重庆市铁路中学2023-2024学年高二数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

重庆铁中2023～2024学年度高二年级上期入学数学试题答案第I卷（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，即可求得，即可求解.【详解】由复数，可得，所以.故选：C.2.已知平面向量，若与垂直，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系即可得出．【详解】∵λ（1，﹣3）﹣（4，﹣2）＝（λ﹣4，﹣3λ+2），与垂直，∴﹣2（﹣3λ+2）＝0，解得λ＝2．故选：D．【点睛】本题考查向量坐标运算，熟练掌握向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系是解题关键．3.已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】由空间向量基本定理建立方程组求解即可.【详解】依题意可知，设向量在基底下的坐标为，即，则，由空间向量基本定理得，，解得，故选：B．4.《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于公元前450年的作品，刻画的是一名强健的男子在掷出铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现把掷铁饼者张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”，经测量此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为1.25米，估算雕像两手掌心之间的距离约为（）（参考数据：，）A.2.945米B.2.043米C.1.768米D.1.012米【答案】C【解析】【分析】先利用弧长公式结合已知条件求出弧所对的圆心角，则两手掌心之间的距离为其所对的弦长【详解】因为两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为1.25米， 所以其所对的圆心角，所以两手掌心之间的距离为（米），故选：C5.在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是（）A.2件都是一级品B.2件都是二级品C.一级品和二级品各1件D.至少有1件二级品【答案】D【解析】【分析】利用列举法求得任取两件的样本点的总数，根据选项，结合古典摡型的概率计算公式和互斥事件的概率加法公式，逐项判定，即可求解.【详解】设，，分别表示3件一级品，，分别表示2件二级品,任取2件，则样本空间，共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，记事件A表示“2件都是一级品”，包含3个样本点，则.记事件B表示“2件都是二级品”，包含1个样本点，则.记事件C表示“2件中1件一级品、1件二级品”，包含6个样本点，则.事件A，B，C两两互斥，所以，又由表示“至少有1件二级品”.故选：D.6.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC且AB=BC=1，SA=，则球O的表面积是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【详解】如图，三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC，SA=,AB⊥BC且AB=BC=1，∴AC=∴SA⊥AC，SB⊥BC，SC=∴球O的半径R==1∴球O的表面积S=4πR2=4π．故选A点睛：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，确定球心，求出球半径是解题的关键．7.已知为锐角三角形，，，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据锐角三角形得出角的范围，再利用正弦定理及三角函数的性质即可求解.【详解】因为为锐角三角形，所以,解得,所以.在中，由正弦定理，得，即,由，得，即.所以的取值范围为. 故选：C.8.已知函数.若存在，使得，则实数的取值范围是（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】由可得出，令，其中，由题意可知，实数的取值范围即为函数在上的值域，求出函数在上的值域即可得解.【详解】由，可得，令，其中，由于存在，使得，则实数的取值范围即为函数在上的值域.由于函数、在区间上为增函数，所以函数在上为增函数.当时，，又，所以，函数在上的值域为.因此，实数的取值范围是.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.若，，与的夹角为，则的值为（）A.17B.C.D.1【答案】AC【解析】【分析】根据空间向量夹角公式计算可得答案.【详解】因为，，与的夹角为，所以，解得或.故选：AC.10.2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局．2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中正确的是（）A.2017-2021年全国居民人均可支配收入逐年递增B.2021年全国居民人均消费支出24100元C.2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降D.2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过60%【答案】AB【解析】【分析】根据条形图、折线图、扇形图等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，根据条形图可知，2017-2021年全国居民人均可支配收入逐年递增，A选项正确.B选项，根据扇形图可知，年全国居民人均消费支出为： 元，B选项正确.C选项，根据条形图可知，2020年全国居民人均可支配收入较前一年上升，C选项错误.D选项，2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比：，D选项错误.故选：AB.11.已知；且满足；则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由，利用辅助角公式可判断B；根据特殊角的三角函数值与正弦函数的单调性可进一步缩小的取值范围，从而判断A；由同角三角函数的平方关系可得的值，从而判断C；采用换元思想，设，结合二倍角公式，两角差的正弦公式可判断D．【详解】由，知，所以，即B正确；因为，所以,，又，所以,，即，而,,，即A正确；所以，即C错误；选项D，设，则，，，所以，，所以，即D正确． 故选：ABD．12.已知函数，则下列选项正确的有（）A.存在使为偶函数B.若且有，则的图象关于对称C.当时，若在上存在最大值，则实数的取值范围是D.当时，在上单调递减，则实数的取值范围是【答案】BD【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据各选项结合正弦函数的性质一一判断即可.【详解】（其中，，，），对于选项A，若为偶函数，则，所以，解得，因为，故A不正确；对于选项B，当时因为有，所以，，所以，所以，所以，因为，所以的图象关于对称，故B正确；对于选项C，时，，当时，，因为在上有最大值，所以，得，，解得，故C不正确；对于选项D，当时，， 因为在上单调递减，所以，解得，当时，，则，得，则，又因为，所以当时，符合题意，故D正确；故选：BD．