2024年高考数学二轮复习：解三角形压轴综合小题（学生版）

解三角形压轴综合小题目录题型01边角互化求角题型02判断三角型形状题型03三角形几解判断题型04正余弦应用：求面积题型05正余弦应用：求长度题型06正余弦应用：比值型求值题型07最值型：角与对边互化面积型题型08最值型：周长边长范围题型09最值型：比值范围题型10最值型：余弦定理齐次式题型11最值型：正切题型12三角形角平分线型题型13三角形中线型题型14三角形重心型题型15三角形外接圆高考练场题型01边角互化求角【解题攻略】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择．边角互化的方法abc(1)边化角：利用正弦定理===2r(r为△ABC外接圆半径)得a=2rsinA，b=sinAsinBsinC2rsinB，c=2rsinC；(2)角化边：abc①利用正弦定理：sinA=，sinB=，sinC=2r2r2r222b+c-a②利用余弦定理：cosA=2bc辅助角公式ba2b222aasinα+bcosα=a+bsinα+cosα；+=1a2+b2a2+b2a2+b2a2+b21 22(1)正弦形式a+bsin(α+β)：sinα∙cosβ±cosα∙sinβ=sin(α±β)ab其中：cosβ=,sinβ=.2222a+ba+b22(2)余弦形式a+bcos(α-β)：cosα∙cosβ±sinα∙sinβ=cos(α∓β)ab其中：sinβ=,cosβ=.2222a+ba+ba-b1(2022下·黑龙江哈尔滨·高三校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=c-bsinC，则A=()sinA+sinBππ2ππ2πA.B.C.D.或633332(2021下·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习)在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于()A.30°B.45°C.60°D.30°或150°【变式训练】1(2023上·河南焦作·高三石家庄市第九中学校考)在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a，b，c，若bcosA+B=c-2acos∠B，则∠B=()πππ2πA.B.C.D.6323102(2023·湖南·校联考模拟预测)在△ABC中，BC=3，sinB+sinC=sinA，且△ABC的面积为31sinA，则A=()2πππ2πA.B.C.D.64333(2023上·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考阶段练习)在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对cosB3边，已知b=3,=，则cosB等于()cosC2a-c1313A.B.C.-D.-2222题型02判断三角型形状【解题攻略】判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点①sinA=sinB⇒A=B⇒△ABC为等腰三角形ππ②sinA=cosB⇒A+B=或A-B=⇒△ABC直角三角形或钝角三角形222 π③sin2A=sin2B⇒A=B或A+B=⇒△ABC为等腰三角形或钝角三角形2④cos2A=cos2B⇒A=B⇒△ABC为等腰三角形222⑤a+b=c⇒cosC=0⇒△ABC为直角三角形222⑥a+b-c<0⇒cosC<0222或a+c-b<0⇒cosB<0⇒△ABC为钝角三角形222或b+c-a<0⇒cosA<0222⑦a+b-c>0⇒cosC>0222且a+c-b>0⇒cosB>0⇒△ABC为锐角三角形222且b+c-a>0⇒cosA>02221在△ABC中，a,b,c是三角形的三条边，若方程x-2xsinC+sinA+sinB=0有两个相等的实数根，则△ABC是()A.锐角三角形；B.直角三角形；C.钝角三角形；D.以上都有可能．2在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1，则△ABC是()A.直角三角形；B.锐角三角形；C.钝角三角形；D.等边三角形．【变式训练】b+c1在△ABC中，1+cosA=，则三角形的形状为()cA.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.正三角形D.等腰三角形2记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b+cb+c-a=2bc，那么△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定222c-a-b3在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若>0，则△ABC一定是()2abA.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形题型03三角形几解判断【解题攻略】判断三角形解的个数有2种：画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。①若无交点，则无解；②若有一个交点，则有一个解；③若有两个交点，则有两个解；④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。3 公式法：运用正弦定理进行求解。①a=bsinA，△=0，则一个解；②a>bsinA，△>0，则两个解；③a<bsinA，△<0，则无解。1在△ABC中，a=20,b=10,B=32°，则此三角形的解的情况是()A.有两解B.有一解C.有无数个解D.无解2在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若a=2,b=1,B=29°，则此三角形解的情况是()A.无解B.有一解C.有两解D.有无数解【变式训练】1在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是()A.一解B.两解C.一解或两解D.无解2在△ABC中，已知b=45，c=35，C=30°，则此三角形的解的情况是()A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定3在△ABC中，已知a=18，b=20，A=150°，这个三角形解的情况是A.一解B.两解C.无解D.