北京市朝阳区2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题

2024北京朝阳高三（上）期末数学2024.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则（A）（B）（C）（D）（3）若，则（A）（B）（C）（D）（4）在中，若，则（A）（B）（C）（D）（5）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（A）（B）（C）（D）（6）如图，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为（A）（B）（C）（D）（7）设函数的定义域为，则“”是“在区间内有且仅有一个零点”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 （8）设抛物线的焦点为，点是的准线与的对称轴的交点，点在上，若，则（A）（B）（C）（D）（9）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中．当不变，与均变为原来的倍时，下面结论中正确的是（A）存在和，使得不变（B）存在和，使得变为原来的倍（C）若，则最多可变为原来的倍（D）若，则最多可变为原来的倍（10）在中，，当时，的最小值为．若，，其中，则的最大值为（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）在的展开式中，的系数为________．（用数字作答）（12）已知等差数列的公差为，为其前项和，且成等比数列，则________，________．（13）已知双曲线的一条渐近线过点，则其离心率为________．（14）设函数当时，的最大值为________；若无最大值，则实数的一个取值为________．（15第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 ）中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作《少广缒凿》中用迭代法给出一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数，取一正数作为的第一个近似值，定义则是的一列近似值．当时，给出下列四个结论：①；②；③，；④，．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知函数的图象过原点．（Ⅰ）求的值及的最小正周期；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求正数的最大值．（17）（本小题14分）如图，在四棱锥中，，侧面底面，是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）已知，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥唯一确定，求二面角的余弦值．条件①：；条件②：；条件③：直线与平面所成角的正切值为．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 （18）（本小题13分）某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息．教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示．图1图2（Ⅰ）从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率；（Ⅱ）从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列及数学期望；（Ⅲ）根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示．已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据．（只需写出结论）（19）（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）若曲线在点处的切线为轴，求的值；（Ⅱ）讨论在区间内的极值点个数；第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 （Ⅲ）若在区间内有零点，求证：．（20）（本小题15分）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，原点到直线的距离为，的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点．判断点是否为线段的中点，说明理由．（21）（本小题15分）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定．（Ⅰ）若，写出及的值；（Ⅱ）若数列是等差数列，求数列的通项公式；（Ⅲ）设集合，求证：且．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）B（3）B（4）D（5）D（6）C（7）A（8）B（9）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12）（13）（14）（答案不唯一）（15）①④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由得．所以．所以的最小正周期为．7分（Ⅱ）由（），得（）．所以的单调递增区间为（）．因为在区间上单调递增，且，此时，所以，故的最大值为．13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）取的中点，连接．因为是的中点，所以．又因为，所以且．第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，平面，所以平面．5分（Ⅱ）取的中点，连接．因为，所以．又因为侧面底面，且平面平面，所以平面．如图，在平面中，作，则，建立空间直角坐标系．选条件①：连接，在中，因为，，所以．在中，因为，，所以．所以．所以．设平面的法向量是，则即令，则．于是．因为平面，所以是平面的法向量．所以．由题知，二面角为钝角，所以其余弦值为．14分选条件③：连接，因为平面，所以是直线与平面所成角．第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 所以．在中，因为，所以．在中，因为，所以．下同选条件①．14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）设“甲比乙的步数多”为事件．在11月4日至11月10日这七天中，11月5日与11月9日这两天甲比乙步数多，所以．3分（Ⅱ）由图可知，7天中乙的步数不少于20000步的天数共2天．的所有可能取值为，．所以的分布列为012．10分（Ⅲ）11月6日．13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由得，依题意，，得．经验证，在点处的切线为，所以．4分（Ⅱ）由题得．（1）若，当时，恒成立，所以在区间上单调递增，所以无极值点．（2）若，当时，，故在区间上单调递减，当时，，故在区间上单调递增．第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 所以为的极小值点，且无极大值点．综上，当时，在区间内的极值点个数为0；当时，在区间内的极值点个数为1．9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知当时，在区间上单调递增，所以．所以在区间内无零点．当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．所以．若在区间内有零点，则．而，设，则．设，则，所以在区间上单调递增．所以，即．所以在区间上单调递增．所以，即．又，所以．15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由题可知．因为的面积为，所以．因为点到直线的距离为，所以．所以得所以椭圆的方程为．5分（Ⅱ）点为线段的中点，理由如下：第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 由题知直线的斜率存在，设过点的直线的方程为，即．由得．由，得．设，，则．直线的方程为，令，得点的纵坐标．直线的方程为，令，得点的纵坐标．要证点为线段的中点，只需证明，即．因为所以点为线段的中点．15分（21）（共15分）解：（Ⅰ），，，；3分（Ⅱ）由题可知，所以，所以．第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 若，则，，所以，，与是等差数列矛盾．所以．设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以．假设存在使得．设，由得．由得，，与是等差数列矛盾．所以对任意都有．所以数列是等差数列，．8分（Ⅲ）因为对于，，所以．所以，即数列是递增数列．先证明．假设，设正整数．由于，故存在正整数使得，所以．因为是各项均为正整数的递增数列，所以．所以，．所以，．又因为数列是递增数列，所以，矛盾．所以．再证明．由题可知．设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列，所以存在正整数，使得．令．若，则，即，所以．所以，所以．若，则，第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 所以．所以，所以．因为，所以．所以．综上，且．15分第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司