三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知复数满足，则的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】表示到点的距离为8的点的集合，再根据复数模的几何意义，可求出的取值范围；【详解】设，因为，所以，因为，可看成到点的距离，又点到点的距离为5，所以的最小值是，最大值是，所以的取值范围是.故答案为：.14.如图，在空间四边形中，和为对角线，为的重心是上一点，以为基底，则__________． 【答案】【解析】【详解】由题意，连接则．.故答案为.15.投掷两枚质地均匀的骰子一次，设事件A为“两枚骰子的点数之差绝对值为2”；则______．【答案】【解析】【分析】利用列表法结合古典概型运算求解.【详解】投掷两枚质地均匀的骰子一次，共有36个基本事件，事件A包含8个基本事件，所以.故答案为：.1234561╳╳√╳╳╳2╳╳╳√╳╳3√╳╳╳√╳ 4╳√╳╳╳√5╳╳√╳╳╳6╳╳╳√╳╳16.若偶函数对任意都有，且当时，，则______．【答案】##0.1【解析】【分析】由得函数周期为6，结合周期性和奇偶性计算可得答案.【详解】因为，所以，所以周期为6，且为偶函数，当时，，，，所以，根据函数为偶函数，所以，即.故答案：.四､解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.如图，在中，，点是线段上一点. （1）若点是线段的中点，试用和表示向量；（2）若，求实数的值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；（2）根据向量线性运算利用表示，结合平面向量基本定理列方程求的值.【小问1详解】因为点是线段的中点，且，所以.所以；【小问2详解】设，则，又，所以，因为，所以，所以.18.为了解学校食堂的满意度；某调查小组在高一和高二两个年级各随机抽取10名学生进行问卷计分调查（满分100分）；得分如下所示：高一：64，72，79；78；78；75，86，85，92，91 高二：62，67，78；79，70，85，84，85；93，95（1）求高一年级问卷计分调查平均数和估计高一年级学生问卷计分调查的第75百分位数；（2）若规定打分在86分及以上的为满意；少于86分的为不满意；从上述满意的学生中任取2人；求这2人来自同一级的概率；【答案】（1）平均数为80，第75百分位数为86（2）【解析】【分析】（1）根据平均数和百分位数的定义，即可求得，（2）根据古典概率模型计算公式.【小问1详解】）高一年级问卷计分调查平均数：，将高一调查的数据从小到大排列：64，72，75，78，78，79，85，86，91，92，，所以第8位数为第75百分位数，即86．小问2详解】高一年级满意的有3个，记为，高二年级满意的有2个，记为,则从上述满意的学生中任取2人，基本事件有共有10个，设事件“上述满意的学生中任取2人，求这2人来自同一级”为，则包含，共有4个，故．19.如图，三棱柱中，，，，为的中点，且. （1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连结与交于点，连结，由中位线定理可得，再根据线面平行的判定定理即可证明结果；（2）方法一：根据线面垂直的判定定理，可证明平面；取的中点，易证平面，所以即所求角，再根据直棱柱的有关性质求即可得到结果；方法二:根据线面垂直的判定定理，可证明平面；取的中点，易证平面；所以即与平面所成的角，再根据直棱柱的有关性质求即可得到结果.【小问1详解】证明：如图一，连结与交于点，连结.在中，、为中点，∴.又平面，平面，∴平面. 图一【小问2详解】证明：（方法一）如图二，图二∵，为的中点，∴.又，，∴平面.取的中点，又为的中点，∴、、平行且相等，∴四边形是平行四边形，∴与平行且相等.又平面，∴平面，∴即所求角.由前面证明知平面，∴，又，，∴平面，∴此三棱柱为直棱柱.设∴，，，. （方法二）如图三，图三∵，为中点，∴.又，，∴平面.取的中点，则，∴平面.∴即与平面所成的角.由前面证明知平面，∴，又，，∴平面，∴此三棱柱为直棱柱.设，∴，，∴.20.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.（1）若，，求的面积；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据余弦定理得，再根据三角形面积公式计算即可；（2）由（1），结合正弦定理得，再利用三角恒等变换化简，利用三角函数性质求范围即可.【详解】解：（1）由，得， 由余弦定理可知，因为，以.又因为，，所以的面积为.（2）由（1）得，，由正弦定理可得所以.∵，∴∴，.周长的取值范围是.【点睛】本题考查正余弦定理以及三角恒等变换解三角形，考查数学运算能力，是中档题.21.已知函数的部分图像如图所示．（1）求的值；（2）若现将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再把图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象，求当 时，函数的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由图可求出函数的周期，从而可求出，由图可得，然后将点代入函数中可求出的值，进而可求得函数解析式，则可求出的值，（2）根据三角函数图象变换规律求出，再由求出，再由余弦函数的性质可求得的值域【小问1详解】由题意得：，∴，，当时，，，∴，令可得：，又易知，故：，则，【小问2详解】由（1）知：，由题意得：， ∵，∴，∴，故函数的值域为22.如图，在三棱锥S—ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°.（1）求证：平面MAP⊥平面SAC.（2）求二面角M—AC—B的平面角的正切值；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由已知可证BC⊥平面SAC，又PM∥BC，则PM⊥面SAC，从而可证平面MAP⊥平面SAC；（2）由AC⊥平面SBC，可得∠MCB为二面角M—AC－B的平面角，过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，则∠AMN=60°，由勾股定理可得，在中，可得，从而在中，即可求解二面角M—AC—B的平面角的正切值.【小问1详解】证明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，又∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又ACSC=C，∴BC⊥平面SAC， 又∵P，M是SC、SB的中点，∴PM∥BC，∴PM⊥面SAC，又PM平面MAP，∴平面MAP⊥平面SAC；【小问2详解】解：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥AC，又AC⊥BC，BCSC=C，∴AC⊥平面SBC，∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M—AC－B的平面角，∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，则∠AMN=60°，在△CAN中，由勾股定理可得，在中，，在中，.