福建部分优质高中2023-2024学年高一下学期入学质量抽测数学试卷+答案

2023-2024学年第二学期福建省部分优质高中高一年级入学质量抽测数学试卷（考试时间：120分钟；总分：150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.cos(−°=210)（）3311A.B.−C.D.−22222.数学符号的使用对数学的发展影响深远，“=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”，便于不等式的表示，则命题p：∀x，y∈R，333(xyxy+>+)的否定为（）333333A.∀x，y∈R，(xyxy+<+)B.∃x，y∈R，(xyxy+>+)333333C.∃x，y∈R，(xyxy+<+)D.∃x，y∈R，(xyxy+≤+)3.已知下列表格表示的是函数yfx=()，则ff(−+12)()的值为（）x−3−2−10123y−1−5−20214A.−2B.−1C.0D.14.在罗贯中所著的《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一，东汉建安十三年（公元208年），曹操率二十万众顺江而下，周瑜、程普各自督领一万五千精兵，与刘备军一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大败曹军.第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.某校高一5班有学生50人，为迎接国庆节的到来，班级组织了两个活动，其中A活动参与的人数有30人，B活动参与的人数有25人，由于个人原因有5人两个活动都没有参与，则该班仅参与一个活动的人数为（）A.40B.35C.30D.2526.函数fxxxa()=(+)，若ff(120)⋅<()，则f(−1)，f(1)，f(2)的大小关系是（）A.fff(−<112)()<()B.fff(112)<−<()()C.fff(−<121)()<()D.fff(211)<−<()()学科网（北京）股份有限公司 ππ7.如图直角坐标系中，角αα0<<、角ββ−<<0的终边分别交单位圆于A、B两点，若B点2253ααα1的纵坐标为−，且满足S=，则sin3cos−+sin的值为（）△AOB1342222512125A.−B.−C.D.131313138.某企业从2011年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业2011年至2021年的年产值（万元）.为了描述该企业年产值y（万元）与新政策实施年数x（年）的关系，现有以下三种函数模型：xy=kxb+，y=ka（a>0，且a≠1），yk=logxb+（a>0，且a≠1），选出你认为最符合实际的a函数模型，预测该企业2024年的年产值约为（）年份20112012201320142015201620172018201920202021年产值278309344383427475528588655729811A.924万元B.976万元C.1109万元D.1231万元二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知函数fx()=sinx−3cosx，则（）A.fx()的最大值为2πB.函数yfx=()的图象关于点,0对称3πC.直线x=是函数yfx=()图象的一条对称轴3πD.函数yfx=()在区间−,0上单调递增210.德国数学家康托尔是集合论的创立者，为现代数学的发展作出了重要贡献.某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间[0,1]上的函数fx()，且满足：①任意01≤<≤xx，fx()≤fx()；②1212xfx()=2f；③fxf()+−=(11x)，则（）4学科网（北京）股份有限公司 11A.fx()在[0,1]上单调递增B.fx()的图象关于点,对称22111151C.当x=时，fx()=D.当x∈,时，ffx(())=164161621111.设x∈R，当n−≤<+xn(n∈Z)时，规定xn=，如1.5=2，−=0.20.则下列选项正确的是22（）A.abab+≤+（a，b∈R）2B.nn++=+∈1nn1(N*)C.设函数yxx=2sin+2cos的值域为M，则M的子集个数为51211112120221D.xx−+−++−+x++−+x=2023x−22202322023220232三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。