广东省佛山市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

2023~2023学年上学期佛山市普通高中教学质量检测高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由集合并集的定义即可求.【详解】由集合并集的定义可得，.故选：A2.已知命题，是无理数．则的否定是（）A.，是有理数B.，是有理数C.，是有理数D.，是有理数【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定知，命题，是无理数的否定是：，是有理数.故选：D.3.已知，则“”是“点在第一象限内”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合三角函数的想先符号判断即可. 【详解】若，则在第一或三象限，则或，则点在第一或三象限，若点在第一象限，则，则.故“”是“点在第一象限内”的必要不充分条件.故选：B4.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（）A.18倍B.倍C.倍D.倍【答案】C【解析】【分析】构造指数函数模型，计算即可.【详解】某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，设湖泊中原来蓝藻数量为，则，经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍.故选：C.5.函数的大致图像是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数奇偶性，再判断趋近于时函数值的大小.【详解】, 故函数为奇函数，故排除A、C;当趋近于，则趋近于0，则趋近于，又在趋于时增速远比快，故趋近于0，故当趋近于时，趋近于0，故排除D;故选：B6.甲、乙分别解关于x的不等式．甲抄错了常数b，得到解集为；乙抄错了常数c，得到解集为．如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式解集应为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据韦达定理求得参数b、c，解不等式即可.【详解】由韦达定理得，即，故不等式为，解集为.故选：A7.定义在上的函数满足：是偶函数，且函数的图像与函数的图像共有n个交点：，，…，，则（）A.0B.nC.2nD.4n【答案】C【解析】【分析】观察解析式得两个函数对称轴均为，则交点也对称.【详解】是偶函数，则，则关于轴对称，又也关于轴对称， 则两个函数的交点两两关于轴对称，则,故选：C.8.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】对对数同步升幂，利用将对数变形，再利用中间值比较大小.【详解】，，故；，，故；故，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知，，则（）A.的取值范围为B.的取值范围为C.ab的取值范围为D.的取值范围为【答案】AC【解析】【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案;【详解】解：因为，，所以，，，所以，的取值范围为，的取值范围为，故A选项正确，B选项错误；因为，， 所以，，，，所以，ab的取值范围为，的取值范围为故C选项正确，D选项错误.故选：AC10.在直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】对ABC，由三角函数定义即可列式求解；对D，由正切倍角公式可求解判断.【详解】对A，由终边经过点得，A对；对BC，由得，，B对C错；对D，，解得，D错.故选：AB11.取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如：，，则（）A.，B.，C.，，D.，【答案】ABD【解析】【分析】根据取整函数，设，，进而依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，当时，，故A正确；对于B选项，设，，，故B正确；对于C选项，设，，故，，所以，当时，；当时，，所以，，，故C错误；对于D选项，设，即，所以，当时，，；当当时，，；所以，，，故D正确．故选：ABD12.已知函数的零点为，函数的零点为，则（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】对C，由零点存在定理判断端点；对AB，由函数单调性判断不等式；对D，由对数运算形式分别得，，（），结合函数单调性即可得，即可判断. 【详解】对C，，，，，由零点存在定理得，函数的零点，函数的零点，C对.对AB，由解析式知，、均为增函数，则，，A错B对；对D，.，令，则即.∵是增函数，故，D对.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.______．【答案】【解析】【分析】运用指数、对数运算法则计算即可.【详解】，故答案为：14.用一根长度为4m的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角为______弧度．【答案】2【解析】【分析】由题意得，结合基本不等式得，代入面积方程可计算面积的最大值，结合取等情况可得圆心角大小.【详解】由题意得，则，则当且仅当时取等， 而，当且仅当时取最大值1，圆心角，故答案为：2.15.