利用二级结论秒杀抛物线（解析版）

利用二级结论秒杀抛物线考点目录考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论考点分类考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式2已知倾斜角为θ直线的l经过抛物线y=2px的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，则pP112①|AF|=,|BF|=，+=.1−cosθ1+cosθ|FA||FB|p22pp1②|AB|=2，SΔOAB=，|AB|=2p1+2.sinθ2sinθkpp③|AF|=xA+，|BF|=xB+,|AB|=xA+xB+p.22【精选例题】21倾斜角为45°的直线l经过抛物线y=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则|AB|=()4A.B.4C.6D.83【答案】D2【分析】根据已知条件，先求出直线l的方程，联立直线l与抛物线方程可得，x-6x+1=0，再结合抛物线的定义，以及韦达定理，即可求解.°【详解】∵直线l的倾斜角为45，∴直线l的斜率为1，2∵抛物线y=4x，∴焦点F(1,0)，∴直线l的方程为y=x-1，设Ax1,y1,Bx2,y2，2y=4x22联立直线与抛物线方程，化简整理可得，x-6x+1=0，Δ=6-4=32>0，y=x-1由韦达定理可得，x1+x2=6，故|AB|=x1+x2+p=6+2=8.故选：D.1 22已知Ax1,y1,Bx2,y2是抛物线C:x=8y上的两点，且直线AB经过C的焦点，若y1+y2=12，则AB=()A.12B.14C.16D.18【答案】C【分析】结合抛物线的弦长公式计算即可.pp8【详解】AB=y1++y2+=y1+y2+p=12+=16.222故选：C.23已知抛物线y=6x，弦AB过抛物线的焦点F且满足AF=3FB，则弦AB的中点到y轴的距离为()35A.B.3C.D.422【答案】C【分析】根据AF=3FB可得y1=-3y2，再根据韦达定理即可求出A,B的坐标，进而可求解.【详解】3抛物线的焦点F,0，2设A(x1,y1),B(x2,y2)，假设y2>0，显然弦AB所在的直线的斜率存在且不等于零，3设弦AB所在的直线方程为y=kx-，2y=kx-3联立2，消去x可得，ky2-6y-9k=0，y2=6x所以y1y2=-9，33因为AF=3FB，所以2-x1,-y1=3x2-2,y2，则y1=-3y2，2所以y1y2=-3y2=-9，解得y2=3，所以y1=-33，22y21y19所以x2==,x1==，62625所以弦AB的中点的坐标为,-3，25所以弦AB的中点y轴的距离为，2故选:C.24已知抛物线E:y=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线E交于A,B两点(A在第一象限)，O为坐标原点，若AF=2BF=6，则()A.p=4B.直线l的斜率是±222 5C.线段AB的中点到y轴的距离是D.△OAB的面积是622【答案】ACDp2【分析】设直线l:x=my+,Ax1,y1,Bx2,y2，与抛物线方程联立，根据、韦达定理得出m=212，再由AB=m+1⋅y1-y2=9求出p可判断A；求出m可得直线l的斜率，再由点A在第一象限可8x1+x25判断B；设线段AB的中点为Mx0,y0，根据x0==求出线段AB的中点到y轴的距离可判断221C；利用S=OF⋅y1-y2求出△OAB的面积可判断D.2p【详解】由题意可得直线l的斜率不为0，则可设直线l:x=my+,Ax1,y1,Bx2,y2，22y=2px,222联立p整理得y-2pmy-p=0，则y1+y2=2pm,y1y2=-p，x=my+,2因为AF=2BF，所以AF=2FB，所以y1=-2y2，所以-2y2+y2=2pm，222221所以y2=-2pm，则y1y2=-2y2=-p，即-2×(-2pm)=-p，解得m=，8因为AF=2BF=6，229所以AB=m+1⋅y1-y2=2pm+1=p=9，解得p=4，则A正确；4212对于B，因为m=，所以m=±，则直线l的斜率是±22，因为点A在第一象限，84所以直线l的斜率大于0，所以直线l的斜率是22，则B错误；x1+x255对于C，设线段AB的中点为Mx0,y0，则x0==，即线段AB的中点到y轴的距离是，则C正222确；2122对于D，因为p=4,m=，所以OF=2,y1-y2=y1+y2-4y1y2=2p⋅m+1=62，则△OAB的81面积S=OF⋅y1-y2=62，故D正确.2故选：ACD.【跟踪训练】21已知抛物线y=2px(p>0)的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于两点A，B．若弦长|AB|=4p，则直线l的斜率为．3 【答案】±1p【分析】设直线l的方程为x=my+，Ax1,y1，Bx2,y2，联立方程，利用韦达定理求出y1+y2,y1y2，再根2据抛物线的弦长公式即可得解.p【详解】由题意，直线l的斜率不等于零，F2,0，p设直线l的方程为x=my+，Ax1,y1，Bx2,y2，2p联立x=my+2，消x得y2-2mpy-p2=0，y2=2px222Δ=4mp+4p>0恒成立，2则y1+y2=2mp,y1y2=-p，2222222所以|AB|=1+m⋅y1+y2-4y1y2=1+m⋅4mp+4p=2p1+m=4p，解得m=±1，所以直线l的斜率为±1.故答案为：±1.2π2在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y=2pxp>0的焦点为F，过点F的倾斜角为的直线l4与C相交于A，B两点，且点A在第一象限，△OAB的面积是82，则()111A.AB=8B.p=4C.+=D.AF=8+42AFBF2【答案】BCD【分析】联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系和焦半径公式求出弦长，由点到直线的距离公式结合△OAB的面积求解p，从而利用焦半径公式求解AF,BF，逐项判断即可.2pp【详解】抛物线y=2pxp>0的焦点为F2,0，准线为x=-2，p设过焦点的直线方程为设直线l：y=x-，Ax1,y1，Bx2,y2，2y2=2px22p联立直线与抛物线方程得p消元得x-3px+=0，y=x-422p由韦达定理可得x1x2=，x1+x2=3p，所以AB=x1+x2+p=4p，4p-22又点O到直线AB的距离是=p，12+-12412所以S△OAB=×4p×p=82，得p=4，24所以AB=16，故选项A错误，B正确；2由p=4知x-12x+4=0，解得x1=6+42,x2=6-42，4 1111111所以+=+=+=，AFBFx+px+p8+428-4221222故选项C正确；PAF=x1+=8+42，故选项D正确；2故选：BCD.23已知直线l：y=x+m过抛物线C：y=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则()A.m=1B.AB=82C.AF=2BFD.