利用二级结论秒杀抛物线（学生版）

利用二级结论秒杀抛物线考点目录考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论考点分类考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式2已知倾斜角为θ直线的l经过抛物线y=2px的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，则pP112①|AF|=,|BF|=，+=.1−cosθ1+cosθ|FA||FB|p22pp1②|AB|=2，SΔOAB=，|AB|=2p1+2.sinθ2sinθkpp③|AF|=xA+，|BF|=xB+,|AB|=xA+xB+p.22【精选例题】21倾斜角为45°的直线l经过抛物线y=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则|AB|=()4A.B.4C.6D.8322已知Ax1,y1,Bx2,y2是抛物线C:x=8y上的两点，且直线AB经过C的焦点，若y1+y2=12，则AB=()A.12B.14C.16D.1823已知抛物线y=6x，弦AB过抛物线的焦点F且满足AF=3FB，则弦AB的中点到y轴的距离为()35A.B.3C.D.42224已知抛物线E:y=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线E交于A,B两点(A在第一象限)，O为坐标原点，若AF=2BF=6，则()A.p=4B.直线l的斜率是±221 5C.线段AB的中点到y轴的距离是D.△OAB的面积是622【跟踪训练】21已知抛物线y=2px(p>0)的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于两点A，B．若弦长|AB|=4p，则直线l的斜率为．2π2在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y=2pxp>0的焦点为F，过点F的倾斜角为的直线l4与C相交于A，B两点，且点A在第一象限，△OAB的面积是82，则()111A.AB=8B.p=4C.+=D.AF=8+42AFBF223已知直线l：y=x+m过抛物线C：y=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则()A.m=1B.AB=82C.AF=2BFD.抛物线C上的动点到直线y=x+2距离的最小值为224已知直线l过抛物线C:y=4x的焦点F，且与抛物线C交于Ax1,y1,Bx2,y2两点，点M为C的准线与x轴的交点，则下列结论正确的是()A.若x1+x2=5，则AB=7B.过C的焦点的最短弦长为4πC.当AF=2FB时，直线l的倾斜角为3D.存在2条直线l，使得AF⋅BM=BF⋅AM成立考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式22p①抛物线y=2px的焦点为F，A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：x1x2=,y1y242=−p.2②一般地，如果直线l恒过定点M(m,0)与抛物线y=2px(p>0)交于A,B两点，那么2xAxB=m,yAyB=−2pm.③若OA⊥OB⇒AB恒过定点(2p,0).【精选例题】21已知抛物线C：y=2x的的焦点为F，Mx1,y1、Nx2,y2是抛物线上两点，则下列结论正确的是()1A.点F的坐标为,081B.若直线MN过点F，则x1⋅x2=-161C.若MF=λNF，则MN的最小值为42 35D.若|MF|+|NF|=，则线段MN的中点P到x轴的距离为2822已知抛物线y=8x的焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交抛物线于A，B两点()A.直线l的方程为x-y-2=0B.原点到直线l的距离为2C.AB=16D.y1y2=-823已知抛物线C：y=4x的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，下列说法正确的是()A.若AB中点M的横坐标为3，则AB的最大值为8πB.若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为4C.设N4,0，则AN的最小值为42D.若OA⊥OB，则直线AB过定点4,0【跟踪训练】21过抛物线y=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，则说法正确的是()211232A.AB=x1+x2+pB.y1+y2=pC.+=D.OA⋅OB=-pAFBFp422已知点M(-1,0)在抛物线C:y=2pxp>0的准线上，过抛物线C的焦点F作直线l交C于Ax1,y1、Bx2,y2两点，则()2A.抛物线C的方程是y=4xB.x1x2=132C.当AF=3FB时，AB=D.∠AMF=∠BMF323已知Ax1,y1,Bx2,y2是抛物线C:y=x上不同于原点O的两点，点F是抛物线C的焦点，下列说法正确的是()1A.点F的坐标为,0,41B.AB=x1+x2+2C.若OA⊥OB，则直线AB经过定点1,0D.