七年级数学（第六章 实数）6.1 平方根、立方根（沪科版 学习、上课资料）

6.1平方根、立方根第六章实数第1课时平方根 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2平方根及性质算术平方根算术平方根的估算 知识点平方根及性质知1－讲感悟新知1定义一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.表示方法：非负数a的平方根记为±，读作“正、负根号a”. 知1－讲感悟新知特别解读●平方根的定义中a是非负数，即a≥0.●“”是“”的简写，其中2是根指数，通常省略不写. 知1－讲感悟新知2.平方根的性质：(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；(2)0的平方根是0；(3)负数没有平方根. 感悟新知知1－练求下列各数的平方根：(1)121；(2)2；(3)－(－4)3；(4)－9.例1解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定. 感悟新知知1－练解：(1)因为(±11)2=121，所以121的平方根是±11.(2)，因为所以2的平方根是±. 感悟新知知1－练(3)－(－4)3=64，因为(±8)2=64，所以－(－4)3的平方根是±8.(4)因为－9<0，所以－9没有平方根.. 方法点拨求一个正数的平方根的方法：先找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个，它们互为相反数，因而这两个数均为这个正数的平方根；如果一个数为带分数，一般先将其化为假分数，再求平方根；如果有平方运算，那么先用平方运算求出结果，针对结果再求平方根；如果这个正数a不能写成有理数的平方的形式，那么可以将a的平方根表示成±.感悟新知知1－练 感悟新知知1－练(1)一个正数的平方根是2a-1和a-5，则这个正数是多少？例2解：根据题意，得(2a－1)+(a－5)=0，解得a=2.所以这个正数为(2a－1)2=(2×2－1)2=9. 解题秘方：根据平方根的性质，找出两个平方根之间的关系列方程求值.感悟新知知1－练 感悟新知知1－练(2)已知2a－1与－a+2是m的平方根，求m的值.解：根据题意，分以下两种情况：当2a－1=－a+2时，a=1，所以m=(2a－1)2=(2×1－1)2=1；当(2a－1)+(－a+2)=0时，a=-1，所以m=(2a－1)2=［2×(－1)－1］2=(－3)2=9.故m的值为1或9. 解法提醒●正数有两个平方根，它们互为相反数，列方程先求出a，再根据平方根的定义求这个正数的值；●已知a，b是m的平方根，则有a=b或a+b=0.感悟新知知1－练 感悟新知知1－练求下列各式中x的值：(1)x2=361；(2)81x2－49=0；(3)(3x－1)2=(－5)2.例3解题秘方：若x2=a(a≥0），则x=±.先把各题化为x2=a的形式，再求x的值. 易错提示勿遗漏负的平方根：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，开平方时不要漏掉负的平方根.感悟新知知1－练 感悟新知知1－练解：(1)因为x2=361，所以开平方，得x=±=±19.(2)整理81x2－49=0，得x2=，所以开平方，得x=±=±. 感悟新知知1－练(3)因为(3x－1)2=(－5)2，所以开平方，得3x－1=±5.当3x－1=5时，x=2；当3x－1=－5时，x=－.综上所述，x=2或x=－. 思路点拨利用整体思想求解：将3x-1看成一个整体，利用整体思想求解.求出3x-1的值后，转化为关于x的一元一次方程，解方程即可.感悟新知知1－练 方法总结：利用平方根的定义解方程的一般步骤1.移项，使含未知数的项在等号的一边，常数项在等号的另一边；2.系数化为1，将方程化为“x2=a(a≥0)”的形式；3.根据平方根的定义求出未知数x的值.感悟新知知1－练 知识点算术平方根知2－讲感悟新知21.定义正数a的正的平方根叫做a的算术平方根.规定：0的算术平方根是0.表示方法：a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 知2－讲感悟新知特别解读：(1)算术平方根具有双重非负性①被开方数a是非负数，即a≥0；②算术平方根是非负数，即≥0.