2022-2023学年江苏省盐城市、南京市高三（上）期末数学试卷

2022-2023学年江苏省盐城市、南京市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）“a3+a9＝2a6”是“数列{an}为等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．（5分）若复数z满足|z﹣1|≤2，则复数z在复平面内对应点组成图形的面积为（）A．πB．2πC．3πD．4πt*3．（5分）已知集合th＜．若A∩N＝∅，则实数a的取值范围是（）tA．{1}B．（﹣∞，1）C．[1，2]D．（﹣∞，2]4．（5分）把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（）A．4种B．6种C．21种D．35种t5．（5分）某研究性学习小组发现，由双曲线：൭＞，＞的两渐近线所成的角可求离心率e的大小，联想到反比例函数൭的图象也是双曲线，据此可t进一步推断双曲线的离心率为（）tA．B．2C．D．56．（5分）△ABC中，AH为BC边上的高且，动点P满足，则点P的轨迹一定过△ABC的（）A．外心B．内心C．垂心D．重心7．（5分）若函数f（x）＝x3+bx2+cx+d满足f（1﹣x）+f（1+x）＝0对一切实数x恒成立，则不等式f'（2x+3）＜f'（x﹣1）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣4）C．（﹣4，0）D．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）8．（5分）四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形第1页（共20页）,AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合，则直线ED，BF所成角α在旋转过程中（）A．逐步变大B．逐步变小C．先变小后变大D．先变大后变小二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）若X～N（μ，σ2），则下列说法正确的有（）A．P（X＜μ+σ）＝P（X＞μ﹣σ）B．P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）＜P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ）C．P（X＜μ+σ）不随μ，σ的变化而变化D．P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）随μ，σ的变化而变化（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝3sinx﹣4cosx．若f（α），f（β）分别为f（x）的极大值与极小值，则（）A．tanα＝﹣tanβB．tanα＝tanβC．sinα＝﹣sinβD．cosα＝﹣cosβ（多选）11．（5分）已知直线l的方程为（a2﹣1）x﹣2ay+2a2+2＝0，a∈R，O为原点，则（）A．若OP≤2，则点P一定不在直线l上B．若点P在直线l上，则OP≥2C．直线l上存在定点PD．存在无数个点P总不在直线l上（多选）12．（5分）如图，圆柱OO'的底面半径为1，高为2，矩形ABCD是其轴截面，过点A的平面α与圆柱底面所成的锐二面角为θ，平面α截圆柱侧面所得的曲线为椭圆Ω，截母线EF得点P，则（）A．椭圆Ω的短轴长为2第2页（共20页）,B．tanθ的最大值为2C．椭圆Ω的离心率的最大值为D．EP＝（1﹣cos∠AOE）tanθ三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）313．（5分）൭t䁖的展开式中，x的系数是（用数学填写答案）．t14．（5分）设函数൭tሻൌ൭t䁖൭＞，则使f（x）在൭，上为增函数的ω的值可以为（写出一个即可）．15．（5分）在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异．若离散型随机变量X，Y的取值*ൌ൭集合均为{0，1，2，3，⋯，n}（n∈N），则X，Y的散度൭hhȁ൭ൌ．若൭ȁX，Y的概率分布如下表所示，其中0＜p＜1，则D（X||Y）的取值范围是．X01PY01P1﹣ppൌ䁖，ൌ16．