若点P-2,1,PA､PB为抛物线C的两条切线，则直线AB的方程为x-2y-2=0考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式2①已知AB,CD是抛物线E:y=2px(p>0)中过焦点F的两条相互垂直的弦，AB+CD存在最小值，且最小值为8p.2②已知AB,CD是抛物线E:y=2px(p>0)中过焦点F的两条相互垂直的弦，则四边形ABCD的面积的最2小值为8p.3 【精选例题】21过抛物线C：y=4x的焦点F作两条互相垂直的直线l1和l2，设直线l1交抛物线C于A，B两点，直线l2交抛物线C于D，E两点，则AB+DE可能的取值为()A.18B.16C.14D.12222在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M与圆x+y-2x=0内切，且与直线x=-2相切，设动圆圆心M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过点F1,0作两条互相垂直的直线与曲线E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积S的最小值.【跟踪训练】21已知F为抛物线C:y=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则AB+DE的最小值为222已知抛物线y=4x.其焦点为F，若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，则四边形ABCD面积的最小值为．考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式2p设直线l与抛物线y=2px相交所得的弦AB的中点坐标为x0,y0，则kAB=y0【精选例题】21已知抛物线y=2px的一条弦AB恰好以点P(1,1)为中点，弦AB的长为15，则抛物线的准线方程为()13A.x=-B.x=-1C.x=-D.x=-22222直线y=kx-2与抛物线y=8x交于A,B两点，AB中点的横坐标为2，则k为()A.-1B.2C.-1或2D.以上都不是23直线l过抛物线y=4x的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，线段AB中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线AB的距离为()25352A.B.C.5D.555【跟踪训练】21已知直线l与抛物线C:y=2x相交于A,B两点，若线段AB的中点坐标为1,4，则直线l的方程为()A.4x-y=0B.2x-y=0C.8x-y-6=0D.x-2y+3=04 22已知抛物线y=2pxp>0的焦点为F，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满足BF-AF=4，AB=42.若线段AB中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为.23已知抛物线C:y=4x，过点P1,1的直线交抛物线C于A、B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为.考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题2设AB是过抛物线y=2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①以弦AB为直径的圆与准线相切．②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.【精选例题】21已知A,B是抛物线C:y=6x上的两动点，F是抛物线的焦点，下列说法正确的是()A.直线AB过焦点F时，以AB为直径的圆与C的准线相切B.直线AB过焦点F时，AB的最小值为6C.若坐标原点为O，且OA⊥OB，则直线AB过定点3,03D.与抛物线C分别相切于A,B两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点,0，则点N在抛物2线C的准线上22已知抛物线y=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(其中点A在x轴上方)，则()11A.+=1B.弦AB的长度最小值为lAFBFC.以AF为直径的圆与y轴相切D.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切【跟踪训练】24设O是坐标原点，直线y=kx-2k>0经过抛物线C：y=2px的焦点F，且与C交于A，B西点，△OAF是以OF为底边的等腰三角形，l是抛物线C的准线，则()A.以AB直径的圆与准线l相切B.k=2C.BF=2FAD.△OAB的面积是6225已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点F在直线l:y=kx-k上，直线l与抛物线交于点A,B(O为坐标原点)，则下列说法中正确的是()A.p=2B.准线方程为x=-2C.以线段AB为直径的圆与C的准线相切D.直线OA､OB的斜率之积为定值5 考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论2p①知识要点：如图，假设抛物线方程为x=2py(p>0)，过抛物线准线y=−上一点P2(x0,y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A,B，其坐标为(x1,y1),(x2,y2).