不确定题型04正余弦应用：求面积【解题攻略】三角形面积：111abc①S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB=2224R1②S△ABC=(a+b+c)·r(r是切圆的半径)21记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinB=bsinC，则△ABC的面积为()2223a2+b2+c2asin2Cbsin2Acsin2BA.B.C.D.2221242已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=217,b=52,cosA=，则△ABC的面积为5()A.362B.183C.27D.36【变式训练】1(2022春·河南许昌·高三统考期末)如图，在平面四边形ABCD中，CD=2，∠ADC=45°，∠ACD4 =105°，∠B=60°，AB+BC=4，则三角形ABC的面积为()37373A.3B.C.D.2422(2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考)我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式.设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公1a2+c2-b2222222式表示为S=ac-.在△ABC中，若asinC=6sinA，a+c=16+b，则用“三斜求42积”公式求得△ABC的面积为.223(2019·陕西宝鸡·统考二模)已知三角形的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b-c=6，则角A最大时，三角形ABC的面积等于．题型05正余弦应用：求长度【解题攻略】.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步：求结果.1(2023下·江西萍乡·高三统考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若b=4+22-c，3cosB=，tanC=-7，则a=．42π122(2023下·江苏盐城·高三校联考)△ABC中，A=，D在BC上，AD⊥AC，AD=2，则+=3ACAB．【变式训练】1(2023下·广西钦州·高三统考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且bcosC+ccosBB2=1，则a=.若cos=，c=2，则b=.242(2022下·高三校考单元测试)在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，又a=2.c=6.C=π，则b=.33(2023上·山东日照·高三统考开学考试)在△ABC中，AB=2，D为AB中点，CD=2，∠BAC=5 2∠BCD，则边AC的长为.题型06正余弦应用：比值型求值【解题攻略】最值范围：分式比值型化边为角型1.通过正余弦定理，把边转化为角。2.利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式3.对单变量(单角)求最值。1(2022上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习)在Rt△ABC中，斜边为AB，点D在边BC上，若2221AB+ADtan∠BAD=，sin∠ADC⋅sinB=，则=.43AB⋅AD42(2023下·福建泉州·高三校联考阶段练习)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，cosA=，若5a△ABC的面积为3，则当△ABC的周长取到最小值时，=．b【变式训练】1(2022上·江苏南通·高三统考)在△ABC中(角A为最大内角，a，b，c为∠A、∠B、∠C所对的边)和45S△ABC△A1B1C1中，若sinA=cosA1，sinB=cosB1，sinC=cosC1，则222=.a-b-c2A2(2020·四川成都·高三双流中学校考阶段练习)在△ABC中，2sin=3sinA，tanB=3tanC，则2AC=.AB223已知△ABC中，设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S，若3sinB+2sinC=SsinAsinA+2sinBsinC，则的值为()2b11A.B.C.1D.242题型07最值型：角与对边互化面积型【解题攻略】注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边a,b,c的齐次式或关于角的正弦sinA,sinB,sinC的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．1(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知B=60°，b=4，则△ABC面积的最大值为()6 A.33B.43C.53D.6A+C2(2022秋·黑龙江·高三哈尔滨三中校考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若asin=2bsinA，b=1，则△ABC面积的最大值为()3331A.B.C.D.2462【变式训练】21(2023秋·辽宁铁岭·高三校考开学考试)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c=(a-2b)+ab，且c=3，则△ABC面积的最大值为.2(2023秋·广东珠海·高三校考开学考试)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=4，且4+bsinA-sinB=c-bsinC，则△ABC面积的最大值为.3(2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)在△ABC中，角A，B，C的对边分π别为a，b，c，若∠A=，a=2，则△ABC面积的最大值为．3题型08最值型：周长、边长范围【解题攻略】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值1(2021上·河南濮阳·高三濮阳市油田第二高级中学校考阶段练习)锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC，若a=3，则b+c的取值范围是()A.(3,4]B.(3,23]C.(3,33]D.(3,6]2(2023上·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习)设锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别π22为a,b,c，若A=,a=3，则b+c+bc的取值范围为()3A.(1，9]B.(3，9]C.(5，9]D.