宝山·高三校考）已知满足，当，，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为. 【变式1-3】（2019·浙江衢州·衢州二中校考二模）设（其中为自然对数的底数），，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为.题型16嵌套型零点：二次型根的分布【典例1-1】（2023·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则m的取值范围是（    ）A．B．C．D．【典例1-2】（2022下·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知函数若关于x的方程有8个不同的实数根，则实数b的取值范围是（　　）A．  B．  C．D．[﹣5，﹣4]【变式1-1】（2020下·河南·高撒统考）已知函数，若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．【变式1-2】（2020·河北邯郸·统考二模）已知若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（2023上·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考开学考试）已知函数，关于的方程恰有个不同实数解，则的取值范围为．题型17嵌套型零点：放大型函数【解题攻略】（1）如果函数在上满足，则此类函数在局部范围上具有与周期函数相类似的性质．（2）复杂函数的零点，可以转化为熟悉函数图像的交点来处理． 满足形式，一般情况下，b多是0或者1.俗称为“放大镜函数”。【典例1-1】（宁夏石嘴山市平罗中学2022届高三第四次模拟考试数学（理）试题）已知定义为R的奇函数满足：，若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【典例1-2】.已知函数f(x)=1-2x-3,1≤x≤212fx2,x>2，则下列说法正确的是（）A．关于x的方程f(x)-12n=0(n∈N*)有2n+4个不同的解B．若函数y=f(x)-kx有4个零点，则实数k的取值范围为124,16C．对于实数x∈[1,+∞)，不等式2xf(x)-3≤0恒成立D．当x∈[2n-1,2n](n∈N*)时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为1【变式1-1】（河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高三下学期5月月考数学试题）已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，则函数在区间上零点的个数为__________个.【变式1-2】（浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三下学期开学考试数学试题）定义在R上的奇函数满足，当时，，且时，有，则函数在上的零点个数为A．9B．8C．7D．6【变式1-3】已知，则函数零点的个数为___________.高考练场1.（2021秋·吉林长春·高三校考阶段练习）若函数的零点与函数的零点之差的绝对值不超过，则可以是（    ）A．B．C．D．2.（2021上·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）关于的方程有两个不相等的实数根且，那么的取值范围是（    ）A．B．C．D． 3.（2020·内蒙古包头·高三北重三中校考）关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是.4.（2023春·新疆乌鲁木齐·高三新疆师范大学附属中学校考开学考试）若若有两个零点，则实数的取值范围为.5.（四川省自贡市2021-2022学年高三第一次诊断性考试理科数学试题）定义在上的奇函数，满足，当时，，，则函数在的零点个数为（    ）A．7B．6C．5D．46.（2020秋·广东·高三校联考阶段练习）已知函数有三个互不相同的零点，，，则a的取值范围是；的取值范围是.7.（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有3个零点，则的取值范围为.8.（2023上·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）已知函数，若关于x的方程有4个不同的解，记为，，，（），且恒成立，则的取值范围是．9.（2023下·内蒙古呼伦贝尔·高三校考）设函数，若实数a，b，c满足，且．则下列结论不能恒成立的是（    ）A．B．C．D．10.（2023上·安徽芜湖·高三统考）定义在上的奇函数，当时，，则函数的所有零点之和为．11.（2021下·河南·高三统考）已知函数为偶函数，且满足当时，则函数的所有零点之和为A．B．C．D．12.（2019上·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）设函数．若方程有且只有两个不同的实根，则实数的取值范围为 A．B．C．D．13.．（2022·高三课时练习）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数a的取值范围是（    ）A．B．C．D．14.（2022·全国·高三专题练习）已知，函数，，若函数有4个零点，则实数的取值范围是.15.（2023·四川成都·校联考二模）已知函数,若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．16.（2022下·广西桂林·高三校考）已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是.17..（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx=ex-1,0≤x≤1,x2-4x+4,1<x<3,当x∈-1,1时，fx=f-x，当x∈R时，fx+4=2fx，若关于x的方程fx=mx在区间0,5上恰有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是___________.