抛物线C上的动点到直线y=x+2距离的最小值为2【答案】BD【分析】求得抛物线C的焦点代入直线l的方程，求得m=-1，可判定A错误；联立方程组，根据韦达定理和抛物线的焦点弦的性质，求得AB=8，可判定B正确；结合抛物线的定义，求得AF,BF的值，可判定C错误；设设M(x1,y1)是抛物线C上的任意一点，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质，可判定D正确.2【详解】由抛物线C:y=4x，可得焦点为F(1,0)，因为l:y=x+m过抛物线C的焦点F，可得m+1=0，解得m=-1，所以A错误；y=x-12联立方程组2，整理得x-6x+1=0，y=4x设A(x1,y1),B(x2,y2)，则Δ=36-4=32>0，x1+x2=6,x1x2=1，由抛物线的焦点弦的性质，可得AB=x1+x2+p=6+2=8，所以B正确；2又由x-6x+1=0，解得x1=3+22,x2=3-22，pp根据抛物线的定义，可得AF=x1+2=4+22,2BF=2x2+2=8-42，所以AF≠2BF，所以C错误；2设M(x1,y1)是抛物线C上的任意一点，可得y1=4x1，1y2-y+22x1-y1+2411(y1-2)+4则点M到直线y=x+2的距离为d===，22422当y1=2时，dmin=，所以D正确.2故选：BD.24已知直线l过抛物线C:y=4x的焦点F，且与抛物线C交于Ax1,y1,Bx2,y2两点，点M为C的准线与x轴的交点，则下列结论正确的是()A.若x1+x2=5，则AB=7B.过C的焦点的最短弦长为45 πC.当AF=2FB时，直线l的倾斜角为3D.存在2条直线l，使得AF⋅BM=BF⋅AM成立【答案】AB【分析】由拋物线的定义,可判定A正确；根据抛物线的几何性质，可判定B正确；设直线l的方程为x=my+1，联立方程组，得到y1+y2=4m,y1y2=-4，结合AF=2FB时，求得k=±22，可判定C错误；分别求得AF,BF,AM,BM，结合AF⋅BM=BF⋅AM，化简代入，得到-4m+4m=0恒成立，可判定D错误.【详解】由拋物线的定义可得AB=AF+BF=x1+x2+p=5+2=7，所以A正确；当过抛物线C的焦点且与x轴垂直时弦长最短，此时弦长为4，所以B正确；x=my+12设直线l的方程为x=my+1，联立方程组2，整理得y-4my-4=0，y=4x可得y1+y2=4m,y1y2=-4，当AF=2FB时，y1=-2y2，则y1+y2=4m，y1y2=-4，1π解得y2=±2,B2,±2,k=±22，所以倾斜角不是3，所以C错误；222222由F1,0,M-1,0，则AF=x1-1+y1=my1+1-1+y1=1+my1，222222BF=x2-1+y2=my2+1-1+y2=1+my2，222222AM=x1+1+y1=my1+1+1+y1=1+my1+4my1+4，222222BM=x2+1+y2=my2+1+1+y2=1+my2+4my2+4，AF2AM2y21+m22+4my+41y11由AF⋅BM=BF⋅AM，则=，可得2=22，化简可得(my1y2BFBMy21+my2+4my2+4+y1+y2)(y1-y2)=0，由y1≠y2，则my1y2+y1+y2=0，将y1+y2=4m，y1y2=-4代入，则-4m+4m=0恒成立，所以D错误.故选：AB.考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式22p①抛物线y=2px的焦点为F，A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：x1x2=,y1y242=−p.2②一般地，如果直线l恒过定点M(m,0)与抛物线y=2px(p>0)交于A,B两点，那么2xAxB=m,yAyB=−2pm.③若OA⊥OB⇒AB恒过定点(2p,0).【精选例题】21已知抛物线C：y=2x的的焦点为F，Mx1,y1、Nx2,y2是抛物线上两点，则下列结论正确的是()6 1A.点F的坐标为,081B.若直线MN过点F，则x1⋅x2=-161C.若MF=λNF，则MN的最小值为435D.若|MF|+|NF|=，则线段MN的中点P到x轴的距离为28【答案】BCD【分析】由抛物线方程确定焦点坐标知A错误；直线MN与抛物线方程联立，利用韦达定理可知B正确；根据MN过焦点可知最小值为通径长，知C错误；利用抛物线焦半径公式，结合中点坐标公式可求得P点纵坐标，知D正确.221【详解】抛物线y=2x，即x=y，21对于A，由抛物线方程知其焦点在y轴上，焦点为F0,，故A错误；81对于B，依题意，直线MN斜率存在，设其方程为y=kx+，821x=y2211由，消去y整理得x-kx-=0，y=kx+1216812111则Δ=k+>0，x1+x2=k，x1x2=-，故B正确；44216对于C，若MF=λNF，则直线MN过焦点，11111121所以MN=MF+NF=y1++y2+=kx1++kx2++=k+，88884221所以当k=0时，MNmin=，21所以MN的最小值为，故C正确；21135对于D，因为MF+NF=y1++y2+=，则y1+y2=，8824y1+y255即P点纵坐标为=，所以P到x轴的距离为，故D正确.288故选：BCD.22已知抛物线y=8x的焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交抛物线于A，B两点()A.直线l的方程为x-y-2=0B.原点到直线l的距离为2C.AB=16D.y1y2=-8【答案】ABC【分析】先求得抛物线的焦点坐标，根据点斜式、点到直线的距离公式、弦长公式、根与系数关系等知识确定正确答案.2【详解】抛物线y=8x的焦点为F2,0，7 所以过F且倾斜角为45°的直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y-0=1×x-2,x-y-2=0，A选项正确，0-0-2原点到直线l的距离为=2，B选项正确.22y=8x2由消去y并化简得x-12x+4=0,Δ=144-4×4=128>0，x-y-2=0设Ax1,y1,Bx2,y2，则x1+x2=12,x1x2=4，所以AB=x1+x2+p=12+4=16，C选项正确.y1y2=x1-2x2-2=x1x2-2x1+x2+4=4-24+4=-16，所以D选项错误.故选：ABC23已知抛物线C：y=4x的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，下列说法正确的是()A.若AB中点M的横坐标为3，则AB的最大值为8πB.若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为4C.设N4,0，则AN的最小值为42D.若OA⊥OB，则直线AB过定点4,0【答案】ABD【分析】对于A：利用A，B，F三点的位置与AF,BF,AB的关系及抛物线的定义求AB的最大值；对于B：利用点A，B在抛物线上及直线的斜率公式，将斜率转化为A，B两点纵坐标间的关系；对于C：利用点A在抛物线上及两点间的距离公式，将AN转化为点A纵坐标的代数式，结合二次函数的性质求AN的最小值；对于D：设直线AB的方程，与抛物线方程联立，转化为关于点A，B纵坐标的一元二次方程，结合OA⊥OB及一元二次方程根与系数的关系求解直线AB方程中的参数，确定直线AB所过的定点【详解】设AxA,yA,BxB,yB．对于选项A：若AB中点M的横坐标为3，则xA+xB=6，可得AB≤AF+BF=xA+xB+2=8，当且仅当A，B，F三点共线时，等号成立，所以AB的最大值为8，故A正确；对于选项B：若AB中点M的纵坐标为2，则yA+yB=4，yA-yByA-yB4由题意可知直线AB的斜率存在，则kAB==22==1，xA-xByAyByA+yB-44π所以直线AB的倾斜角为，故B正确；42t对于选项C：设A4,t，8 t22t4t2222则AN=4-4+t=16-t+16=4-2+12≥23，当且仅当t=±22时，等号成立，所以AN的最小值为23，故C错误；对于选项D：设直线AB的方程x=my+nn≠0，22代入抛物线y=4x，得y-4my-4n=0，2yA+yB=4m则Δ=16m+16n>0，可得，yAyB=-4n因为OA⊥OB，所以OA⋅OB=xAxB+yAyB=myA+nmyB+n+yAyB222222=m+1yAyB+mnyA+yB+n=-4nm+1+4mn+n=n-4n=0，因为n≠0，解得n=4，满足Δ>0，则直线AB的方程为x=my+4，所以直线AB过定点4,0，故D正确．