备考2024届高考数学一轮复习强化训练第六章平面向量复数第1讲平面向量的概念及线性运算等和线的应用

等和线的应用例6[全国卷Ⅲ]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为（　A　）A.3B.22C.5D.2解析　解法一　如图，过点C作CE∥BD交直线AB于点E，因为AP＝λAB＋μAD，则由等和线定理可知，当等和线l与圆相切时，λ＋μ最大，设此时l与直线AB交于点F，则易知AB＝BE＝EF，此时λ＋μ＝AFAB＝AB＋BE＋EFAB＝3ABAB＝3.解法二　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2）.可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离d＝222＋12＝25，所以圆C的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝45.因为点P在圆C上，所以可设P（1＋255cosθ，2＋255sinθ）.易知AB＝（1，0），AD＝（0，2），AP＝λAB＋μAD＝（λ，2μ），所以1+255cosθ＝λ，2+255sinθ=2μ，所以λ＋μ＝2＋255cosθ＋55sinθ＝2＋sin（θ＋φ）≤3，其中φ满足tanφ＝2.所以λ＋μ的最大值为3.方法技巧等和线定理：如图，对于平面内一组基底OA，OB及任一向量OP，OP＝λOA＋μOB（λ，μ∈R），若点P在直线AB上或在平行于AB的直线A1B1上，则λ＋μ＝k（定值）且｜k｜＝OPOF＝OB1OB＝OA1OA（F为OP与AB的交点），反之也成立.我们把直线AB以及与直线AB平行的直线A1B1称为等和线.推导：由三点共线结论推导等和线定理，由三点共线结论可知，若OF＝xOA＋yOB（x，y∈R），则x＋y＝1，由△OAB与△OA1B1相似，必存在一个常数k（k∈R），使得OP＝kOF，则OP＝kOF＝kxOA＋kyOB，又OP＝λOA＋μOB（λ，μ∈R），所以λ＋μ＝k（x＋y）＝k.反之也成立.训练4在扇形AOB中，C为弧AB上的一个动点，∠AOB＝60°.若OC＝xOA＋yOB，则x＋3y的取值范围是　[1，3]　. 解析　解法一　如图1，在OB上取一点D，使OB＝3OD，连接AD，与OC交于点E，过C作CF∥AD，交OB于点F，则OC＝xOA＋yOB＝xOA＋3yOD，所以x＋3y＝OCOE＝OFOD.当C，A重合时，OFOD最小，为1；当C，B重合时，OFOD最大，为3，所以x＋3y的取值范围是[1，3].图1图2解法二（坐标法）　设扇形AOB的半径为1，以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则B（1，0），A（12，32），设∠BOC＝θ，0≤θ≤π3，则C（cosθ，sinθ），OC＝（cosθ，sinθ）＝x（12，32）＋y（1，0），即cosθ＝x2＋y，sinθ＝32x，解得x＝23sinθ3，y＝cosθ－3sinθ3，所以x＋3y＝23sinθ3＋3cosθ－3sinθ＝3cosθ－33sinθ.令g（θ）＝3cosθ－33sinθ（0≤θ≤π3），易知g（θ）在[0，π3]上单调递减，所以g（π3）＝1≤g（θ）≤g（0）＝3，所以x＋3y的取值范围是[1，3].解法三（构造函数法）　设扇形AOB的半径为r，因为OC＝xOA＋yOB，所以OC2＝（xOA＋yOB）2＝x2OA2＋2xy｜OA｜｜OB｜·cos60°＋y2OB2，即r2＝x2r2＋xyr2＋y2r2，整理得关于y的方程y2＋xy＋x2－1＝0.易知x，y∈[0，1]，Δ＝4－3x2＞0，所以y＝－x＋4－3x22，所以x＋3y＝x＋－3x+34－3x22＝－12x＋34－3x22. 令f（x）＝－12x＋34－3x22（x∈[0，1]），易知f（x）在[0，1]上单调递减，所以f（1）＝1≤f（x）≤f（0）＝3，所以x＋3y的取值范围是[1，3].