（5分）已知数列{an}、{bn}满足其中k∈N*，{bn}是公比为ൌൌ䁖，ൌൌ䁖q的等比数列，则（用q表示）；若a2+b2＝24，则a5＝．ൌ四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a*n}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n，n∈N．（1）判断数列{an﹣2n﹣1}是否是等比数列，并求{an}的通项公式；൭ൌൌ（2）若bn，求数列{bn}的前n项和Sn．ൌൌ䁖18．（12分）在△ABC中，，∠，P为△ABC内的一点，满足AP⊥CP，∠．（1）若AP＝PC，求△ABC的面积；（2）若，求AP．第3页（共20页）,19．（12分）为深入贯彻党的教育方针，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校从2022年起积极推进劳动课程改革，先后开发开设了具有地方特色的家政、烹饪、手工、园艺、非物质文化遗产等劳动实践类校本课程．为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如表：月份x246810满意人数y8095100105120（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y与月份x之间的关系，求y关于x的回归直线方程t䁖，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数；（2）10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如统计表：满意不满意合计男生651075女生552075合计12030150请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关？参ൌtൌtൌ൭tt൭考公式：ൌൌ，t．tൌt൭ttP（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879ൌ൭䁝䳌，其中n＝a+b+c+d．൭䁖൭䳌䁖䁝൭䁖䳌൭䁖䁝20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，平面PAC⊥平面PBD，AB＝AD＝AP＝2，四棱锥P﹣ABCD的体积为4．（1）求证：BD⊥PC；（2）求平面PAD与平面PCD所成锐二面角的余弦值．第4页（共20页）,t21．（12分）如图，已知椭圆䁖的左、右顶点分别为A，B，点C是椭圆上异于A，B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M，N，AC的中点为点D，直线OD与椭圆交于点P，Q，点P，C，M在x轴的上方．（1）当hh时，求cos∠POM；（2）求|PQ|•|MN|的最大值．t䁖22．（12分）已知函数൭tt．（1）当x＞﹣1时，求函数g（x）＝f（x）+x2﹣1的最小值；（2）已知x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝t，求证：htth＞．第5页（共20页）,2022-2023学年江苏省盐城市、南京市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）“a3+a9＝2a6”是“数列{an}为等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：如果数列{an}是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有a3+a9＝2a6，反之a3+a9＝2a6成立，不一定有数列{an}是等差数列，所以“a3+a9＝2a6”是“数列{an}为等差数列”的必要不充分条件．故选：B．2．（5分）若复数z满足|z﹣1|≤2，则复数z在复平面内对应点组成图形的面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【解答】解：z在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，S＝4π．故选：D．t*3．（5分）已知集合th＜．若A∩N＝∅，则实数a的取值范围是（）tA．{1}B．（﹣∞，1）C．[1，2]D．