(2)算术平方根是它本身的数只有0和1.特别提醒●求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方刚好是互逆的两个运算；●任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，被开方数必须是非负数，算术平方根也一定是非负数. 知2－讲感悟新知2.性质：(1)正数的算术平方根是一个正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 知2－讲感悟新知3.平方根与算术平方根的区别与联系：名称关系算术平方根平方根区别定义不同正数a的正的平方根叫做的算术平方根一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根个数不同一个正数的算术平方根只有一个一个正数的平方根有两个，它们互为相反数表示方法不同非负数a的算术平方根表示为非负数a的平方根表示为± 知2－讲感悟新知区别取值范围不同正数的算术平方根一定是正数正数的平方根是一正一负联系具有包含关系平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0除外)存在条件相同平方根和算术平方根都只有非负数才有，0的平方根与算术平方根都是0 知2－讲感悟新知拓展提醒两个重要公式：(1)()2=a(a≥0)；(2)=|a|=a(a≥0)，－a(a＜0).比较()2与的关系 知2－讲感悟新知4.开平方求一个数的平方根的运算叫做开平方. 感悟新知知2－练求下列各数的算术平方根.(1)64；(2)2；(3)0.36；(4)52；(5)(－5)2；(6)0；(7)；(8)7；(9)－16.例4解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数(0除外)的正数，然后根据算术平方根的定义求出算术平方根. 感悟新知知2－练知识储备1.求带分数的算术平方根，先将带分数化成假分数，再求算术平方根；2.求一个数的算术平方根必须明确两点：(1)这个数是非负数；(2)求出的算术平方根（结果）必须是非负数. 感悟新知知2－练解：(1)因为82=64，所以64的算术平方根是8，即=8；(2)因为，所以的算术平方根是，即(3)因为0.62=0.36，所以0.36的算术平方根是0.6，即=0.6； 感悟新知知2－练(4)因为52=52，所以52的算术平方根是5，即=5；(5)因为52=(－5)2，所以(－5)2的算术平方根是5，即=5；(6)0的算术平方根是0；(7)因为=9，9的算术平方根是3，所以的算术平方根是3；不要误认为是求81的算术平方根. 感悟新知知2－练(8)7的算术平方根是；(9)－16没有算术平方根.特别提醒有的数开方开得尽，有的数开方开不尽，对于开方开不尽的数，算术平方根不能化简. 感悟新知知2－练已知a的算术平方根是3，b的算术平方根是4，求a+b的算术平方根.解题秘方：根据算术平方根与被开方数的关系求出a，b的值，然后求a+b的算术平方根.例5 感悟新知知2－练解：因为a的算术平方根是3，所以a=32=9.因为b的算术平方根是4，所以b=42=16.所以a+b=9+16=25.因为52=25，所以25的算术平方根是5，即a+b的算术平方根是5. 感悟新知知2－练方法点拨本题运用了定义法.首先根据算术平方根的定义求出a，b的值，再根据有理数的加法法则求出a+b的值，最后根据算术平方根的定义得出结果. 感悟新知知2－练求下列各式的值：(1)±；(2)－；(3).例6解题秘方：首先观察式子的结构特点，弄清式子所表示的意义，即要明确是求算术平方根还是求平方根，然后根据算术平方根或平方根的定义求解. 感悟新知知2－练解：(1)±表示的平方根，因为=，(±)2=，所以的平方根是±.所以±=±.特别警示求的平方根时易误将的整数部分1和分数部分分别求平方根，导致错解. 感悟新知知2－练(2)表示0.81的算术平方根表示0.04的算术平方根，因为0.92=0.81，0.22=0.04，所以=0.9，=0.2.所以－=0.9－0.2=0.7.特别警示表示0.81的算术平方根，而0.81的算术平方根只有0.9.本题容易误认为表示0.81的平方根，导致错误. 感悟新知知2－练(3)表示412－402的算术平方根，因为412－402=81，92=81，所以412－402=81=9.