b12.已知10a=2，10b=3，则2a=________.13.为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，某校积极开展社团活动，高一（1）班参加A社团的学生有21人，参加B社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人，另外还有3个人既不参加A社团也不参加B社团，那么高一（1）班总共有学生人数为________.π14.已知fx()不是常数函数，且满足：fxfx()+−=()0，fx+=−fx().2①请写出函数fx()的一个解析式________；22−+−aa23②将你写出的解析式fx()+logx+−+1x得到新的函数hx()，若hh(−+333)()=−，2()2则实数a的值为________.（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。215.（13分）已知关于x的不等式x+−<mxn0的解集为{xx−<<21}.（1）求实数m，n的值；mn（2）若正实数a，b满足+=2，求manb+的最小值.ab2(ax−1)16.（15分）已知函数fx()=（a>0，a≠1）.21+x（1）判断函数fx()的奇偶性，并说明理由；学科网（北京）股份有限公司 （2）讨论函数fx()在(1,+∞)上的单调性，并加以证明.17.（15分）已知函数fx()=−+ln1(xk)ln1(+x).请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题.条件①：fxfx()+−=()0；条件②：fxfx()−−=()0.（注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分）.（1）求实数k的值；k（2）设函数Fx()=−+(11x)(x)，判断函数Fx()在区间(0,1)上的单调性，并给出证明；k（3）设函数gx()=fxx()++2k，指出函数gx()在区间(−1,0)上的零点个数，并说明理由.π2xx218.（17分）设函数fx()=cosx，gx()=lnx，hx()=−−ee1.35（1）求函数yfx=()在(0,10)上的单调区间；（2）若∀∈x(0,3)，∃∈−∞xa(,)，使fx()=hx()成立，求实数a的取值范围；1212（3）求证：函数φ(x)=fxgx()−()在(0,+∞)上有且只有一个零点x，并求hgx(())（[x]表示不超005过x的最大整数，如[2.7]=2，[−=3.2]−4）.（参考数据：6≈2.449，ln≈0.223）.419.（17分）有如下条件：①对∀∈xt(0,)，i=1，2，xx<，均有fx()<fx()；i1212②对∀∈xt(0,)，i=1，2，xx<，均有fx()>fx()；i1212③对∀∈xt(0,)，i=1，2，3，xxx++=π；若xxx<<，则均有fxfxfx(222)<<()()；i123123123④对∀∈xt(0,)，i=1，2，3，xxx++=π；若xxx<<，则均有fxfxfx(222)>>()().i123123123π（1）设函数fx()=sinx，t=，请写出该函数满足的所有条件序号，并充分说明理由；2πcosxsinxsinx（2）设x∈0,，比较函数fx()=(sinx)，gx()=(cosx)，hx()=(sinx)值的大小，并说4明理由；sinx（3）设函数fx()=，满足条件②，求证：t的最大值t≥π.（注：导数法不予计分）maxx学科网（北京）股份有限公司 2023~2024学年第二学期福建省部分优质高中高一年级入学质量抽测数学试卷参考答案阅卷说明：参考答案是用来说明评分标准的。如果考生的答案、方法、步骤与本参考答案不同，但解答科学合理的同样给分。有错的，根据考生错误的性质参考评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。题号12345678答案BDBBBACC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。注意：全部选对的得6分，第9题选对其中一个选项得2分，第10、11题选对其中一个选项得3分。有错选的得0分。