（﹣∞，2]t*【解答】解：若a＞1，则th＜（1，a），结合A∩N＝∅，得1＜a≤2；t若a＝1，则A＝∅，满足A∩N*＝∅；t*若a＜1，则th＜（a，1），满足A∩N＝∅．t综上所述，实数a的取值范围是：（﹣∞，2]．故选：D．4．（5分）把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（）A．4种B．6种C．21种D．35种【解答】解：利用隔板法：由题可知使每个小朋友都能分到小球的分法有种．故选：B．第6页（共20页）,t5．（5分）某研究性学习小组发现，由双曲线：൭＞，＞的两渐近线所成的角可求离心率e的大小，联想到反比例函数൭的图象也是双曲线，据此可t进一步推断双曲线的离心率为（）tA．B．2C．D．5【解答】解：由题意，双曲线两渐近线为x轴和y轴，互相垂直，t故为等轴双曲线，离心率为．故选：A．6．（5分）△ABC中，AH为BC边上的高且，动点P满足，则点P的轨迹一定过△ABC的（）A．外心B．内心C．垂心D．重心【解答】解：设|BC|＝4a，|AH|＝b，以H为原点，、方向为x、y轴正方向如图建立平面直角坐标系，因为，所以|BH|＝3a，|HC|＝a，则H（0，0），B（﹣3a，0），C（a，0），A（0，b），则൭，，设P（x，y），则൭t，，∵，∴t൭，即x＝﹣a，即点P的轨迹方程为x＝﹣a，而直线x＝﹣a平分线段BC，即点P的轨迹为线段BC的垂直平分线，根据三角形外心的性质可得点P的轨迹一定过△ABC的外心，故选：A．第7页（共20页）,7．（5分）若函数f（x）＝x3+bx2+cx+d满足f（1﹣x）+f（1+x）＝0对一切实数x恒成立，则不等式f'（2x+3）＜f'（x﹣1）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣4）C．（﹣4，0）D．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）【解答】解：由f（1﹣x）+f（1+x）＝0，对上式求导可得﹣f'（1﹣x）+f'（1+x）＝0，即f'（1+x）＝f'（1﹣x），所以f'（x）关于x＝1对称，因为f'（x）＝3x2+2bx+c，所以f'（x）图像的开口向上，对称轴为x＝1，由f'（2x+3）＜f'（x﹣1），得|2x+3﹣1|＜|x﹣1﹣1|，解得﹣4＜x＜0．故选：C．8．（5分）四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合，则直线ED，BF所成角α在旋转过程中（）A．逐步变大B．逐步变小C．先变小后变大D．先变大后变小【解答】解：由题可知初始时刻ED与BF所成角为0，故B，C错误，在四边形AEFD绕EF旋转过程中，EF⊥DF，EF⊥FC，DF∩FC＝F，DF，FC⊂平面DFC，所以EF⊥平面DFC，EF⊂平面EFCB，所以平面DFC⊥平面EFCB，故D在平面BCFE内的投影P一直落在直线CF上，第8页（共20页）,所以一定存在某一时刻EP⊥BF，而DP⊥平面EFCB，DP⊥BF，又DP∩PE＝P，DP，PE⊂平面DPE，所以BF⊥平面DPE，此时DE与BF所成角为，然后α开始变小，故直线ED，BF所成角α在旋转过程中先变大后变小，故选项A错误，选项D正确．故选：D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）若X～N（μ，σ2），则下列说法正确的有（）A．P（X＜μ+σ）＝P（X＞μ﹣σ）B．P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）＜P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ）C．P（X＜μ+σ）不随μ，σ的变化而变化D．P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）随μ，σ的变化而变化【解答】解：对于A、B：根据正态分布的对称性可得出P（X＜μ+σ）＝P（X＞μ﹣σ）与P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ），故A正确，B错误；对于C、D：根据正态分布的性质可得出P（X＜μ+σ）与P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）都不随μ，σ的变化而变化，表示的概率为定值，故C正确，D错误；综上：选项A、C正确．故选：AC．