故选：ABD．【跟踪训练】21过抛物线y=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，则说法正确的是()211232A.AB=x1+x2+pB.y1+y2=pC.+=D.OA⋅OB=-pAFBFp4【答案】ACD【分析】根据抛物线的定义求解判断A；当直线AB垂直于x轴时可判断B；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理计算判断CD.2pp【详解】抛物线y=2px的焦点F2,0，准线为x=-2，根据抛物线的定义，点Ax1,y1，Bx2,y2到焦点的距离分别等于其到准线的距离，pp∴|AF|=x1+,|BF|=x2+,22所以AB=|AF|+|BF|=x1+x2+p，故A正确；当直线AB垂直于x轴时，pp不妨设A2,p,B2,-p，故y1+y2=p-p=0，故B错误；当直线AB垂直于x轴时，pp11112不妨设A2,p,B2,-p，故AF=BF=p，所以|AF|+|BF|=p+p=p.p当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB:y=kx-2，k≠0，9 p22联立方程y=kx-2，可得k2x2-p(k2+2)x+kp=0，y2=2px4222222kp22所以Δ=p(k+2)-4k⋅=4p(k+1)>0恒成立，422p(k+2)px1+x2=2,x1x2=，k4pp1111x1+2+x2+2x1+x2+p+=+==-|AF||BF|pppppp2x1+2x2+2x1+2x2+2x1x2+2(x1+x2)+42p(k+2)2+p2p(2k2+2)2k===.p2pp(k2+2)p222pp(2k+2)+⋅2+42k4112综上，+=，故C正确；|AF||BF|ppp当直线AB垂直于x轴时，不妨设A2,p,B2,-p，pp3p22OA⋅OB=x1x2+y1y2=⋅-p=-，224当直线AB不垂直于x轴时，pppk2p2k222OA⋅OB=x1x2+y1y2=x1x2+kx1-2x2-2=(1+k)x1x2-2(x1+x2)+42222222ppkp(k+2)pk3p=(1+k)⋅-⋅+=-，42k2443p2综上，OA⋅OB=-，故D正确.4故选：ACD.22已知点M(-1,0)在抛物线C:y=2pxp>0的准线上，过抛物线C的焦点F作直线l交C于Ax1,y1、Bx2,y2两点，则()2A.抛物线C的方程是y=4xB.x1x2=132C.当AF=3FB时，AB=D.∠AMF=∠BMF3【答案】ABD【分析】求出p的值，可得出抛物线C的方程，可判断A选项；设直线l的方程为x=my+2，将该直线的方2程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断B选项；根据平面向量的线性运算，结合韦达定理求出m的值，再结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项；计算出直线AM、BM的斜率之和，可判断D选项.p【详解】对于A选项，抛物线C的准线方程为x=-，22p因为点M-1,0在抛物线C:y=2pxp>0的准线上，则-=-1，可得p=2，22所以抛物线C的方程为y=4x，A对；10 对于B选项，抛物线C的焦点为F1,0，若直线l与x轴重合，此时，直线l与抛物线C只有一个公共点，不合乎题意，所以直线l不与x轴重合，设直线l的方程为x=my+1，x=my+122联立2，可得y-4my-4=0，Δ=16m+16>0，则y1y2=-4，y=4x222y1y2-4所以x1x2=⋅==1，B对；4416对于C选项，因为AF=3FB，即1-x1,-y1=3x2-1,y2，则-y1=3y2，因为y1+y2=-2y2=4m，可得y2=-2m，22221则y1y2=-3y2=-3×-2m=-12m=-4，则m=，32此时，AB=x1+x2+2=my1+1+my2+1+2=my1+y2+4=4m+1116=4×+1=，C错；33y1y1y2对于D选项，kAM==，同理可得kBM=，x1+1my1+2my2+2y1y2y1my2+2+y2my1+2所以kAM+kBM=+=my1+2my2+2my1+2my2+22my1y2+2y1+y2-8m+8m===0，my1+2my2+2my1+4my2+4所以∠AMF=∠BMF，D对.故选：ABD.23已知Ax1,y1,Bx2,y2是抛物线C:y=x上不同于原点O的两点，点F是抛物线C的焦点，下列说法正确的是()1A.点F的坐标为,0,41B.AB=x1+x2+2C.若OA⊥OB，则直线AB经过定点1,0D.若点P-2,1,PA､PB为抛物线C的两条切线，则直线AB的方程为x-2y-2=0【答案】ACD【分析】根据抛物线的方程可得焦点坐标可判断A，根据焦点弦的性质可判断B，根据垂直关系得y1y2=-1，由两点坐标求解直线方程即可判断C，根据切线方程求出切点坐标，进而根据两点求解直线方程即可求解D.21【详解】因为拋物线C:y=x，故F的坐标为,0,故A正确；41由于当直线AB过焦点时，由抛物线定义可得AB=x1+x2+，但直线AB不一定过焦点，故B错误；22若OA⊥OB，故x1x2+y1y2=y1y2+y1y2=0，即y1y2=-1或y1y2=0(舍去)，11 y1-y2y1-y221y1y2因为直线AB:y=x-xx-x1+y1，即y=22x-y1+y1=y+yx+y+y，得y=12y1-y212121x-1，故直线AB经过定点1,0，故C正确；y1+y2x=my-1-22设过点P-2,1的切线方程为x=my-1-2，联立2⇒y-my+m+2=0，y=x2m所以Δ=m-4m-8=0，故m=2+23或m=2-23，所以方程的根为y=，2m1+m2故切线PA,PB方程中m分别为m1=2+23和m2=2-23，故y1+y2==2，2m1m2y1y2==-2，4y1-y221y1y21可得直线AB:y=22x-y1+y1=y+yx+y+y=2x-1，即x-2y-2=0，故D正确.y1-y21212故选：ACD.考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式2①已知AB,CD是抛物线E:y=2px(p>0)中过焦点F的两条相互垂直的弦，AB+CD存在最小值，且最小值为8p.2②已知AB,CD是抛物线E:y=2px(p>0)中过焦点F的两条相互垂直的弦，则四边形ABCD的面积的最2小值为8p.【精选例题】21过抛物线C：y=4x的焦点F作两条互相垂直的直线l1和l2，设直线l1交抛物线C于A，B两点，直线l2交抛物线C于D，E两点，则AB+DE可能的取值为()A.18B.16C.14D.12【答案】AB【分析】由题意可知直线l1，l2的斜率均存在且均不为0，所以不妨设l1的斜率为k，则l1：y=kx-1，l2：y1=-x-1，然后将两直线方程分别代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式表示出kAB,DE，再利用基本不等式可求得结果.【详解】由题意可知直线l1，l2的斜率均存在且均不为0．因为抛物线C的焦点为F1,0，1所以不妨设l1的斜率为k，则l1：y=kx-1，l2：y=-x-1．k2y=4x,2222由消去y得kx-2k+4x+k=0．y=kx-1,设Ax1,y1，Bx2,y2，22k+44则x1+x2=2=2+2．