备考2024届高考物理一轮复习讲义第五章万有引力与宇宙航行第1讲万有引力定律及应用考点3中心天体质量和密度的估算

考点3　中心天体质量和密度的估算使用方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体（天体环绕法）r、TGMmr2＝mr4π2T2M＝4π2r3GT2只能得到中心天体的质量r、vGMmr2＝mv2rM＝rv2Gv、TGMmr2＝mv2rGMmr2＝mr4π2T2M＝v3T2πG利用天体表面重力加速度（重力加速度法）g、Rmg＝GMmR2M＝gR2G“黄金代换”GM＝gR2密度的计算利用运行天体（天体环绕法）r、T、RGMmr2＝mr4π2T2M＝ρ·43πR3ρ＝3πr3GT2R3，当r＝R时ρ＝3πGT2利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度（重力加速度法）g、Rmg＝GMmR2M＝ρ·43πR3ρ＝3g4πGR1798年英国物理学家卡文迪什测出引力常量G，因此卡文迪什被人们称为“能称出地球质量的人”.（1）若已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，重力加速度g取9.8m/s2，地球半径R＝6.4×106m，地球质量是　6×1024kg　.（保留1位有效数字）（2）若有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的　64　倍. 解析　（1）根据万有引力等于重力，有GMmR2＝mg，则M＝gR2G＝9.8×（6.4×106）26.67×10－11kg＝6×1024kg.（2）根据GM＝gR2，其中M＝ρ·43πR3，得g＝43ρGπR，该星球表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，星球的密度跟地球的密度相同，所以该星球的半径是地球的4倍，该星球的质量是地球质量的64倍.研透高考明确方向命题点1　质量的估算8.[2021广东]2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行.若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　D　）A.核心舱的质量和绕地半径B.核心舱的质量和绕地周期C.核心舱的绕地角速度和绕地周期D.核心舱的绕地线速度和绕地半径解析　由于引力常量G已知，由地球对核心舱的万有引力提供向心力可得GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m(2πT)2r，若仅知道核心舱的质量m(可约去)和绕地半径r，无法计算出地球质量，A错误；若仅知道核心舱的质量m(可约去)和绕地周期T，无法计算出地球质量，B错误；若仅知道核心舱的绕地角速度ω和绕地周期T，绕地半径r未知，无法计算出地球质量，C错误；若仅知道核心舱的绕地线速度v和绕地半径r，可得地球质量M＝v2rG，D正确.命题拓展命题条件不变，一题多设问[多选]题中条件不变，下列物理量能计算出地球质量的是（　AD　）A.核心舱绕地球运行的角速度和半径B.核心舱绕地球运行的周期和距地高度C.地球的半径和核心舱的绕地周期D.地表重力加速度和地球的半径 解析　根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r，可得M＝v2rG＝ω2r3G＝4π2r3GT2，G已知，知道角速度ω和半径r，可以求出地球质量M，因此A正确；知道周期T和距地高度h，不知道地球半径，则不能求出地球质量，B错误；知道地球半径R和周期T，不知道轨道距地高度，也不能求出地球质量，C错误；根据万有引力提供向心力有GMmR2＝mg，解得地球质量M＝gR2G，所以知道地表重力加速度和地球半径可以计算出地球质量，D正确.命题点2　密度的估算9.[2023辽宁]在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示.若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　D　）A.k3（T1T2）2B.k3（T2T1）2C.1k3（T1T2）2D.1k3（T2T1）2解析　特别提醒利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量. 区别天体半径R和卫星运动轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝43πR3中的R只能是中心天体的半径.