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝3sinx﹣4cosx．若f（α），f（β）分别为f（x）的极大值与极小值，则（）A．tanα＝﹣tanβB．tanα＝tanβC．sinα＝﹣sinβD．cosα＝﹣cosβ【解答】解：已知f（x）＝3sinx﹣4cosx＝5sin（x﹣φ），第9页（共20页）,其中ሻൌ，䳌‴ሻ，因为f（α），f（β）分别为f（x）的极大值与极小值，所以䁖䁖，䁖，k1、k2∈Z，可得α﹣β＝π+2（k1+k2）π，因为k1、k2∈Z，所以k1+k2∈Z，不妨设k＝k1+k2，此时α﹣β＝π+2kπ，k∈Z，所以α＝β+π+2kπ，tanα＝tan（β+π+2kπ）＝tanβ，故选项A错误，选项B正确；而sinα＝sin（β+π+2kπ）＝﹣sinβ，故选项C正确；又cosα＝cos（β+π+2kπ）＝﹣cosβ，故选项D正确．故选：BCD．（多选）11．（5分）已知直线l的方程为（a2﹣1）x﹣2ay+2a2+2＝0，a∈R，O为原点，则（）A．若OP≤2，则点P一定不在直线l上B．若点P在直线l上，则OP≥2C．直线l上存在定点PD．存在无数个点P总不在直线l上൭䁖【解答】解：O到l的距离d2，൭䁖若OP≤2，则点P有可能在直线l上，A错误；൭䁖由O到l的距离d2可知，若点P在直线l上，则OP≥2，B正确；൭䁖原直线可变形为a2（x+2）﹣a•2y+2﹣x＝0，t䁖令，此时无解，即直线l不过定点，一定存在无数个P不在直线l上，C错误，tD正确．故选：BD．（多选）12．（5分）如图，圆柱OO'的底面半径为1，高为2，矩形ABCD是其轴截面，过点A的平面α与圆柱底面所成的锐二面角为θ，平面α截圆柱侧面所得的曲线为椭圆Ω，截第10页（共20页）,母线EF得点P，则（）A．椭圆Ω的短轴长为2B．tanθ的最大值为2C．椭圆Ω的离心率的最大值为D．EP＝（1﹣cos∠AOE）tanθ【解答】解：椭圆Ω在底面上的投影为底面圆O，所以短轴长为底面圆直径，即为2，故A正确；当平面α过AC时，tanθ的最大值为tan∠CAB＝1，故B错误；椭圆短轴长为定值2，所以长轴长最长为AC时，离心率最大为，故C正确；过E作椭圆Ω所在平面和底面的交线垂线，垂足为G，连接AE，设则∠AOE＝α，由题意可得AO⊥AG，由余弦定理可得쳌䁖쳌쳌䳌‴ሻ䳌‴ሻ，由∠쳌쳌，䳌‴ሻ则쳌쳌ሻൌ∠쳌쳌ሻൌ൭䳌‴ሻሻൌ൭䳌‴ሻ䳌‴ሻ，由题意可得∠PGE＝θ，PE⊥GE，所以EP＝（1﹣cos∠AOE）tanθ，故D正确．故选：ACD．第11页（共20页）,三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）313．（5分）൭t䁖的展开式中，x的系数是80（用数学填写答案）．t൭t൭25﹣r5﹣2r【解答】解：Tr+1x，令5﹣2r＝3，解得r＝1．t∴x3的系数是80．故答案为：80．14．（5分）设函数൭tሻൌ൭t䁖൭＞，则使f（x）在൭，上为增函数的ω的值可以为（答案不唯一，满足∈൭，即可）（写出一个即可）．【解答】解：൭tሻൌ൭t䁖൭＞，令䁖쳌t䁖쳌䁖，k∈Z，䁖解得쳌t쳌，k∈Z，䁖即函数f（x）在，，k∈Z上单调递增，而函数f（x）在൭，上为增函数，쳌令，∵ω＞0，解得쳌쳌，䁖∵k∈Z，则k取0，此时函数f（x）的单调递增为，，则൭，，，则，解得쳌，쳌则使f（x）在൭，上为增函数的ω的值的范围为൭，，第12页（共20页）,故答案为：（答案不唯一，满足∈൭，即可）．15．（5分）在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异．若离散型随机变量X，Y的取值*ൌ൭集合均为{0，1，2，3，⋯，n}（n∈N），则X，Y的散度൭hhȁ൭ൌ．若൭ȁX，Y的概率分布如下表所示，其中0＜p＜1，则D（X||Y）的取值范围是[0，+∞）．X01PY01P1﹣ppൌ൭【解答】解：根据已知公式൭hhȁ൭ൌ，൭ȁ2得൭hhȁൌ䁖ൌൌ，4p（1﹣p）＝﹣4p+4p，൭൭2令y＝﹣4p+4p，开口向下，对称轴为，∴﹣4p2+4p在0＜p＜1上，0＜﹣4p2+4p≤1，则，൭则൭hhȁൌ，൭故答案为：[0，+∞）．ൌ䁖，ൌ16．（5分）已知数列{an}、{bn}满足其中k∈N*，{bn}是公比为ൌൌ䁖，ൌൌ䁖2q的等比数列，则q（用q表示）；若a2+b2＝24，则a5＝1024．