被开方数412-402是一个整体，先要计算出412-402的结果，再计算它的算术平方根. 知识点算术平方根的估算知3－讲感悟新知31.求一个正数(非平方数)的算术平方根的近似值，一般采用夹逼法.“夹”就是从两边确定取值范围；“逼”就是一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度. 知3－讲感悟新知2.大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).按键顺序：先按键，再输入被开方数，最后按键.计算器上就会显示这个数的算术平方根(或其近似值). 知3－讲感悟新知特别解读1.求一个正数(非平方数)的算术平方根的近似值，通常有三种方法：一是用计算器；二是查平方根表；三是估算.2.计算器上显示的数值许多都是近似值. 感悟新知知3－练已知a，b为两个连续整数，且a<<b，则a+b=_______.解题秘方：本题运用夹逼法来求整数a与b的值.找出与7接近的两个平方数(整数)，确定7的算术平方根的范围.5例7 知3－练感悟新知解：因为a，b为连续整数，a<<b，而22<7<32，所以2<<3.所以a=2，b=3.所以a+b=5. 感悟新知知3－练比较下列各组数的大小：(1)与4；例8解题秘方：(1)可用平方法比较大小；(2)可用作差法比较大小；(3)可用比较被开方数大小的方法比较大小. 知3－练感悟新知解：(1)()2=12，42=16，因为12＜16，所以＜4.(2)－=，因为3＜4，所以＜2.所以＜0，即＜. 知3－练感悟新知技巧点拨(1)中两数同时平方后再比较大小；(2)运用了作差法，通过相减得到的差的正负来比较大小；(3)被开方数大的算术平方根较大，即当a≥b≥0时，≥≥0，反过来也成立. 感悟新知知3－练已知≈2.676，≈8.462.(1)≈_______，≈_____.(2)≈_______，≈_______.(3)若≈26.76，则a的值是______.例9 知3－练感悟新知答案：(1)0.2676；267.6(2)0.08462；84.62(3)716解题秘方：利用计算器求出各个算术平方根，对照被开方数和算术平方根寻找小数点移动的规律.解析：利用计算器探究发现：被开方数的小数点向左(或向右)移动两位，其算术平方根的小数点相应地向左(或向右)移动一位. 知3－练感悟新知规律点拨对于此类规律探究题，要从两个方向进行比较：第一，把被开方数进行比较；第二，把它们的结果进行比较. 平方根平方根正数有两个互为相反数的平方根0的平方根是0算术平方根性质负数没有平方根 6.1平方根、立方根第六章实数第2课时立方根 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2立方根立方根的性质用计算器求一个数的立方根 知识点立方根知1－讲感悟新知11.定义一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根.这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数. 知1－讲感悟新知特别警示：中的根指数3不能省略.若省略了3，表示非负数a的算术平方根而非a的立方根.2.开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方.特别解读：立方根与开立方的关系：立方根是一个数，是开立方的结果；而开立方是求一个数的立方根的运算. 知1－讲感悟新知特别提醒立方根与平方根的区别1.被开方数：前者可为任何数，后者为非负数；2.根指数：前者不能省略，后者可省略不写；3.个数：立方根只有一个，平方根有两个(特殊情况：0的平方根只有一个，是0). 感悟新知知1－练求下列各数的立方根：(1)－125；(2)2；(3)－1.例1解题秘方：根据立方根的定义用立方法求解. 感悟新知知1－练解：(1)因为(－5)3=－125，所以－125的立方根是－5，即=－5.解法提醒如果被开方数为带分数，一般先将带分数化为假分数，然后再求其立方根.求一个数的立方根时要注意结果的正负. 感悟新知知1－练(3)因为(－1)3=－1，所以－1的立方根是－1，即=－1. 感悟新知知1－练已知x－2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根.