重庆一中2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

绝密★启用前重庆一中高2025届高二下开学考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2π1．已知函数fxx()=⋅sinx，则f′的值为（）222ππA．0B．πC．D．−44222．设动直线l与Cx:(++=1)y5交于A，B两点．若弦长AB既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（）A．xya+=2B．ax+=y2aC．ax+=y2D．xay+=a43．已知数列{b}是公比为qq(≠1)的正项等比数列，且2lnb=0，若fx()=，则n101221+xfb(1)+fb(2)++fb(2023)=（）A．4069B．2023C．2024D．4046x4．已知函数fx()的定义域为R，设gx()e()=fx．设甲：fx()是增函数，乙：gx()是增函数，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件25．已知F为抛物线yx=4的焦点，A、B、C为抛物线上三点，当FAFB++=FC0时，则在点A、B、C中横坐标大于2的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个20236．已知定义在R上的偶函数fx()满足fxfx()(−=2)4，fx()0>，f(2024)1=．则∑fi()=（）i=1学科网（北京）股份有限公司 A．4545B．4552C．4553D．45547．已知等差数列{a}（公差不为零）和等差数列{b}的前n项和分别为S，T，如果关于x的实系数方程nnnn222021xSxT−+=0有实数解，那么以下2021个方程x−+==axb0(i1,2,3,,2021)中，无实数20212021ii解的方程最多有（）A．1008个B．1009个C．1010个D．1011个228．记椭圆Cx:21+=y的左右焦点为F，F，过F的直线l交椭圆于A，B，A，B处的切线交于点P，122设△FFP的垂心为H，则PH的最小值是（）12A．2B．3C．5D．6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在正四棱台ABCD−ABCD中，AB=22AB=AA，则（）1111111A．直线AA与CD所成的角为60°111B．平面AADD与平面BBCC的夹角为60°1111C．AA//平面CBD11D．AA⊥平面ABD11222210．设F为双曲线Cxy:2−=的右焦点，O为坐标原点．若圆xym+−=()4交C的右支于A，B两点，则（）22A．C的焦距为22B．||||OA+OB为定值C．||||OA+OB的最大值为4D．||||FA+FB的最小值为211．已知数列{a}：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，…，其中第1项为1，接下来的2项为1，2，接下来n的3项为1，3，5，再接下来的4项为1，4，7，10，依此类推，则（）A．a=21202B．a=−+nn22nn(+1)2C．存在正整数m，使得a，a，a成等比数列mm+1m+2D．有且仅有3个不同的正整数m，使得aaa++=156mm++12m三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．学科网（北京）股份有限公司 2112．若直线l:2xmy++=10与直线lmxy:0−+=垂直，则m的值为__________．12213．已知数列{a}的各项均为非零实数，其前n项和为S，a=1，且对于任意的正整数n均有nn12SSa+=．（1）若a=−2，则a=__________；（2）若a=−2022，则满足条件的无穷数列的一nnn++11322023个通项公式可以是a=__________．na14．已知函数fx()=lnx，gxx()=（x>0，a≠0），若存在直线l，使得l是曲线yfx=()与曲线ygx=()的公切线，则实数a的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB=2，PA=PB=AD=2．（1）证明：PC⊥BD；（2）求PC与平面PAD所成角的正弦值．16．（15分）Sn记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．已知为等比数列，bbnn+=+1−1，aS32=28=，nST−=15．33（1）求{a}，{b}的通项公式；nn（2）求数列{ab}的前2n项和．nn17．（15分）12已知函数fx()=+−cosaxx1．2（1）当a=1时，求fx()的单调区间；（2）若x=0是fx()的极大值点，求a的取值范围．