ൌ【解答】解：当n＝2k﹣1时，*ൌൌ䁖，即ak＝b2k﹣1，k∈N，ൌ䁖ൌ䁖则，ൌൌൌ䁖ൌ䁖∵{bn}是公比为q的等比数列，∴，即；ൌൌ∵q2＞0，∴{an}中的项同号，当n＝2k时，ൌൌ䁖，∴an+1≥0，则{an}中的项都为正，即an＞0，ൌ䁖，ൌ∴ൌൌ䁖＞，∴q＞0，∵ൌ，∴a2＝b3，∴a2+b2＝b2+b3＝ൌ䁖，ൌ第13页（共20页）,24，∴b1q（1+q）＝24，ൌ䁖，ൌ∵，∴，，∴，即，∴ൌൌ䁖，ൌ，∴q3（1+q）＝24，q4﹣16+q3﹣8＝0，解得q＝2，∴．故答案为：q2；1024．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a*n}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n，n∈N．（1）判断数列{an﹣2n﹣1}是否是等比数列，并求{an}的通项公式；൭ൌൌ（2）若bn，求数列{bn}的前n项和Sn．ൌൌ䁖【解答】解：（1）由于a1﹣2﹣1＝0，故数列{an﹣2n﹣1}不是等比数列．∵an+1＝3an﹣4n，∴an+1﹣2（n+1）﹣1＝3an﹣4n﹣2（n+1）﹣1＝3（an﹣2n﹣1），同理an﹣2n﹣1＝3[an﹣1﹣2（n﹣1）﹣1]⋅⋅⋅a2﹣2×2﹣1＝3（a1﹣2×1﹣1）＝0，迭代得ൌ䁖൭ൌ䁖ൌ൭，即an+1＝2n+3，所以an＝2n+1．൭ൌൌ൭ൌൌൌ䁖ൌ（2）ൌ，ൌൌ䁖൭ൌ䁖൭ൌ䁖ൌ䁖ൌ䁖ൌ䁖ൌൌൌൌ䁖所以ൌ൭䁖൭䁖൭䁖൭．ൌ䁖ൌ䁖ൌ䁖ൌൌ䁖18．（12分）在△ABC中，，∠，P为△ABC内的一点，满足AP⊥CP，∠．（1）若AP＝PC，求△ABC的面积；（2）若，求AP．【解答】解：（1）在△APC中，∵AP⊥CP，AP＝PC，∴∠CAP，∵AC＝2，∴AP＝PC，第14页（共20页）,∵∠BAC，∴∠BAP，在△APB中，∠，∠BAP，则∠ABP，由正弦定理得，，∴AB，ሻൌሻൌ∴△ABC的面积为AB•AC•sin∠BAC2×；（2）在△ABC中，由余弦定理得7＝4+AB2﹣2AB，即AB2﹣2AB﹣3＝0，∵AB＞0，∴AB＝3，设∠CAP＝α，则AP＝2cosα，在△APB中，∠BAPα，∠ABP＝π（α）＝α，由正弦定理得，，∴cosα＝3sinα，∵tanα，ሻൌሻൌ∵α∈（0，），∴α，∴AP＝2×．19．（12分）为深入贯彻党的教育方针，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校从2022年起积极推进劳动课程改革，先后开发开设了具有地方特色的家政、烹饪、手工、园艺、非物质文化遗产等劳动实践类校本课程．为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如表：月份x246810满意人数y8095100105120（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y与月份x之间的关系，求y关于x的回归直线方程t䁖，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数；（2）10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如统计表：满意不满意合计男生651075女生552075第15页（共20页）,合计12030150请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关？参ൌtൌtൌ൭tt൭考公式：ൌൌtൌ，t．t൭ttP（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879ൌ൭䁝䳌，其中n＝a+b+c+d．൭䁖൭䳌䁖䁝൭䁖䳌൭䁖䁝【解答】解：（1）由题意可得t，൭䁖Ͳ䁖䁖䁖，则൭tt൭൭൭䁖൭൭Ͳ䁖൭൭䁖（8﹣6）×（105﹣100）+（10﹣6）×（120﹣100）＝180，൭tt൭䁖൭䁖൭䁖൭䁖൭，ൌ൭tt൭ͲͲ可得ൌ，，൭ttͲ故y关于x的回归直线方程为t䁖，令x＝12，得，据此预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数为×人；（2）提出假设H0：该校的学生性别与对劳动课程是否满意无关，ൌ൭䁝䳌൭则ᦙ，൭䁖൭䳌䁖䁝൭䁖䳌൭䁖䁝因为P（K2≥3.841）＝0.05，而4.17＞3.841，故有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，平面PAC⊥平面PBD，AB＝AD＝AP＝2，四棱锥P﹣ABCD的体积为4．