kk4由抛物线的定义，知AB=x1+x2+2=4+2．k2同理可得DE=4+4k，12 12所以AB+DE=8+4+k≥8+8=16，k212当且仅当=k，即k=±1时，等号成立，2k所以AB+DE∈16,+∞，故选：AB．222在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M与圆x+y-2x=0内切，且与直线x=-2相切，设动圆圆心M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过点F1,0作两条互相垂直的直线与曲线E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积S的最小值.2【答案】(1)y=4x；(2)32【分析】(1)利用圆和圆，圆和直线的位置关系的性质和抛物线的定义即可求解.y1+y2=4m,(2)设直线AB的方程为x=my+1，m≠0,联立方程组得，再利用抛物线的的性质求y1y2=-4,AB，同理求CD，最后利用基本不等式求解即可.22【详解】(1)设圆M的半径为r，圆x+y-2x=0的圆心F1,0，半径为1，因为圆M与圆F内切，且与直线x=-2相切，所以圆心M到直线x=-2的距离为r，因此圆心M到直线x=-1的距离为r-1，且MF=r-1，故圆心M到点F的距离与到直线x=-1的距离相等，据抛物线的定义，曲线E是以F1,0为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，2所以曲线E的方程为y=4x.(2)设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，Ax1,y1，Bx2,y2.x=my+1,2y1+y2=4m,联立方程组2整理得y-4my-4=0，故y=4x,y1y2=-4,所以AB=AF+BF=x1+1+x2+1=my1+1+1+my2+1+12=my1+y2+4=4m+4.1因为AB⊥CD，直线CD的方程为x=-y+1，m4同理可得CD=+4.2m112421所以S=AB⋅CD=4m+4⋅+4=82+m+22m2m221≥82+2m⋅=32，m213 21当且仅当m=，即m=±1时，取等号.2m所以四边形ABCD面积S的最小值为32.【跟踪训练】21已知F为抛物线C:y=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则AB+DE的最小值为【答案】16【分析】设直线l1方程，由两直线垂直可得l2方程，联立l1与抛物线方程可得根与系数关系式，利用弦长公式可得AB表达式，同理可得DE的表达式，结合基本不等式即可求得答案.2【详解】由题意知抛物线C:y=4x的焦点为F(1,0)，焦准距p=2，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则l1，l2的斜率都存在且不为0，1故设l1:y=kx-1，则直线l2:y=-x-1，k设Ax1,y1,Bx2,y2,Dx3,y3,Ex4,y4，2y=4x22222联立，则kx-2k+4x+k=0，Δ=16(k+1)>0，y=kx-12+4222k+4k则x1+x2=2，同理x3+x4=1，k2k22k+44故|AB|=x1+x2+p=2+2=4+2，kk2+42k2同理可得|CD|=x3+x4+p=+2=4+4k,12k2121故AB+DE=8+4k+≥8+4×2k×=16，k2k221当且仅当k=，即k=±1时等号成立，2k故AB+DE的最小值为16.222已知抛物线y=4x.其焦点为F，若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，则四边形ABCD面积的最小值为．【答案】32【详解】依题意知,直线m,n的斜率存在且不为0,设直线m的方程为y=k(x-1),y=k(x-1)与抛物线方程联立,得y2=4x，14 2222消去y,整理得kx-2k+4x+k=0,设其两根为x3,x4,4则x3+x4=2+2.k4由抛物线的定义可知，|AB|=2+x3+x4=2+4,k2同理可得|CD|=4k+4,12421∴四边形ABCD的面积S=4k+4⋅+4=82+k+≥32.2k2k2当且仅当k=±1时等号成立,此时所求四边形ABCD面积的最小值为32.考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式2p设直线l与抛物线y=2px相交所得的弦AB的中点坐标为x0,y0，则kAB=y0【精选例题】21已知抛物线y=2px的一条弦AB恰好以点P(1,1)为中点，弦AB的长为15，则抛物线的准线方程为()13A.x=-B.x=-1C.x=-D.x=-222【答案】B【分析】设Ax1,y1，Bx2,y2，得到x1+x2=2，y1+y2=2，结合“点差法”求得k=p，得到直线AB的方程为y=p(x-1)+1，联立方程组，利用弦长公式，列出方程，求得p=2，进而求得抛物线的准线方程．【详解】设Ax1,y1，Bx2,y2，弦AB所在直线方程为y=k(x-1)+1，则x1+x2=2，y1+y2=2，22y1=2px1也点A，B在抛物线y=2px上，可得2，y2=2px2y1-y2两式相减可得y1+y2y1-y2=2px1-x2，所以=p，即k=p，x1-x2所以弦AB所在直线的方程为y=p(x-1)+1，y=px-1+12222联立方程组2，整理得px-2px+(1-p)=0，y=2px2(1-p)可得x1+x2=2，x1x2=2，p22222(1-p)所以AB=1+px1+x2-4x1x2=1+p⋅2-4×2=15，p4232所以1+p(2p-1)=15，即8p-19p+8p-4=0，2p2可得(p-2)8p-3p+2=0，解得p=2，所以抛物线的准线方程为x=-1．故选：B．15 22直线y=kx-2与抛物线y=8x交于A,B两点，AB中点的横坐标为2，则k为()A.-1B.2C.-1或2D.以上都不是【答案】B2y1=8x1y2-y1【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，得到x1+x2=4，求得y1+yy=4k-4，再由2，两式相减，得到=y2=8x2x2-x188，得出方程k=，即可求解.y1+y24k-4【详解】设A(x1,y1),B(x2,y2)，因为AB中点的横坐标为2，则x1+x2=4，可得y1+yy=k(x1+x2)-4=4k-4，2y1=8x1y2-y18又由2，两式相减得到(y2-y1)(y1+y2)=8(x2-x1)，可得=，y2=8x2x2-x1y1+y28可得k=，解得k=-1或k=2，4k-4y=kx-222联立方程组2，整理得kx-(4k+8)x+4=0，y=8x22由Δ=(4k+8)-16k=64k+64>0，解得k>-1，所以k=2.故选：B.23直线l过抛物线y=4x的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，线段AB中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线AB的距离为()25352A.B.C.5D.555【答案】A【分析】设Ax1,y1，Bx2,y2，代入抛物线方程，两式相减后结合线段AB中点的纵坐标得出kAB，再结合焦点F的坐标得出直线AB的方程，由点到直线距离公式计算即可．2【详解】由抛物线y=4x得焦点F(1,0)，2y1=4x1设Ax1,y1，Bx2,y2，则2，y2=4x222y1-y24两式相减得y1-y2=4(x1-x2)，即=，x1-x2y1+y2因为线段AB中点的纵坐标为1，即y1+y2=2，y1-y2所以=2，即kAB=2，x1-x2所以直线AB的方程为y=2(x-1)，即2x-y-2=0，显然此时直线与抛物线有两交点，-225所以O到直线AB的距离d==，55故选：A．