题号91011答案ABBCDBD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.313.3514.yx=sin2（答案不唯一，形如yAx=sin2，yAx=tan，是周期为π的奇函数均可）；0或2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本题满分13分，第一小题6分，第二小题7分）2解：（1）因为关于x的不等式x+−<mxn0的解集为{xx−<<21}，2所以x=−2，x=1是方程x+−=mxn0的两根，−+=−21m由韦达定理得，解得m=1，n=2；−×=−21n12（2）由（1）得+=2，ab112122ba122ba9则man+=+=+babab2(2)+=++≥+552⋅=，2ab222abab22ba3当且仅当=，即ab==时取等号，ab29所以ab+2取得最小值.216.（本题满分15分，第一小题6分，第二小题9分）学科网（北京）股份有限公司 2(ax−1)解：（1）fx()=为奇函数，理由如下：21+x2(ax−1)fx()=的定义域为R，21+x222−−(axax11)−−()(ax−1)又fx(−=)==−fx()，故fx()=为奇函数；2221+−(x)1+x1+x2(ax−1)（2）当a>1时，fx()=单调递减，21+x2(ax−1)当01<<a时，fx()=单调递增，21+x∀x，x∈(1,+∞)，且xx<，1212222222(axaxaxx−111)1(−)2(−+−−+)(112xaxx)(1)(221x)则fxfx()−=()−=12222211++xx12(11++xx12)()2(a−−11)(xx12)(xx1−2)=，22(11++xx12)()因为x，x∈(1,+∞)，且xx<，所以10−<xx，xx−<0，121212122(a−−11)(xx12)(xx1−2)当a>1时，>0，即fx()>fx()，2212(11++xx12)()2(ax−1)故fx()=单调递减，21+x2(a−−11)(xx12)(xx1−2)当01<<a时，<0，即fx()<fx()，2212(11++xx12)()2(ax−1)故fx()=单调递增21+x17.（本题满分15分，第一小题5分，第二小题5分，第三小题5分）10−>x解：（1）令，解得−<<11x，所以函数fx()的定义域为(−1,1)，10+>x若选①：因为fxfx()+−=()0，即fx()为奇函数，则ln1(−+xk)ln1(++++x)ln1(xk)ln1(−=x)0，学科网（北京）股份有限公司 2整理得(1+kx)ln1(−=)0，注意到对任意x∈−(1,1)上式均成立，可得10+=k，解得k=−1；若选②：因为fxfx()−−=()0，即fx()为偶函数，则ln1(−+xk)ln1(+−x)ln1(++xk)ln1(−=x)0，1−x整理得(1−=k)ln0，1+x注意到对任意x∈−(1,1)上式均成立，可得10−=k，解得k=1.−112−x（2）若选①：则k=−1，可得Fx()=−+==−(11x)(x)1，11++xx可知函数Fx()在区间(0,1)上单调递减，证明如下：对任意x，x∈(0,1)，且xx<，121222222(xx21−)则FxFx()−()=−−11−=−=，121+x11+x21111++++xxxx12(12)()因为01<<<xx，则10+>x，10+>x，xx−>0，121221可得FxFx()−>()0，即Fx()>Fx()，1212所以函数Fx()在区间(0,1)上单调递减；2若选②：则k=1，可得Fx()=−+=−(111x)(x)x，可知函数Fx()在区间(0,1)上单调递减，证明如下：对任意x，x∈(0,1)，且xx<，12122222则FxFx()−()=−−−=−=+(11x)(x)xx(xxxx)(−)，1212211221因为01<<<xx，则xx+>0，xx−>0，121221可得FxFx()−>()0，即Fx()>Fx()，1212所以函数Fx()在区间(0,1)上单调递减.111−x（3）若选①：则k=−1，则gx()=fx()++=2ln++2，x1+xx1−x由（2）可知Fx()=在(0,1)内单调递减，且yx=ln在定义域内单调递增，1+x学科网（北京）股份有限公司 1−x可知fx()=−−+=ln1(x)ln1(x)ln在(0,1)内单调递减，1+x又因为fx()为奇函数，则fx()在(−1,0)内单调递减，1且y=在(−1,0)内单调递减，可知gx()在(−1,0)内单调递减，x1111结合g−=>ln30，g−=ln−<80，2109可知gx()在(−1,0)内有且仅有一个零点；2若选②：则k=1，则gx()=fxx()++=2ln1(−++x)x2，2由（2）可知Fx()=−1x在(0,1)内单调递减，且yx=ln在定义域内单调递增，2可知f(xxxx)=−++=−ln1()ln1()ln1()在(0,1)内单调递减，又因为fx()为偶函数，则fx()在(−1,0)内单调递增，且yx=+2在(−1,0)内单调递增，可知gx()在(−1,0)内单调递增，133131991991011结合g−=+>+=>lnln0，g−=ln+<ln+=20，2242e2210010000100e可知gx()在(−1,0)内有且仅有一个零点.18.