(7，9]【变式训练】1(2023下·高三单元测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin(A+C)cosBcosCsinAπ+c=，B=3，则a+c的取值范围是()bsinCA.3,33,33,33,32B.2C.2D.22(2021·河北唐山·统考三模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的内角平分线交BC7 11于点D，若a=1，+=2，则AD的取值范围是．bc03(2023上·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习)ΔABC中，若b=3,B=60，则ΔABC周长最大值为．题型9最值型：比值范围1(2022上·广西桂林·高三校考阶段练习)在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，设△ABC的面S积为S，则的最大值为()2a+4bc2332A.B.C.D.161216182(2023上·江苏无锡·高三江苏省南菁高级中学校考阶段练习)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为22222sinB+sinCa,b,c，S为△ABC的面积，且a=2S+(b-c)，则的取值范围为()sinBsinC43594359A.15,15B.22,15C.22,15D.22,+∞【变式训练】1(2023上·贵州黔东南·高三统考)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且△ABC的面积2aS=bc1-cosA，则的取值范围为()bcA.4,+∞B.4,16C.4,32D.32,1655155353515c2(2022·全国·高三专题练习)已知ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=2B，则+b2b的取值范围为．a3(2022下·重庆·高三重庆市彭水第一中学校校考)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、22ac，若a=b+bc，则的取值范围是．b题型10最值型：余弦定理齐次式2221(2022·全国·高三课时练习)锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a+b=5c，则cosC的取值范围是()161464A.2，3B.2，1C.5，3D.5，12222(2020·全国·高三课时练习)锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a+b=4c，则cosC的取值范围为()133333115315A.2,5B.4,5C.2,5D.4,5【变式训练】8 2221(2022·四川成都·二模(理))已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=1,4acosB+4b22sinA=3b-3，则tanA的最大值为()773747A.B.C.D.437722222(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．若4acosB+4bsinA22=3b-3c，则cosA的最小值为()2773A.B.C.D.33443(2020·河南·校联考二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为2cba，则+的最大值是．4bc题型11最值型：正切【解题攻略】正切：tanα±tanβ1.tanα±β=；1∓tanαtanβ2.在三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC1(2023上·辽宁丹东·高三校联考阶段练习)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且actanB-tanA满足+acosB=，则的取值范围是()222tanA⋅tanB1331123A.2,3B.4,2C.0,2D.1,32222(2023下·云南保山·高三校考)已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若sinC=2sinA-3sinB，则tanB的最大值为()553525A.B.C.D.2323【变式训练】1(2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2S1△ABC的面积为S，若sin(A+C)=，则tanA+的取值范围为()22b-a3tan(B-A)23234234234A.3,+∞B.3,3C.3,3D.3,32252(2023上·全国·高三专题练习)在锐角△ABC中，a-b=bc，则角B的范围是，-tanB5+6sinA的取值范围为.tanA2223(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+4b=c，则tanB的最大值为．9 题型12三角形角平分线型【解题攻略】ABAC角平分线定理(大题中，需要证明，否则可能会扣过程分)：=BDCD三角形角平分线的处理方法：S△ABC=S△ACD+S△ABD1(2022·贵州贵阳·高三开学考试(理))已知△ABC的内角A,B,C对应的边分别是a,b,c，内角A的角平分线交边BC于D点，且AD=4．若(2b+c)cosA+acosC=0，则△ABC面积的最小值是()A.16B.163C.64D.6432(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为()A.8B.9C.10D.7【变式训练】1(2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测(理))在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC+sinB)，若角A的内角平分线AD的长为2，则4b+c的最小值为()A.10B.12C.16D.182(2021·全国·高三专题练习)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，b=3c，角A的平分线交BC于点D，且BD=7，则cos∠ADB的值为()21212721A.-B.C.D.±77773(2022·陕西西安·三模(理))在△ABC中，∠B=120°，AB=2，∠A的角平分线AD的长为3，则AC=()10 A.2B.3C.6D.23题型13三角形中线型【解题攻略】中线的处理方法121221.向量法：AD=(AB+AC)⇔AM=AB+2AB⋅AC+AC242.