解题秘方：一个数等于它平方根的平方，等于它立方根的立方.例2 感悟新知知1－练解：因为x－2的平方根是±2，所以x－2=4.所以x=6.因为2x+y+7的立方根是3，所以2x+y+7=27.把x=6代入解得y=8，所以x2+y2=62+82=100.所以x2+y2的算术平方根为10. 感悟新知知1－练方法点拨本题根据平方根中被开方数等于平方根的平方，立方根中被开方数等于立方根的立方这一关系，运用方程思想列方程求出x，y的值，再根据算术平方根的定义求出x2+y2的算术平方根. 知识点立方根的性质知2－讲感悟新知2性质：(1)正数的立方根是正数；(2)负数的立方根是负数；(3)0的立方根是0；(4)=－；(5)()3=a. 知2－讲感悟新知特别提醒1.立方根是它本身的数只有0和±1.2.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数，即.利用“”可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数.3. 知2－讲感悟新知2.平方根与立方根的比较： 知2－讲感悟新知名称关系平方根立方根区别定义一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根性质正数有两个平方根，它们互为相反数正数有一个立方根，仍为正数负数没有平方根负数有一个立方根，仍为负数表示方法±(a≥0)(a为任意数)联系①开平方与开立方都与相应的乘方运算互为逆运算②0的平方根和立方根都是0 感悟新知知2－练求下列各式的值：解题秘方：根据立方根和平方根的定义进行化简计算.例3(3)－÷+. 知2－练感悟新知解法提醒做开平方或开立方运算时，一般都是利用它们的定义，运用平方法或立方法去掉根号；当被开方数不是单独一个数时，则需先进行化简，再进行开方运算. 感悟新知知2－练(3)－÷+=2÷+1=2×+1=. 感悟新知知2－练已知和互为相反数，且x≠0，y≠0，求的值.例4解题秘方：根据立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，建立x与y之间的关系式求解. 知2－讲感悟新知解：因为和互为相反数，所以3y－1和1－2x互为相反数，即(3y－1)+(1－2x)=0.所以3y=2x.又因为x≠0，y≠0，所以. 感悟新知知2－练知识储备正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，因此只有互为相反数的两个数，它们的立方根才能互为相反数，即互为相反数的两个数的立方根互为相反数. 知识点用计算器求一个数的立方根知3－讲感悟新知3用计算器求一个数的立方根和求一个数的算术平方根的步骤相同，只是按的根指数键不同.步骤：按键→被开方数→→根据显示结果写出立方根. 知3－讲感悟新知特别警示不同型号的计算器按键的顺序可能不同，使用计算器时，一定要按说明书操作. 感悟新知知3－练用计算器求下列各数的立方根：(1)27；(2)100(精确到0.01)；(3)－13.27(精确到0.001).例5解题秘方：根据计算器求立方根的步骤进行按键操作. 感悟新知知3－练解：(1)依次按键27，显示：3.所以=4.(2)依次按键100，显示：4.641588834.所以≈4.64.(3)依次按键13.27，显示：2.367501744.所以≈2.368，所以≈－2.368. 感悟新知知3－练解法提醒利用互为相反数的两个数的立方根互为相反数这一关系，求一个负数的立方根，可用计算器先求这个负数的绝对值的立方根，再在这个负数的绝对值的立方根前面加上负号，即得这个负数的立方根. 知3－练感悟新知比较下列各组数的大小：(1)与3；(2)－与－3.4；(3)与2.例6解题秘方：可以用计算器求出各个数的近似数进行比较，也可以借助中间值进行比较. 知3－练感悟新知解：(1)用中间值法：因为2=＜，2=＞，所以＞.(2)用计算器求值法：因为≈3.476＞3.4，所以－＜－3.4.(3)用立方法：因为()3=6，23=8，6＜8，所以＜2. 知3－练感悟新知另解|－|=，|－3.4|=3.4.因为()3=42，3.43=39.304，42＞39.304，所以＞3.4.所以－＜－3.4. 课堂小结立方根立方根性质正数的立方根是正数0的立方根是0负数的立方根是负数定义