【跟踪训练】16 21已知直线l与抛物线C:y=2x相交于A,B两点，若线段AB的中点坐标为1,4，则直线l的方程为()A.4x-y=0B.2x-y=0C.8x-y-6=0D.x-2y+3=0【答案】A【分析】利用点差法可求得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，2y1=2x122由2得：y1-y2=2x1-x2=2x1+x2x1-x2，y2=2x2∵线段AB的中点为1,4，∴x1-x2≠0，x1+x2=2，y1-y2∴=2x1+x2=4，即直线l的斜率为4，x1-x2∴直线l的方程为：y-4=4x-1，即4x-y=0.故选：A.22已知抛物线y=2pxp>0的焦点为F，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满足BF-AF=4，AB=42.若线段AB中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为.2【答案】y=8x【分析】先根据焦半径公式得到x1,x2的关系，然后根据弦长公式求解出kAB，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出p的值，则抛物线方程可求.【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，因为BF-AF=4，pp所以x2+2-x1+2=4，所以x2-x1=4，22又因为AB=1+kAB×x1-x2=42，所以kAB=1，因为A,B都在第一象限，所以kAB=1，y2-y1y2-y12p又因为kAB==22==1且y1+y2=4×2=8，x2-x1y2y1y1+y2-2p2p2所以2p=8，所以p=4，所以抛物线方程为y=8x，2故答案为：y=8x.23已知抛物线C:y=4x，过点P1,1的直线交抛物线C于A、B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为.【答案】y=2x-1【分析】设出A，B的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求出直线的斜率，再利用点斜式方程即可得到结论.【详解】设Ax1,y1，Bx2,y2，由题意x1≠x2，17 22因为A，B在抛物线上，所以y1=4x1，y2=4x2，两式相减得，22y1-y24y1-y2=4x1-x2，整理得，=，x1-x2y1+y24即直线AB的斜率k=，y1+y2∵直线AB的中点为P1,1，y1+y2∴=1，2∴k=2，所以直线AB的方程为y-1=2x-1，化简得y=2x-1.故答案为：y=2x-1.考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题2设AB是过抛物线y=2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①以弦AB为直径的圆与准线相切．②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.【精选例题】21已知A,B是抛物线C:y=6x上的两动点，F是抛物线的焦点，下列说法正确的是()A.直线AB过焦点F时，以AB为直径的圆与C的准线相切B.直线AB过焦点F时，AB的最小值为6C.若坐标原点为O，且OA⊥OB，则直线AB过定点3,03D.与抛物线C分别相切于A,B两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点,0，则点N在抛物2线C的准线上【答案】ABD3【分析】对于A：根据抛物线的定义分析判断；对于B：设AB方程为x=my+，联立方程，根据抛物线的222y1y2定义结合韦达定理分析求解；对于C：设AB方程为x=my+a，设A,y1，B,y2，联立方程，根据662y0垂直关系可得y1y2=-36，结合韦达定理分析求解；对于D：可知抛物线C在点,y0处的切线方程为x62y0y0=y-，根据切线方程求交点坐标，结合选项B分析判断.36【详解】对于选项A：如图1，设AB中点为M，分别过点A,B,M向准线作垂线，垂足为A1,B1,M1，则由抛物线的定义可得，AF=AA1，BF=BB1.18 AA1+BB1AF+BFAB因为AB中点为M，所以有MM1===，222所以以AB为直径的圆与C的准线相切，故A正确；23对于选项B：由抛物线C:y=6x，可得F,0，23由题意可知直线AB斜率不为0，设AB方程为x=my+，设Ax1,y1，2Bx2,y2，x=my+3联立直线与抛物线的方程2，消去x可得y2-6my-9=0，y2=6x22则Δ=-6m+36=36m+36>0恒成立。可得y1+y2=6m，y1y2=-9，332则x1+x2=my1++my2+=6m+3，222所以AB=x1+x2+p=6m+6当且仅当m=0时，AB取到最小值6，故B正确；22y0y0y0对于选项D：先证抛物线C在点,y0处的切线方程为x=y-，6362y0y0联立方程x=3y-6，消去x得y2-2yy+y2=y-y2=0，000y2=6x2y0y0可知方程组只有一个解，即直线x=y-与抛物线C相切，3622y1y1y2y2可知抛物线C在点A,B处的切线方程分别为x=y-，x=y-，36362y1y1y1y2x=3y-6x=6y1y2y1+y2联立方程yy2，解得y1+y2，即点N,，x=2y-2y=62362y1y2-93结合选项B可得：==-，6623所以点N在抛物线C的准线x=-上，故D正确；2对于选项C：由题意可知直线AB斜率不为0，设AB方程为x=my+a，22y1y2设A,y1，B,y2，y1y2≠0，66y2y212则OA=,y1，OB=,y2，66y2y212若OA⊥OB，则OA⋅OB=+y1y2=0，解得y1y2=-36或y1y2=0(舍去)，36x=my+a2联立直线与抛物线的方程2，消去x可得y-6my-6a=0，y=6x则y1y2=-6a=-36，解得a=6，19 22此时Δ=-6m+4×36=36m+144>0，符合题意，所以OA⊥OB，则直线AB过定点6,0，故C错误；故选：ABD.22已知抛物线y=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(其中点A在x轴上方)，则()11A.+=1B.弦AB的长度最小值为lAFBFC.以AF为直径的圆与y轴相切D.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切【答案】ACD【分析】由弦长公式计算可得选项A、B；C、D选项，可以利用圆的性质，圆心到直线的距离等于半径判定直线与圆相切.【详解】由题，焦点F1,0，设直线l:x=ty+1,Ax1,y1,Bx2,y2,y1>0,y2<0,x=ty+122联立2⇒y-4ty-4=0,Δ=16t+16>0，y=4xy1+y2=4t,y1y2=-4，222222|AF|=x1-1+y1=ty1+y1=|y1|⋅t+1，2同理可得，|BF|=|y2|⋅t+1，211|AF|+|BF|t+1|y1|+|y2|+==2AFBF|AF|⋅|BF|t+1|y1y2|y-y(y+y)2-4yy21212124t+1====1，故A选项正确；2224t+14t+14t+122|AB|=|AF|+|BF|=t+1|y1|+|y2|=t+1y1-y2222=t+1y1+y2-4y1y2=4t+1≥4，故弦AB的长度最小值为4，B选项错误；x1+1y1x1+1x1+1记AF中点M2,2，则点M到y轴的距离为d=2=2，1由抛物线的性质，|AF|=x1+1,d=|AF|，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C选项正确；2x1+x2y1+y2|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2，记AB中点N2,2，x1+x2x1+x2+2|AB|则点N到抛物线的准线的距离d=+1==，故以AB为直径的圆与抛物线的准线222相切，D选项正确.