双余弦定理法(补角法)：如图设BD=DC，222在△ABD中，由余弦定理得AB=AD+BD-2×AD×BD×cos∠ADB，①222在△ACD中，由余弦定理得AC=AD+DC-2×AD×DC×cos∠ADC，②因为∠AMB+∠AMC=π，所以cos∠ADB+cos∠ADC=0所以①+②式即可3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形4.中线分割的俩三角形面积相等1在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b-3asinA=bcos2A,a=1，且AC边上的中线BM=3，则()2A.3B.7C.1或2D.2或3BE2在△ABC中，E，F分别是AC,AB的中点，且3AB=2AC，若<t恒成立，则t的最小值为()CF11 375A.B.C.1D.484【变式训练】1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=22，点P是AB的中点，若PC=a-b，则△ABC面积的最大值为()A.3B.3C.23D.12BE2在△ABC中，若3sinC=2sinB,点E,F分别是AC,AB的中点，则的取值范围为()CF17171616A.4，8B.3，8C.4，7D.3，73(2022·河南·郑州四中高三阶段练习(理))在等腰△ABC中，AB=AC，若AC边上的中线BD的长为3，则△ABC的面积的最大值是()A.6B.12C.18D.24题型14三角形重心型【解题攻略】中线的处理方法1.向量法：2.补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理12 1在钝角△ABC中，a,b,c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，点G是△ABC的重心，若AG⏊BG，则cosC的取值范围是()A.B.C.D.2(2024秋·福建福州·高三福建省福清第一中学校考阶段练习)已知点G为三角形ABC的重心，且GA+GB=GA-GB，当∠C取最大值时，cosC=()A.B.C.D.【变式训练】1(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC中，a,b,c分别是△ABC的内角A、B、C所对的边，点G是△ABC的重心，若AG⏊BG，则cosC的取值范围是()A.B.C.D.2(2020春·天津·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习)已知△ABC中，为△ABC的重心，则A.B.C.D.3(2023·全国·高三专题练习)锐角△ABC中，a,b,c为角A、B、C所对的边，点G为△ABC的重心，若AG⏊BG，则cosC的取值范围为()A.，B.，C.，D.，题型15三角形外接圆【解题攻略】三角形所在的外接圆的处理方法：1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。钝角三角形外心在三角形外。abc2.正弦定理：===2R，其中R为外接圆半径sinAsinBsinC13 1(2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考开学考试)在△ABC中，，，，是△ABC的外接圆上的一点，若，则的最大值是()A.1B.C.D.2(2023·全国·高三专题练习)已知锐角△ABC满足，且O为△ABC的外接圆圆心，若，则的取值范围为()A.B.C.D.【变式训练】1(2022春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考)若是△ABC外接圆圆心，A、B、C是△ABC的内角，若，则实数的值为()A.B.C.D.2(2023·全国·高三专题练习)设为锐角△ABC的外心(三角形外接圆圆心)，．若，则()A.B.C.D.3(2022春·北京·高三校考期末)已知三角形外接圆的半径为1为圆心，且，，则等于()A.B.C.D.高考练场1(2021·安徽安庆·统考二模)在△ABC中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是()A.B.C.D.14 2在中，，则三角形的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.等腰三角形3在中，，则此三角形的解的情况是()A.有两解B.有一解C.无解D.有无数个解4(2023春·广东东莞·高三东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为()A.B.C.D.5(2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)在△ABC中，AB=2，且，则三角形ABC的面积为.6(2023·四川成都·校联考二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，cosAtanB+tanC=2tanBtanC，，则bc=.7△ABC.的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若，则()A.5B.4C.3D.28．(2023秋·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习)在△ABC中，，，当取最大值时，△ABC的面积为.9(2023下·湖南长沙·高三校考开学考试)已知△ABC的三边长互不相等，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是.10(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC中，，，则中线AD长的取值范围是;11(2024·河南鹤壁·鹤壁高中校考二模)在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为12(2022·河南·方城第一高级中学模拟预测(理))已知△ABC中，D为边BC的中点，若，则∠BAD的余弦值为()15 A.B.C.D.13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线的长为3，则的最小值为()A.21B.24C.27D.36广西柳州市2023届高三第二次模拟考试数学(理)试题14(2022下·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习)如图所示，△ABC是边长为6的等边三角形，G是它的重心，过G的直线分别交线段AB，AC于E，F两点，，当在区间上变化时，则的取值范围是()A.B.C.D.15(2022·四川巴中·统考模拟预测)在锐角△ABC中，角，，的对边分别为，，，若，则，的取值范围为．16