学科网（北京）股份有限公司 18．（17分）222设F、F分别是粗圆Ex:+=>2ytt(0)的左、右焦点．12（1）求E的离心率；（2）过F的直线l与E相交于A，B两点（AB与y轴不平行）．1①当t为常数时，若AF，||AB，BF成等差数列，求直线l的方程；2222xy②当t=2时．延长BF与E相交于另一个点C（BF与x轴不垂直），证明：直线AC与椭圆+=1相22219切．19．（17分）2x已知函数fx()(=xa−)e．（1）讨论fx()的单调性；（2）设x，x分别为fx()的极大值点和极小值点，记Axfx(,())，Bxfx(,())．121122（ⅰ）证明：直线AB与曲线yfx=()交于另一点C；*（ⅱ）在（i）的条件下，判断是否存在常数λ∈+∈(,nn1)(nN)，使得||||AB=λBC．若存在，求n；若不存在，说明理由．附：ln2=0.693，ln51.609=．绝密★启用前重庆一中高二下开学考试数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．B2．D3．C4．D5．D6．C7．C8．D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ACD10．BCD11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．1nn,1≤≤2022,12．0或13．2；（答案不唯一）n22022(1),⋅−n≥2023学科网（北京）股份有限公司 114．0,(1,+∞)e四、解答题：共77分．15．解：（1）取AB的中点O．因为PA=PB，所以PO⊥AB．因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB，所以PO⊥平面ABCD．因为BD⊂平面ABCD，所以PO⊥BD．BOAD因为tan∠===∠BCOtanABD，所以∠=BCO∠ABD，因此CO⊥BD．BCAB因为POCO=O，所以BD⊥平面POC．又因为PC⊂平面POC，所以PC⊥BD．（2）以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz．由题设得A(1,0,0)，P(0,0,1)，D(1,2,0)，C(−1,2,0)，PA=(1,0,1)−，AD=(0,2,0)，PC=(−−1,2,1)．nAD⋅=0,2y=0,设n=(,,)xyz是平面PAD的法向量，则即可取n=(1,0,1)．nAD⋅=0,xz−=0,nPC⋅22所以cosnPC,==−．因此PC与平面PAD所成角的正弦值为．nPC⋅2216．解：S3S2Sn（1）由题设得aSSS332=−==282，即=×2．因此的公比为2，32nSnS1n−1n−1于是=×2，即SnS=×2．n1n1S2n−1又因为S=4，所以S==1，即Sn=×2．21n4当n=1时，aS==1．11nnn−−−122n−2*当n≥2时，aSSn=−=×−−×2(n1)2=+×(n1)2．所以an=+×(1)2(n∈N)．nnn−1n学科网（北京）股份有限公司 2又因为S=×=3212，Tbbbb=++=−1，所以ST−=−=13b15，因此b=−2，b=1．33123133112因为−=+1bbbb=+，所以bb=．nn+++112nnnn+2−2,n为奇数,n−2因此{a}的通项公式为an=+×(1)2，{b}的通项公式为b=nnnn1,n为偶数.23n−22nn−−1（2）设cab=+ab，由（1）得cab=+ab=−×42n++×(21n)2=4，n2121n−−n22nnn2121n−−n22nn2nnnnnk−141−所以{abnn}的前2n项和∑∑abkk=(ab2121k−−k+===ab22kk)∑∑ck4．k=1k=1kk=11=317．解：12（1）当a=1时，fx()=+−cosxx1，x∈R，则fxx′=−()sinx．2令函数gxx()=−sinx，则gx′=−≥()1cosx0，可得gx()单调递增．又g(0)=0，所以当x∈(0,+∞)时，gx()0>，当x∈−∞(,0)时，gx()0<．所以fx()的单调递减区间为(−∞,0)，单调递增区间为(0,+∞)．12（2）若a=0，则fx()=x，此时x=0是fx()的极小值点，故a≠0．fx′=−()xasinax，222令函数hx()=−xasinax，则hx′=−()1acosax=−1acos||ax．2π令函数ϕ()1x=−≠acos||(axa0)，可知ϕ()x在区间0,上单调递增．||a2①当ϕ(0)1=−≥a0且a≠0，即−≤≤11a且a≠0时，ϕϕ()x≥≥(0)0，π此时hx()在区间0,上单调递增，则hxh()≥=(0)0，此时x=0不可能是fx()的极大值点．