（1）求证：BD⊥PC；（2）求平面PAD与平面PCD所成锐二面角的余弦值．第16页（共20页）,【解答】解：（1）证明：设AC∩BD＝O，在平面PAC内过点A作AH⊥PO，垂足为H，因为平面PAC⊥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，所以AH⊥平面PBD，又BD⊂平面PBD，所以BD⊥AH，因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA，因为BD⊥AH，PA∩AH＝A，PA⊂平面PAC，AH⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，又因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC；（2）在△ABD中，由AB＝AD＝2，AB⊥AD，可得，∠，由（1）知BD⊥AC，则，解得，因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以AP，AB，AD两两垂直，以AP，AB，AD为z，x，y轴建立如图所示空间直角坐标系，所以A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），C（3，3，0），P（0，0，2），所以൭，，，൭，，，易知平面PAD的一个法向量为ൌ൭，，，设平面PCD的一个法向量为൭t，，，则，取൭，，，t䁖ൌͲ所以䳌‴ሻ〈ൌ，，hൌhhhͲͲͲ所以平面PAD与平面PCD所成锐二面角的余弦值为．Ͳ第17页（共20页）,t21．（12分）如图，已知椭圆䁖的左、右顶点分别为A，B，点C是椭圆上异于A，B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M，N，AC的中点为点D，直线OD与椭圆交于点P，Q，点P，C，M在x轴的上方．（1）当hh时，求cos∠POM；（2）求|PQ|•|MN|的最大值．t【解答】解：（1）由题知A（﹣2，0），设C（x0，y0），则൭，，t则ttt．䁖因为hh，所以C在圆（x+2）2+y2＝5上，t又C在椭圆䁖上，൭t䁖䁖t所以C（x0，y0）满足t，所以൭t䁖䁖，t䁖t，䁖第18页（共20页）,所以x0＝0或t＜（舍去），又C在x轴上方，所以C（0，1），所以直线AC的斜率为，故直线OD的斜率为，所以直线AC与直线OD关于y轴对称．设直线AC的倾斜角θ，䳌‴ሻ∠䳌‴ሻ൭䳌‴ሻሻൌ䳌‴ሻሻൌ䳌‴ሻൌሻൌ䁖䳌‴ሻൌ䁖（2）当直线MN斜率为k，k＞0，则直线MN：y＝kx，直线：t，t所以M（x1，y1），N（x2，y2）满足t，䁖所以൭䁖t，t，䁖所以hh൭䁖，䁖2൭䁖同理，|PQ|＝（1䁖）×，൭䁖൭䁖൭䁖൭䁖൭䁖䁖䁖൭䁖所以hhhh쳌，൭䁖൭䁖൭䁖22所以|MN|⋅|PQ|≤10，当且仅当4k+4＝16k+1，即쳌时取“＝”，所以|PQ|⋅|MN|的最大值为10．t䁖22．（12分）已知函数൭tt．（1）当x＞﹣1时，求函数g（x）＝f（x）+x2﹣1的最小值；（2）已知x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝t，求证：htth＞．tt൭t【解答】解：（1）由题意可得쳌൭tt䁖tt，令f'（x）＝0，则x＝0或x＝﹣ln2，列表如下：x（﹣1，﹣ln2）﹣ln2（﹣ln2，0）0（0，+∞）g'（x）+0﹣0+g（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增第19页（共20页）,当x趋近于﹣1时，g（x）趋近于g（﹣1）＝0，g（0）＝0所以g（x）min＝g（0）＝0．t（2）证明：由题意可得쳌൭tt，所以当x＜0时，f'（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＞0时，f'（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）max＝f（0）＝1，因为f（x1）＝f（x2），不妨设x1＜0＜x2，因为x2＞0时，f（x2）＞0，t＝f（x2）∈（0，1），所以f（x1）＝f（x2）＞0，所以x1＞﹣1，由（1）知x＞﹣1，且x≠0时，g（x）＝f（x）+x2﹣1＞0，所以f（x）＞1﹣x2，则൭t＞t，解得t＜，൭t＞t，解得t＞，所以htthtt＞．第20页（共20页）