故选：ACD.【跟踪训练】24设O是坐标原点，直线y=kx-2k>0经过抛物线C：y=2px的焦点F，且与C交于A，B西20 点，△OAF是以OF为底边的等腰三角形，l是抛物线C的准线，则()A.以AB直径的圆与准线l相切B.k=2C.BF=2FAD.△OAB的面积是62【答案】ACD【分析】根据抛物线的定义及直线与圆的位置关系判断A；由条件求得A,B的坐标，利用斜率公式判断B；根据向量的坐标运算判断C；根据三角形面积公式求解判断D.【详解】直线y=kx-2k>0与x轴的交点为2,0，即焦点F2,0，p2则=2,p=4，故抛物线C的方程y=8x，2设Ax1,y1,Bx2,y2，由题意可知A点在第四象限，B点在第一象限，设AB的中点M，过M作MN⊥l，垂足为N，过A作AA⊥l，垂足为A，过B作BB⊥l，垂足为B，111则MN=AA+BB=AF+BF=AB，222则以AB直径的圆与准线l相切，故A正确；∵△OAF是以OF为底边的等腰三角形，∴x1=1，得A1,-22，y=kx-22222联立2，得kx-4k+8x+4k=0，y=8x易知Δ>0，则x1x2=4，则x2=4，得B4,42，42+22k=kAB==22，故B错误；4-1∵BF=-2,-42,FA=-1,-22，∴BF=2FA，故C正确；11△OAB的面积为S=OFy1-y2=×2×-22-42=62，故D正确.22故选：ACD.25已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点F在直线l:y=kx-k上，直线l与抛物线交于点A,B(O为坐标原点)，则下列说法中正确的是()A.p=2B.准线方程为x=-2C.以线段AB为直径的圆与C的准线相切D.直线OA､OB的斜率之积为定值【答案】ACDp【分析】由直线l过定点(1,0)，得到=1，可判定A正确；根据抛物线的几何性质，可得判定B错误；过A,2B,D点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到AB=AA1+BB1=2DD1，可判定C正确；联立方程组，y1y2-4结合韦达定理，得到x1x2=1，求得=，可判定D正确.x1x2x1x221 【详解】对于A中，由直线y=kx-k，可化为y=k(x-1)，可得直线l过定点(1,0)，2p因为抛物线C:y=2px的焦点F在直线l上，可得=1，则p=2，所以A正确；22对于B中，由抛物线C:y=4x的准线方程为x=-1，所以B错误；对于C中，过A,B点作准线的垂线，垂足分别为A1,B1，AB的中点为D点，过D点作准线的垂线，垂足为D1，可得AB=AA1+BB1=2DD1，所以C正确；y=kx-k对于D中，设Ax1,y1,Bx2,y2，联立方程组y2=4x，2222y1y2-4x1x2-4整理得kx-4+2kx+k=0，可得x1x2=1，则===-4，x1x2x1x2x1x2所以D正确.故选：ACD.考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论2p①知识要点：如图，假设抛物线方程为x=2py(p>0)，过抛物线准线y=−上一点P2(x0,y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A,B，其坐标为(x1,y1),(x2,y2).则以点P和两切点A,B围成的三角形PAB中，有如下的常见结论:结论1.直线AB过抛物线的焦点F.y0+y结论2.直线AB的方程为x0x=2p=p(y0+y).2结论3.过F的直线与抛物线交于A,B两点，以A,B分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点P(x0,y0)的轨迹即为抛物线的准线.证明：过A点的切线方程为x1x=p(y1+y)，过B点的切线方程为x2x=p(y2+y)，x1y+y1x2y1−x1y2x1x2p两式相除可得：=⇒y=⇒y==−.这就证明了该结x2y+y2x1−x22p2论.结论4.PF⊥AB.22 px0y0−2证明：由结论3，kAB=，kPF=.px0px0y0−2y01那么kAB⋅kPF=⋅=−=−1.px0p2结论5.AP⊥PB.x1x2x1x2x1⋅x22证明：kAP=,kBP=,则kAP⋅kBP=⋅=2.由抛物线焦点弦的性质可知x1x2=−p，代入上式pppppx1⋅x2即可得kAP⋅kBP=2=−1，故AP⊥PB.p结论6.直线AB的中点为M，则PM平行于抛物线的对称轴.x1+x2x1x2证明：由结论3的证明可知，过点A,B的切线的交点P在抛物线准线上.且P的坐标为,，显22p然PM平行于抛物线的对称轴.【精选例题】21已知抛物线C：x=2py，(p>0)的焦点为F，Mx,yx>0为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为3，则直线FM的斜率为()3333A.B.C.D.2345【答案】B212p11【详解】∵x=2py，∴y=2px，F0,2，∴y=px，由题意知，pxM=3，解得：xM=3p，3p-1p2233223又∵M在x=2py上，∴(3p)=2pyM，解得：yM=2p，∴M3p,2p，∴kMF==3.3p-0故选：B.22设抛物线C：y=6x的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线l1，l2，若l1与l2交于点P，且满足PF=23，则AB=()A.5B.6C.7D.8【答案】D2p333【详解】y=6x,2p=6,=,∴F,0，设直线AB的方程为x=my+，显然m222223是存在的，设Ax1,y1,Bx2,y2，显然y1≠0,y2≠0，求导：y=6x,∴y=，y333x1在A点处的切线方程l1y-y1=x-x1,∴y=x-+y1,y1y1y12y13y1∵x1=,∴y=x+⋯①，6y1223 23y1y=6x同理可得在B点处的切线方程l2为：y=x+；联立方程3，y22x=my+23y122y=y1x+23xy2-y1解得y-6my-9=0，Δ=36m+36>0，∴y1y2=-9，联立方程3y解得+y=x+2y1y2y221y1y23332y1-y2=0，∵y1≠y2,y1-y2≠0,∴x=6=-2，即P点在准线x=-2上，设P-2,t，∵PF2223=3+t=23,∴t=3,t=±3，考虑抛物线关于x轴对称，不妨取t=3，代入①得：3=×y13y19-2+2，解得y1=33或y1=-3，由图可知y1=33,y2=-3，再代入抛物线方程得x1=2,x2122=，∴AB=x1-x2+y1-y2=8；故选：D.223(多选题)已知抛物线y=x的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线于A，B两点，B在第一象限，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，且l1，l2相交于点P，若BP交x轴于点Q，则下列说法正确的有()πA.点P在抛物线的准线上B.∠APB=33AF1C.FQ⊥BQD.