写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式：______．①定义域为；②值域为；③是奇函数．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数三个性质，写出符合条件的函数即可.【详解】如，定义域为，又，因为，所以，，又，故是奇函数．故答案为：（答案不唯一）16.若实数满足，，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】由基本不等式求出，变形得到，求出，从而求出的最大值.详解】由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，所以，解得：，又因为，所以，化简得：， 因，所以，所以，即，所以，所以，故的最大值是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，，其中．（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式可求得集合；根据交集结果可知，分别在和的情况下解不等式求得结果；（2）分别在和的情况下，求得时的范围，取补集即可得到结果.【小问1详解】由得：，即；，；当时，满足，此时，即；当时，由得：，解得：；综上所述：实数取值范围为.【小问2详解】由（1）知：；当时，，解得：；当时，或，解得：； 当时，，当时，.18.从①，②，③，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面两个小问．已知，且满足______．（1）判断是第几象限角；（2）求值：．【答案】（1）是第二象限角（2）答案见解析【解析】【分析】（1）选择①②由平方关系可得，结合可得，由此可知是第二象限角，选择③利用诱导公式结合正切值的符号求解即可；（2）选择①②由平方关系求解的值即可求解；选择③利用同角三角函数关系及齐次式即可求解.【小问1详解】选择①：因为，所以，又因为，所以，进而可得，由此可知是第二象限角．选择②：因为，所以，又因为，所以，进而可得，由此可知是第二象限角．选择③因为，所以，又因为，所以是第二象限．【小问2详解】选择①：由（1）得，所以， 又由，，可知，所以，与联立解得，，所以.选择②：由（1）得，所以，所以，与联立解得，所以．选择③：因为是第二象限角，所以，又因为，，所以19.已知函数．（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别在和的情况下解方程即可求得结果； （2）由单调性可知；当时，不等式恒成立，可知；当时，分离变量可得，结合指数函数单调性可知，由此可得的范围.【小问1详解】当时，，则无解；当时，，由得：，解得：，又，，则；综上所述：.【小问2详解】当时，单调递增，则；当时，，则，则；当时，，，，解得：；综上所述：实数的取值范围为.20.已知是奇函数．（1）求实数的值．（2）判断在区间上的单调性，并用定义加以证明．【答案】（1），（2）在区间上单调递增，证明见解析【解析】 【分析】（1）根据得，进而得，解方程即可得，再根据得，再检验成立即可；（2）当时，，进而根据函数单调性的定义证明即可；【小问1详解】解：设的定义域为，由题知，因为是奇函数，所以，，即，故．由于，，所以，即，故．当，时，，，所以是奇函数，所以，，．【小问2详解】解：当时，．在区间上单调递增，理由如下：证法一：，，且，所以，，因为，，，所以，即． 进而有，即．所以，在区间上单调递增．证法二：，，且，有．因为，，，，，所以，进而有，即．所以，在区间上单调递增．21.党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为车辆密度，已知当道路密度时，交通流量，其中．（1）求a的值；（2）若交通流量，求道路密度x的取值范围；（3）求车辆密度q的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题，待定系数解方程即可得答案； （2）根据题意，解不等式即可得答案；（3）由题知，进而分段研究最值即可得答案；【小问1详解】解：依题意，，即，故正数,所以，a的值为.【小问2详解】解：当时，单调递减，F最大为，故的解集为空集；当时，由，解得，即所以，交通流量，道路密度x的取值范围为．【小问3详解】解：依题意，，所以，当时，；当时，，由于，所以，当时，q取得最大值．因为，所以车辆密度q的最大值为．22.已知，，其中且．（1）若，，求实数的取值范围；（2）用表示中的最大者，设，讨论零点个数． 【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数值域可知，结合且可得结果；（2）当或时，由（1）可知无零点；当时，由，结合可知恰有个零点；当和时，结合零点存在定理可确定的零点个数.【小问1详解】对，恒成立，，解得：，又且，则实数的取值范围为.【小问2详解】①若或，则由（1）知：恒成立，此时无零点；②若，则当时，，又，恰有个零点；③若，则当时，；当时，，又，，，在区间内恰有个零点，则在区间内恰有个零点；又，恰有个零点；④若，则当时，；当时，，又，，，在区间内恰有个零点，则在区间内恰有个零点；又，恰有个零点． 综上所述：当时，的零点个数为；当时，的零点个数为；当时，的零点个数为．【点睛】思路点睛：本题考查含参数函数零点个数的讨论，解题的基本思路是根据二次函数和对数函数的单调性，通过对参数范围的讨论，结合零点存在定理确定零点的个数.