广东省东莞市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

2022－2023学年度第一学期教学质量检查高一数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1.命题“，”的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可．【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，∴命题“，”的否定为“，”，故选：C2.函数的零点所在的区间为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，因为，，由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为.故选：A.3.已知全集，集合，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出，阴影部分集合为，由此能求出结果.【详解】因集合，集合，所以，由图可知：阴影部分表示的集合为，故选：.4.下列四组函数，表示同一个函数的一组是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根据函数相等的概念和函数的性质逐项检验即可求解.【详解】对于，因为函数的定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以与不是同一个函数，故选项错误；对于，函数的定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以与不是同一个函数，故选项错误；对于，函数的定义域为，函数的定义域也为，二者定义域相同，对应法则不同，所以与不是同一个函数，故选项错误；对于，函数的定义域为，函数的定义域也为，二者的定义域相同，对应法则相同，所以与是同一个函数，故选项正确， 故选：.5.记某时钟的中心点为，分针针尖对应的端点为．已知分针长，且分针从12点位置开始绕中心点顺时针匀速转动．若以中心点为原点，3点和12点方向分别为轴和轴正方向建立平面直角坐标系，则点到轴的距离（单位：）与时间t（单位：min）的函数解析式为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】画出图像，由题意分析得，利用已知条件求解出化简即可.【详解】如图所示：由题意得分针每分钟转rad，则分钟后转了rad，则点到轴的距离与时间t的关系可设为：，当时，点在钟表的12点处，此时，所以，所以可以取，此时， 故选：D.6.“”是“在上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】充分性直接证明，必要性举特值验证.【详解】在单调递增，充分性成立，若时在单调递增，但是不满足，所以必要性不成立.故选：A7.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度单位）和燃料的质量（单位）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是（是参数）．当质量比比较大时，函数关系中真数部分的1可以忽略不计，按照上述函数关系，将质量比从2000提升至50000，则大约增加了（附：）（）A52%B.42%C.32%D.22%【答案】B【解析】【分析】质量比提升后的最大速度与提升前的最大速度相除，即可算出增加的百分比.【详解】当质量比为2000时，最大速度，当质量比为50000时，最大速度，，，所以将质量比从2000提升至50000，则大约增加了.故选：B8.已知定义在上的函数满足①；②，则函数与 的图象在区间［－3，3]上的交点个数为（）A.3个B.4个C.5个D.6个【答案】B【解析】【分析】根据①②可知：函数是周期为的函数且在上，然后分别画出和在区间上的图象，由图象即可观察交点的个数.【详解】由①②可知：函数是周期为的函数且在上，在同一坐标系内分别作出函数和在区间上的图象，如图所示：由图可知：函数和在区间上有个交点，故选：.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若且，则【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性质及取特殊值逐项分析即可.【详解】选项A，由，若，则，故A错误，选项B，在不等式两边同时乘以同一个负数，不等号改变，所以若，，则，故B正确， 取，，则，故C错误，因为，若，则，所以，故D正确，故选：BD.10.下列大小关系正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由不等式的性质和函数的单调性，比较大小.【详解】，∴，A选项正确；，B选项正确；，，由，得，即，C选项错误；，D选项正确.故选：ABD11.狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（）A.的值域是B.C.是偶函数 D.【答案】BC【解析】【分析】根据给定的函数求函数值域，判断奇偶性，求函数值即可【详解】由函数，当为有理数时，函数值为1，当为无理数时，函数值为0，所以函数的值域是，故A错误，由函数的值域是知道，，所以，故B正确，当，则，所以，当，则，所以，又的定义域为，故是偶函数，所以C正确，由，所以，所以，，所以，所以，所以，故D错误，故选：BC.12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的图像关于中心对称B.