若k=，则的值为3FB3【答案】ACD1【详解】由题意知F0,，412212故l：y=kx+，与抛物线y=x联立，可得x-kx-=0，则Δ=k+1>0，442212设Ax1,x1，Bx2,x2，则x1x2=-．对于A，由抛物线y=x可得y=2x，所以直线l1的斜率k1=2x1，则422直线l1的方程为y-x1=2x1x-x1，同理可得直线l2的方程为y-x2=2x2x-x2，联立解得x1+x2P2,x1x2．2211x1-x1x2x2-x1x2又x1x2=-，故点P在抛物线的准线y=-上，故A正确；对于B，kAP⋅kBP=⋅=44x1+x2x1+x2x1-2x2-2π124x1x2=-1，故∠APB=，故B错误；对于C，直线l的方程为y=kx+，则Bx2,x2，直线l2的方程为y242-x2=2x2x-x2，1-0x241可得Q,0,所以kFQ=x=-,kBQ=kl2=2x2，故kFQ⋅kBQ=-1,则FQ⊥BQ，故C正确；20-22x22331231对于D，由k=，直线l的方程为y=x+，与抛物线联立可得x-x-=0，33434333133解得x1=-6,x2=2，则A-6,12,B2,4，24 p111p31AF1则AF=y1+=+=，FB=y2+=+=1得=，故D正确．21243244FB3故选：ACD.24已知抛物线C:x=4y的焦点为F，过F的直线l倾斜角为60°，交C于A,B两点，过A,B两点分别作C的切线l1，l2，其交点为P，l1，l2与x轴的交点分别为M,N，则四边形PMFN的面积为.【答案】4【详解】如图，设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)，易知过A,B两点的抛物线C的切线l1，l2斜率均存在，不妨设l1:y-y1=k1(x-x1)，l2:y-y2=k2(x-x2)，联立y-y=k(x-x)22111，消y得到x-y=k(x-x)，即x-kx+kx-y=0，21111111x=4y442222x1x1所以Δ=k1-k1x1+y1=0，又x1=4y1，所以k1-k1x1+=0，得到k1=，422x1x1xx1x1x所以l1:y-y1=(x-x1)，即-y-+y1=0，也即-y-y1=0，同理2222x2xx1x0x2x0可得直线l2为-y-y2=0，又因为直线l1与l2交于P(x0,y0)，所以可得-y0-y1=0，-y0222x0-y2=0，从而得到直线AB的方程为x-y-y0=0，又因为直线AB过焦点且倾斜角为60°，所以得到x02x1=23,y0=-1，即P(23,-1)，且直线直线AB的方程为3x-y-1=0又由y-y1=(x-x1)，令y=2x1x1x2xx2x20，得到x=2，即M2,0，由2-y-y2=0，令y=0，得到x=2，即N2,0，又由3x-y-1=022，消y得到x-43x-4=0，由韦达定理得x1+x2=43,x1x2=-4，所以x1-x2=x=4y2(x1+x2)-x1x2=48+16=8，又易知F(0,1)，所以四边形PMFN的面积为S=S△FMN+S△PMN=111MNyF+MNyP=x1-x2×1=4，故答案为：4.222【跟踪训练】21已知抛物线x=4y的焦点为F，若抛物线上一点P满足PF=5，则过点P的切线方程为()A.2x-y-4=0或3x-4y+4=0B.2x-y-4=0或2x+y+4=0C.2x+y+4=0或3x+4y+4=0D.3x-4y+4=0或3x+4y+4=0【答案】B25 【详解】由已知得F0,1，准线方程为y=-1.设Pm,n，P点到准线距离为d.则由抛物线定义有PF=21d=n+1=5，即n=4.将n=4代入x=4y得，m=±4，所以P±4,4.注意到y=x，则当P的坐标为214,4时，过点P的切线斜率为k=×4=2，所以过点P的切线方程为y=2x-4，即2x-y-4=0，21当P的坐标为-4,4时，过点P的切线斜率为k=×-4=-2，所以过点P的切线方程为y=-2x-24，即2x+y+4=0，综上，过点P的切线方程为2x-y-4=0或2x+y+4=0．故选：B22(多选题)设抛物线C：y=x的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则()A.PQ⊥x轴B.PF⊥ABC.∠PFA=∠PFBD.AF+BF=2PF【答案】ACx1+x2y1+y22【详解】对于A选项：设Ax1,y1,Bx2,y2,Px0,y0,Q2,2,y=x,y=2x,过点A切线为：y-22y1=2x1x-x1①,过点B切线为:y-y2=2x2x-x2②,①-②得y1-y2=2x1x-2x2x,化简可得x1-x2x1+x21=2xx1-x2,x0=2，PQ⊥x轴,A选项正确.设A0,0,B1,1,F0,4,过A点的切线为y=0,过1111B点的切线为y-1=2x-1,交点为P2,0,AB的中点为Q2,2，所以kPF=-2,kAB=1,kPFkAB≠21223231212-1,PF不垂直AB,B选项错误；AF+BF=0+4+1+4=2,2PF=22+4=5,所AF+BF≠2PF,D选项错误;2pp作抛物线准线的垂线AA,BB,连接AP,BP,PF,AF,BF,F0,2,Ax1,-2,kPA=yx=x1px1则kFA=-,kPA=,显然kFA⋅kPA=-1,,所以FA⊥PA,又因为由抛物线定义,得AA=AF,故知x1pPA是线段FA的中垂线,得到PA=PF则∠PAA=∠PFA，同理可证：PB=PF,∠PBB=∠PFB，所以PA=PB=PF，即∠PAB=∠PBA,所以∠PAA=∠PAB+90°=∠PBA+90°=∠PBB,即∠PFA=∠PFB.故选:AC.2223已知抛物线C:x=2pyp>0的焦点为F，且F与圆M:x+y+4=1上的点的距离的最小值4．(1)求p；26 (2)若点P在圆M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求△PAB面积的最大值．【答案】(1)2；(2)20522p【详解】(1)圆M:x+y+4=1的圆心M0,-4，半径r=1，由点F0,2到圆M上的点的距离的最小值p为FM-1=+4-1=4，解得p=2；222xx(2)抛物线C的方程为x=4y，即y=，对该函数求导得y=，设点Ax1,y1、Bx2,y2、Px0,y0，42x1x1x直线PA的方程为y-y1=x-x1，即y=-y1，即x1x-2y1-2y=0，同理可知，直线PB的方程为22x1x0-2y1-2y0=0x2x-2y2-2y=0，由于点P为这两条直线的公共点，则，所以点A、B的坐标满足方程x2x0-2y2-2y0=0x0x-2y-2y0=02x0x-2y-2y0=0，所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0，联立x2，可得x-2x0x+4y0y=4=0，x02222由韦达定理可得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，所以AB=1+⋅x1+x2-4x1x2=x0+4x0-4y0，222x0-4y01122x0-4y0点P到直线AB的距离为d=，所以S△PAB=AB⋅d=x0+4x0-4y0⋅=x2+422x2+4003122x0-4y0，22222∵x0-4y0=1-y0+4-4y0=-y0-12y0-15=-y0+6+21，由已知可得-5≤y0≤-3，312所以当y0=-5时，△PAB的面积取最大值×20=205.221已知抛物线C：y=2px(p>0)，过点P3,0且垂直于x轴的直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为9，则p=()35A.B.2C.D.322【答案】A【分析】将x=3代入抛物线方程，求出线段AB长，结合三角形面积求解即得.27 