||a2π②当ϕ(0)1=−<a0，即a<−1或a>1时，由ϕ()x在区间0,上单调递增，||aπ可知存在m∈0,，使得当xm∈[0,)时，ϕ()0x<，||a则hx()在[0,)m上单调递减，从而hxh()≤=(0)0，即fx′≤()0，fx()在[0,)m上单调递减．1122由f(−=x)cos(−+−−=ax)(x)1cosax+x−=1fx()，可得fx()为偶函数，22fx()的图象关于y轴对称，此时x=0是fx()的极大值点．学科网（北京）股份有限公司 综上，a的取值范围为(−∞−,1)(1,+∞)．18．解：at=22xyt2c2（1）由题意得，+=>1(t0)，则b=，故ct=，即e==．22tt22a2222=+2abc（2）①AF，||AB，BF成等差数列，∴=+2|AB|AFBF，22224又||AB++=AFBF4t，∴=||ABt，223AB与y轴不平行，所以直线AB的斜率存在，若AB的斜率为k，2设直线AB方程为ykx=+t，Axy(,)，Bxy(,)，211222ykx=+t联立2，消去y得(2k2+1)x2+22tkxtk2+−=22t20，222xyt+=2222tkxx12+=−2221k+2221tk+4则，∴=+||1ABkx12−=+x1k2=t，解之得k=±1，tkt22−212+k3xx=1221k2+22故直线AB方程为xy−+t=0或xy++t=0．2222nn②设Bmn(,)，则mn+=22，令kk==，kk==，1AB2BCm+1m−1AB与y轴不平行且AB、BC斜率存在，∴≠±m1，ykx=(+1)122222联立x2，消去y得(21k+)x+4kxk+−=220，且∆=810(k+>)，21111+=y122n21−22k2−m+1122由韦达定理可知，mx==，并注意到mn+=22，12221k+n121+m+1234mm+34m+得mx=−，即x=−，1123m+23m+学科网（北京）股份有限公司 n34mn+故ykx=(+=−1)，得A−−,，11123m+2323mm++nn−−34mn−2323mm−+m同理得C,．此时，k==−，AC2323mm−−3434mm−+6n−−2323mm−+nmm34−m1直线AC的方程为yx−=−−，整理得yx=−−，236m−−nm2363nnm1yx=−−63nn222222联立xy，消去y得(m+2n)x+4mx−+=440n，+=12192222注意到mn+=22，故24440x+mx−+=n，2222此时，∆=16m+32(n−=1)16(mn+2)−32=0，22xy∴直线AC与椭圆+=1相切．21919．解：xx2x（1）fx′=−()2()xae()+−xae(2=−+xa)()xa−e．令fx′=()0得xa=−2或xa=．当xaa∈−∞(,−2)(,+∞)时，fx′>()0；当xaa∈−(2,)时，fx′<()0．所以fx()在(−∞,a−2)，(,)a+∞单调递增，在(aa−2,)单调递减．（2）由（1）得xa=−2，xa=．12fafa()−−(2)a−2（ⅰ）直线AB的方程为yfa−=()(xa−)，即y=−−2e(xa)．aa−−(2)yfx=(),xa−2由a−2得()xaxa−−+=()e2e0．y=−−2e(xa)xa−2xxx设gx()=−+(xa)e2e，则gx′=+−()e(xa)e=−+(xa1)e．学科网（北京）股份有限公司 令gx′=()0得xa=−1．当xa∈−∞(,−1)时，gx′<()0；当xa∈(−+∞1,)时，gx′>()0．所以fx()在(−∞,a−1)单调递减，在(a−+∞1,)单调递增．a−2a−2因为ga(−=2)0，ga(−=−1)(2e)e<0，ga()=2e>0，所以gx()有且仅有2个零点a−2，x，其中xaa∈−(1,)．00xa−2这表明方程()xaxa−−+=()e2e0的解集为{a−2,xa,}，0即直线AB与曲线yfx=()交于另一点C，且C的横坐标为x．0（ⅱ）由（ⅰ）得(ax−=)ex02ea−2，即ln(ax−−−=−)(ax)ln22．000*aa−−(2)2假设存在常数λ∈+∈(,nn1)(nN)，使得||||AB=λBC，则λ==，ax−−ax0022所以xa=−，代入可得lnλ+−=20．0λλ2x−2设hx()=+−lnx2，则hx′=()．令hx′=()0得x=2．2xx当x∈(1,2)时，hx′<()0；当x∈(2,+∞)时，hx′>()0．所以hx()在(1,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增．38因为h(1)=0，h(4)=2ln2−<×−<20.71.50，h(5)=−>−=ln51.61.60，25所以存在唯一的λ∈(4,5)，使得h()0λ=．2xaa−−222a−aa22lnλ−−−222此时gx()=−+=(xa)e02e−+eλ2e=−ee+2e=e−×+=λ20．00λλλ*因此，存在常数λ∈+∈(,nn1)(nN)，使得||||AB=λBC，且n=4．学科网（北京）股份有限公司