（本题满分17分，第一小题5分，第二小题6分，第三小题6分）π解：（1）令−+ππ22k≤xk≤π，k∈Z，解得−+≤≤36kxk6，k∈Z，3又x∈(0,10)，得yfx=()的单调增区间是[3,6]和[9,10)；π令22kxkπ≤≤+ππ，k∈Z，解得6kx≤≤+36k，k∈Z，3又x∈(0,10)，得yfx=()的单调减区间是(0,3]和[6,9].∴函数yfx=()在(0,10)上的单调增区间是[3,6]和[9,10)，单调减区间是(0,3]和[6,9]；（2）若∀∈x(0,3)，∃∈−∞xa(,)，使fx()=hx()成立，1212则∀∈x(0,3)，∃∈−∞xa(,)，fx()的值域应为hx()的值域的子集.12由（1）知，yfx=()在x∈(0,3)单调递减，∴=yfx()的值域为(−1,1)，学科网（北京）股份有限公司 2xx2xahx()=−−ee1，当xa∈−∞(,)时，令t=e∈(0,e)，5221则Ftt()=−−t1，开口方向向上，对称轴是t=，F(01)=−，55a1a当0e<≤时，Ft()在(0,e)单调递减，不符合题意；5a111a当e>时，Ft()在0,单调递减，在,e单调递增，555aaa22a1+51∴≥F(e1)，即(e)−e11−≥，解得e≥，551+51所以a≥ln；5（3）由（1）知yfx=()在(0,3)上是减函数，易知ygx=()在(0,3)上是增函数，π所以φ(x)=−=−fxgx()()cosxlnx在(0,3)上是减函数，3133又φ(10)=>，φ=−<ln0，222根据零点存在性定理知yx=φ()在(0,3)上有唯一零点，当x>3时，fx()≤1，gx()>1，π所以φ(x)=−=fxgx()()cosx−<lnx0，3即yx=φ()在(3,+∞)上无零点，综上，yx=φ()在(0,+∞)上有且只有一个零点x.055π5625−φ=cos−=ln−≈ln0.258750.223−>0，41244453∴∈x,，04222lnxx002ln22126113∴hgx(0)=e−e1−=−x00x−=1x0−−∈,，555251620∴=hgx((0))0.19.（本题满分17分，第一小题8分，第二小题4分，第三小题5分）解：（1）选①④理由：学科网（北京）股份有限公司 π由fx()=sinx在x∈0,上递增，故①满足，②不满足；2ππππππ由xxx++=π，且0<<<<xxx，则0<<x，<<x，<<x，1231231232342322ππ2π故02<<x，<<2xπ，<<2xπ，且222xxx<<，显然123123323fx(22233)=>=sin2xfx(2)sin2x，故③错；π由于xx+>，则22xx+>π，12122πππππ当0<<<<xx，则02<<<<xx2π，故22xx−>−，12122142222πππ此时2x与的距离比2x与的距离小，且2x、2x在两侧，故1212222fx(21122)=>=sin2xfx(2)sin2x；πππ当≤<<xx，则<<<22xxπ，易知：fx(2)=>=sin2xfx(2)sin2x；12121122422综上，fxfxfx(222)>>()()，故④对.123π所以fx()=sinx，t=满足①④.2π2（2）由x∈0,，则0<<<<sinxxcos1，42tsinx而kt()=(sinx)在(0,1)上递减，ϕ(tt)=在(0,1)上递增，cosxxxsinsin所以f(xxh)=(sin)<=(xxg)(sin)<=(xx)(cos)，故fxhxgx()<<()().（3）由题意，已知函数在给定区间(0,t)内递减，由fx()>0在(0,π)恒成立，πsinx当x∈0,时，yx=的增长率比yx=sin大，故随x增大变小；2xπsinx当x∈,π时，yx=递增，yx=sin递减，故随x增大变小；2x综上，(0,π)上fx()>0且递减，而[ππ,2)时fx()≤0，学科网（北京）股份有限公司 显然，∃∈t[ππ,2)使fx()在(0,t)上递减，00sinx所以fx()=在xt∈(0,)上递减，则最大值t≥π，得证.maxx学科网（北京）股份有限公司