2【详解】将x=3代入y=2px，得y=±6p，由对称性不妨设A在x轴上方，则点A3,6p，B3,-6p，AB=6p--6p=26p，OP=3，113因此S△OAB=ABOP=×26p×3=9，所以p=.222故选：A22已知O为坐标原点，过抛物线C:y=8x焦点F的直线与C交于A，B两点，若|AF|=|AO|，则|AB|=()A.5B.9C.10D.18【答案】B【分析】由|AF|=|AO|及抛物线方程可求出A点坐标，从而得直线AB的方程，联立抛物线和直线方程，结合韦达定理求出x1+x2，由抛物线定义可得结果.2【详解】如图：由抛物线C:y=8x可知焦点坐标F2,0，取线段OF中点D，即D1,0，又|AF|=|AO|，所以AD⊥OF,故设A1,y0，因点A在抛物线上，得y0=±22，根据对称性取y0=22，又因直线AB过焦点F，所以直线AB的方程为：y=-22x-2，2y=8x2联立，得x-5x+4=0①，y=-22x-2设Ax1,y1,Bx2,y2，则x1,x2为①式两根，所以x1+x2=5，由抛物线定义可知AB=x1+x2+p=5+4=9，故选：B.23已知抛物线Γ:y=2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为k的直线l交抛物线于A,B两点，若AF=3BF，则k=()28 33A.B.±C.3D.±333【答案】D【分析】根据题意，作出抛物线与直线AB的图像，利用抛物线的定义将曲线上的点到焦点的距离转化为曲线上的点到准线的距离，借助几何图形可判断直线AB的倾斜角，从而可得答案．【详解】如图，当点A在第一象限时，过点A,B分别向准线作垂线，垂足为M,N，作BC⊥AM，垂足为C，则BN⎳AM⎳x轴，设BF=t(t>0)，则AF=3t，AB=4t，由抛物线的定义得BN=BF=t,AM=AF=3t，则有AC=2t，在Rt△ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为k值，1AC=AB，∠ABC=30°，∴∠BAC=60°，2于是直线l的倾斜角为60°，斜率k=3．当点A在第四象限时，根据抛物线的对称性可得斜率为-3.故选：D．234已知抛物线y=4x与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦AB的中点M的横坐标为，则弦2AB的长|AB|=【答案】5【分析】根据题意设AB:x=ty+1，联立抛物线及韦达定理，结合弦中点横坐标求参数t，最后应用弦长公式求|AB|即可.【详解】由题意抛物线焦点F(1,0)，且直线AB斜率不为0，设AB:x=ty+1，2联立抛物线得y-4ty-4=0，Δ>0，故yA+yB=4t，yAyB=-4，321所以xA+xB=t(yA+yB)+2=2×=3，即t=，242225则|AB|=1+t⋅|yA-yB|=1+t⋅(yA+yB)-4yAyB=×4+16=5.2故答案为：55已知抛物线C的顶点为坐标原点，准线为x=-1，直线l与抛物线C交于M,N两点，若线段MN的中点为1,1，则直线l的方程为．【答案】2x-y-1=029 【分析】由题意可求得抛物线的方程，设Mx1,y1,Nx2,y2，由“点差法”求出直线l的斜率，再由点斜式方程即可得出答案.【详解】因为抛物线C的顶点为坐标原点，准线为x=-1，2所以易得抛物线的方程为y=4x，设Mx1,y1,Nx2,y2，因为线段MN的中点为Q1,1，故x1+x2=2,y1+y2=2，2y1=4x1则x1≠x2，由2，y2=4x222y1-y24两式相减得y1-y2=4x1-x2，所以==2，x1-x2y1+y2故直线l的方程为y-1=2x-1，即2x-y-1=0．故答案为：2x-y-1=0.26已知抛物线C:y=6x，过P3,2的直线l交抛物线C于A,B两点，且PA=PB，则直线l的方程为.【答案】3x-2y-5=0【分析】根据中点坐标以及点差法即可求解斜率，进而由点斜式求直线方程.【详解】因为P3,2在抛物线C内部，又PA=PB，所以P是AB的中点.y1+y2设Ax1,y1,Bx2,y2，所以=2，即y1+y2=4，2又Ax1,y1,Bx2,y2在抛物线C上，22y1-y2所以y1=6x1,y2=6x2，两式作差，得y1+y2=6，x1-x2y1-y23所以=，x1-x223所以直线l的方程为y-2=x-3，即3x-2y-5=0.2故答案为：3x-2y-5=0π27已知倾斜角为的直线l经过抛物线C：y=2px(p>0)的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点3(点A在第一象限)，与抛物线C的准线m交于点D，则()A.以AF为直径的圆与y轴相切B.准线m上存在唯一点Q，使得QA⋅QB=0BDAFC.BF=2D.BF=2【答案】ABC【分析】由抛物线的定义和过焦点的直线确定A；由过焦点的线段的长度和准线确定B；由抛物线与直线的关系解三角形确定CD.30 px1py1【详解】对于A：设Ax1，y1，Bx2，y2，F2，0，AF的中点为2+4，2，px1p1由抛物线的定义，得AF=x1+，AF的中点到y轴的距离为+=AF，2242故以AF为直径的圆与y轴相切，故A正确；x1+x2p1对于B：AB=AF+BF=x1+x2+p，AB的中点到准线的距离为+=AB，222因此以AB为直径的圆与准线相切，故准线m上存在唯一点Q，使得QA⋅QB=0，故B正确；对于C、D：如图所示，π过点A，B作准线m的垂线，垂足分别为点E，M，由倾斜角为，3π可得∠MDB=，设BF=s，则BM=s，6BMπ因为sin∠MDB==sin，BD6BD所以BD=2s，=2，故C正确；BF设AF=t，则AE=t，AEtπ因为sin∠MDB===sin，ADt+s+2s6AF所以t=3s，所以AF=3s，所以=3，故D错误．|BF∣故选：ABC．28(多选题)已知抛物线C：x=2pyp>0的焦点为F，过F作直线l与抛物线C交于A、B两点，分别1以A、B为切点作抛物线C的切线，两切线交于点T，设线段AB的中点为M．若点T的坐标为2,-，2则()A.点M的横坐标为2B.点M的纵坐标为3C.直线l的斜率等于2D.TM=5【答案】ACD2p【详解】抛物线C：x=2pyp>0，直线AB：y=kx+b，b=2，设A:x1,y1,B:x2,y2显然当x1=x2时，根据对称性易得T点位于x轴上，不合题意，2xxxx11故x1≠x2，且均大于0，y=⇒y=，kAT=，AT:y-y1=(x-x)，2pppP2整理：p(y-y1)=x1x-x1=x1x-2py1，得：AT:py+y1=x1⋅x，①y1-y2同理BT:py+y2=x2⋅x，②，①-②：p(y1-y2)=x(x1-x2)，xT=p=pk,x1-x231 ①y+y1x1y1x2-y2x1kx1+bx2-kx2+bx1bx2-x1:=⇒y====-b,②y+y2x2x1-x2x1-x2x1-x2p又因为直线y=kx+b，b=，21122由此知：p=，故x=2y；因为x=2y，所以y=x设交点A(x1,y1),B(x2,y2)，22过点A的切线斜率为k1=x1，所以切线方程为y-y1=x1(x-x1)，整理得y-y1=x1x-2y1，即y=x1x-y1，同理，过点B的切线的方程y=2x+112为y=x2x-y2，又点T在直线上，代入得AB直线方程：y=2x+,故选项C正确；由消去2x2=2y2y整理得x-4x-1=0，因为直线与抛物线相交，设Ax1,y1,Bx2,y2，则x1+x2=4,x1x2=-1,，1故点M的横坐标x=x1+x2=2,故A正确，2119因为点M的横坐标x=x1+x2=2,所以y=2×2+=,2222912TM=2-2+2+2=5，故选项B错误，D正确；故选：ACD32