的最小正周期为C.在区间上单调递增D.的值域为【答案】AC【解析】【分析】根据函数解析式，结合三角函数的性质，分别判断各选项. 【详解】，函数定义域为，，所以函数图像上的点关于的对称点也在函数图像上，即的图像关于中心对称，A选项正确；，不是的周期，B选项错误；当时，，所以在区间上单调递增，C选项正确；当时，，，有，当时，，，有，所以的值域为，D选项错误.故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．13.函数f(x)＝＋的定义域为____________【答案】【解析】【分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.【详解】根据题意，由，解得且，因此定义域为.故答案为：.14.已知，则__________． 【答案】【解析】【分析】平方可推得，根据二倍角的正弦公式即可得到结果.【详解】由已知可得，，即，又，所以，所以.故答案为：.15.已知函数，，，用表示，中的较小者，记为，则函数的最大值为______．【答案】－4【解析】【分析】画出函数图像，找较低图像的最高点.【详解】画出两函数图像可得，函数与的交点为，所以，所以，故答案为：16.某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设 总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为______元．【答案】1440【解析】【分析】设长为,则,求出,再结合各个区域的造价求得,利用基本不等式可得最值.【详解】设长为,则,即,所以.当且仅当,即时,等号成立,所以当时,取最小值为1440.故答案为：1440.四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 17.已知集合，，（1）求A，B；（2），，．【答案】（1）或，（2），或，【解析】【分析】（1）解出集合A中的不等式和集合B中的函数值域，即可得到集合A，B；（2）由（1）中的结论，直接进行集合的交并补运算.【小问1详解】由，得，解得或，所以或，由，得，所以，【小问2详解】由（1）得，或，，18.已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据同角三角函数基本关系式和诱导公式即可求解；(2)根据同角三角函数基本关系式和两角和的正弦公式即可求解.【小问1详解】 因为，，所以，所以．【小问2详解】因为，，所以，所以．19.已知函数．（1）若m＝f（3），n＝f（4），求的值；（2）求不等式的解集；（3）记函数，判断的奇偶性并证明．【答案】（1）（2）（3）函数F（x）是奇函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据指数对数相互转化即可求解；（2）根据对数函数性质以及定义域和单调性即可求解；（3）根据函数的奇偶性的证法即可求解.【小问1详解】由，，得，，所以．【小问2详解】 由题得，即，所以，解得，所以，所以不等的解集为．【小问3详解】是奇函数，由题得，所以x<－1或x>1，所以F（x）定义域关于原点对称，因为，所以，所以函数F（x）是奇函数．20.已知函数．（1）求的单调递减区问；（2）若在区间上的最大值为，求使成立的的取值集合．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）降幂，辅助角公式化成，根据正弦函数单调性求解. （2）根据范围求出的范围，再求函数的最大值，可确定的值，然后解不等式.【小问1详解】由公式得，所以，即，所以f（x）的单调减区间为，．【小问2详解】当时，，所以当，即时，，解得，所以，由，得，所以，，所以解集为：21.已知函数是定义在上奇函数，当时，．（1）求的值；（2）求在上的解析式；（3）若函数有零点，求实数的取值范围．【答案】（1）1（2） （3）【解析】【分析】（1）由求得.（2）根据的奇偶性求得的解析式.（3）由分离常数，利用构造函数法，结合函数的单调性以及指数函数、二次函数的性质求得的取值范围.【小问1详解】由于函数是定义在上的奇函数，所以.【小问2详解】由（1）得，当时，，所以，所以【小问3详解】函数有零点等价于方程有根，分离参数得，原问题等价于与的图象有公共点，所以求k的范围，即求函数的值域，记，即，①当时，显然在上单调递减，所以，所以时，，②当时，令，则，记，， 因为对称轴，所以在上单调递增，所以，即，所以时，，综上所述，的值域为，所以当时，函数有零点．22.如图，已知一块足球场地的球门宽米，底线上有一点，且长米．现有球员带球沿垂直于底线的线路向底线直线运球，假设球员射门时足球运动线路均为直线．（1）当球员运动到距离点为米的点时，求该球员射门角度的正切值；（2）若该球员将球直接带到点，然后选择沿其左后方向（即）的线路将球回传给点处的队友．已知长米，若该队友沿着线路向点直线运球，并计划在线路上选择某个位置进行射门，求的长度多大时，射门角度最大．【答案】（1）（2）米【解析】【分析】（1）求出、的值，利用两角差的正切公式可求得的值；（2）作，垂足为，设，计算出、，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论.【小问1详解】解：由题知，，，则， 在中，，在中，，所以．【小问2详解】解：如图，作，垂足为，设，则，，因为，所以，，在中，，在中，，所以， 当且仅当即时，最大，所以当米时，射门角度最大．