则以点P和两切点A,B围成的三角形PAB中，有如下的常见结论:结论1.直线AB过抛物线的焦点F.y0+y结论2.直线AB的方程为x0x=2p=p(y0+y).2结论3.过F的直线与抛物线交于A,B两点，以A,B分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点P(x0,y0)的轨迹即为抛物线的准线.证明：过A点的切线方程为x1x=p(y1+y)，过B点的切线方程为x2x=p(y2+y)，x1y+y1x2y1−x1y2x1x2p两式相除可得：=⇒y=⇒y==−.这就证明了该结x2y+y2x1−x22p2论.结论4.PF⊥AB.px0y0−2证明：由结论3，kAB=，kPF=.px0px0y0−2y01那么kAB⋅kPF=⋅=−=−1.px0p2结论5.AP⊥PB.x1x2x1x2x1⋅x22证明：kAP=,kBP=,则kAP⋅kBP=⋅=2.由抛物线焦点弦的性质可知x1x2=−p，代入上式pppppx1⋅x2即可得kAP⋅kBP=2=−1，故AP⊥PB.p结论6.直线AB的中点为M，则PM平行于抛物线的对称轴.x1+x2x1x2证明：由结论3的证明可知，过点A,B的切线的交点P在抛物线准线上.且P的坐标为,，显22p然PM平行于抛物线的对称轴.【精选例题】21已知抛物线C：x=2py，(p>0)的焦点为F，Mx,yx>0为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为3，则直线FM的斜率为()3333A.B.C.D.234522设抛物线C：y=6x的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线l1，l2，若l1与l2交于点P，且满足PF=23，则AB=()6 A.5B.6C.7D.823(多选题)已知抛物线y=x的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线于A，B两点，B在第一象限，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，且l1，l2相交于点P，若BP交x轴于点Q，则下列说法正确的有()πA.点P在抛物线的准线上B.∠APB=33AF1C.FQ⊥BQD.若k=，则的值为3FB324已知抛物线C:x=4y的焦点为F，过F的直线l倾斜角为60°，交C于A,B两点，过A,B两点分别作C的切线l1，l2，其交点为P，l1，l2与x轴的交点分别为M,N，则四边形PMFN的面积为.【跟踪训练】21已知抛物线x=4y的焦点为F，若抛物线上一点P满足PF=5，则过点P的切线方程为()A.2x-y-4=0或3x-4y+4=0B.2x-y-4=0或2x+y+4=0C.2x+y+4=0或3x+4y+4=0D.3x-4y+4=0或3x+4y+4=022(多选题)设抛物线C：y=x的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则()A.PQ⊥x轴B.PF⊥ABC.∠PFA=∠PFBD.AF+BF=2PF2223已知抛物线C:x=2pyp>0的焦点为F，且F与圆M:x+y+4=1上的点的距离的最小值4．(1)求p；(2)若点P在圆M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求△PAB面积的最大值．21已知抛物线C：y=2px(p>0)，过点P3,0且垂直于x轴的直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为9，则p=()35A.B.2C.D.32222已知O为坐标原点，过抛物线C:y=8x焦点F的直线与C交于A，B两点，若|AF|=|AO|，则|AB|=()A.5B.9C.10D.1823已知抛物线Γ:y=2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为k的直线l交抛物线于A,B两点，若AF=3BF，则k=()33A.B.±C.3D.±3337 234已知抛物线y=4x与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦AB的中点M的横坐标为，则弦2AB的长|AB|=5已知抛物线C的顶点为坐标原点，准线为x=-1，直线l与抛物线C交于M,N两点，若线段MN的中点为1,1，则直线l的方程为．26已知抛物线C:y=6x，过P3,2的直线l交抛物线C于A,B两点，且PA=PB，则直线l的方程为.π27已知倾斜角为的直线l经过抛物线C：y=2px(p>0)的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点3(点A在第一象限)，与抛物线C的准线m交于点D，则()A.以AF为直径的圆与y轴相切B.准线m上存在唯一点Q，使得QA⋅QB=0BDAFC.BF=2D.BF=228(多选题)已知抛物线C：x=2pyp>0的焦点为F，过F作直线l与抛物线C交于A、B两点，分别1以A、B为切点作抛物线C的切线，两切线交于点T，设线段AB的中点为M．若点T的坐标为2,-，2则()A.点M的横坐标为2B.点M的纵坐标为3C.直线l的斜率等于2D.TM=58