2022-2023学年湖北省十堰市高二（上）期末数学试卷

2022-2023学年湖北省十堰市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知数列1，﹣3，5，﹣7，9，⋯，则该数列的第100项为（　　）A．99B．﹣199C．﹣111D．1112．（5分）已知直线l1：mx+2y﹣2＝0与直线l2：5x+（m+3）y﹣5＝0，若l1∥l2，则m＝（　　）A．﹣5B．2C．2或﹣5D．53．（5分）如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，BF→=3FP→，设PA→=a→，PB→=b→，PC→=c→，则FE→=（　　）A．12a→-13b→+12c→B．12a→-14b→+12c→C．13a→+14b→+13c→D．23a→-14b→+23c→4．（5分）在x，y轴上的截距分别为﹣3，3的直线l被圆C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0截得的弦长为（　　）A．14B．32C．214D．425．（5分）某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别12，23，p，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为78，则p＝（　　）A．25B．13C．15D．146．（5分）过直线l：4x+3y+10＝0上一点P向圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣5＝0作切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为（　　）A．6B．22C．5D．32 7．（5分）在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另焦点我有一椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，从一个焦点F1发出的一条光线经椭圆C内壁上一点P反射后经过另一个焦点F2，若∠F1PF2＝60°，且|PF1|=32a，则椭圆C的离心率为（　　）A．12B．32C．34D．748．（5分）一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，往前跳两格，若反面朝上，往前跳一格．记跳到第n格可能有an种情况，{an}的前n项和为Sn，则S8＝（　　）A．56B．68C．87D．95二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知双曲线C：y216-x28=1，则（　　）A．C的一个顶点坐标为（4，0）B．C的实轴长为8C．C的焦距为26D．C的离心率为62（多选）10．（5分）连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记A为“第一次骰子出现的点数为3“；B为“第二次骰子出现的点数为5“；C为“两次点数之和为8“；D为“两次点数之和为7”“，则（　　）A．A与B相互独立B．A与D相互独立C．B与C为互斥事件D．C与D为互斥事件（多选）11．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为482，∠A1AB＝∠A1AD，AA1＝6，AB＝AD＝4，且∠DAB=π3，M，N，P分别为AB，CC1，C1D1的中点，则（　　） A．MC与AP夹角的余弦值为23770B．MP∥平面BDNC．DN⊥A1CD．P到平面MNC的距离为43819（多选）12．（5分）若直线l与抛物线C：y2＝2px有且仅有一个公共点P（x0，y0），且l与C的对称轴不平行，则称直线l与抛物线C相切，公共点P称为切点，且抛物线C在点P处的切线方程为y0y＝px0+px．已知抛物线C：y2＝4x上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）．过点A，B分别作抛物线C的两条切线l1，l2，直线l1，l2交于点Q（x3，y3），过抛物线C上异于A，B的一点D（x4，y4）的切线l3分别与l1，l2交于点M，N，则（　　）A．直线AB的方程为y3y＝2x+2x3B．点A，Q，B的横坐标成等差数列C．|QA|•|BN|＝|QB|•|QM|D．|MN|•|BN|＝|QB|•|DN|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为13，则最后甲获胜的概率是　　．14．（5分）已知两圆C1：(x-23)2+(y-63)2=27与C2：x2+y2+23x-43y-3m=0外离，则整数m的一个取值可以是　　．15．（5分）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就．如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记an为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列{an}的第n项，则a100＝　　． 16．（5分）如图所示，在几何体中，AD∥BC，∠BAD=π2，AB=AD=2BC=4，AE∥CF，AE＝2CF＝2，AE⊥平面ABCD，则点E到直线DF的距离为　　、直线EF与平面BDF所成角的正弦值为　　．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n(n+7)2．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．18．某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130]．（1）求语文成绩在[120，130]内的学生人数；（2）如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率；（3）若语文成绩在[80，90）内的学生中有2名女生，x名男生．现从语文成绩在[80，90）内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．19．已知圆C经过点A（0，2），B（6，4），且圆心在直线x﹣3y﹣4＝0上． （1）求圆C的方程；（2）若平面上有两个点P（﹣6，0），Q（6，0），点M是圆C上的点且满足|MP||MQ|=2，求点M的坐标．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=10，PB=32，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：平面PAD⊥平面DEF．（2）求二面角A﹣PB﹣C的大小．21．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆与x轴正半轴的交点为A，与y轴正半轴的交点为B，M在C上，MF1垂直于x轴，O为坐标原点，且AB∥MO，|F1A|=2+22．（1）求椭圆C的标准方程．（2）过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当直线l的斜率存在时，试判断x轴上是否存在一点T，使得∠OTP=∠OTQ．若存在，求出T点的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为(7，0)，渐近线方程为y=±32x．（1）求双曲线C的标准方程；（2）设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于点G，证明：存在定点H，使|GH|为定值． 2022-2023学年湖北省十堰市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知数列1，﹣3，5，﹣7，9，⋯，则该数列的第100项为（　　）A．99B．﹣199C．﹣111D．111【解答】解：由题知，该数列的通项公式为an=(-1)n+1(2n-1)，所以a100=(-1)100+1(2×100-1)=-199．故选：B．2．（5分）已知直线l1：mx+2y﹣2＝0与直线l2：5x+（m+3）y﹣5＝0，若l1∥l2，则m＝（　　）A．﹣5B．2C．2或﹣5D．5【解答】解：若l1∥l2，则m（m+3）﹣2×5＝m2+3m﹣10＝（m﹣2）（m+5）＝0，所以m＝2或m＝﹣5．当m＝2时，l1，l2重合，不符合题意，所以舍去；当m＝﹣5时，符合题意．故选：A．3．（5分）如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，BF→=3FP→，设PA→=a→，PB→=b→，PC→=c→，则FE→=（　　）A．12a→-13b→+12c→B．12a→-14b→+12c→C．13a→+14b→+13c→D．23a→-14b→+23c→【解答】解：因为E是AC的中点，BE→=3FP→， 所以FE→=FP→+PE→=-14PB→+12(PA→+PC→)=12a→-14b→+12c→，故选：B．4．（5分）在x，y轴上的截距分别为﹣3，3的直线l被圆C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0截得的弦长为（　　）A．14B．32C．214D．42【解答】解：由题意可知直线l的方程为x-3+y3=1，即x﹣y+3＝0．因为圆C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝16，圆心为（2，3），半径为4，所以圆心到直线l的距离d=|2-3+3|2=2，故直线l被圆C截得的弦长为242-(2)2=214．故选：C．5．（5分）某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别12，23，p，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为78，则p＝（　　）A．25B．13C．15D．14【解答】解：由题意可知1-(1-12)(1-23)(1-p)=78，解得p=14．故选：D．6．（5分）过直线l：4x+3y+10＝0上一点P向圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣5＝0作切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为（　　）A．6B．22C．5D．32【解答】解：因为圆C的半径为10，所以|PQ|=|PC|2-10，当PC⊥l时，|PC|最小，因为圆C的圆心为（1，2），所以|PC|min=|4×1+3×2+10|42+32=4，所以|PQ|的最小值为42-10=6．故选：A．7．（5分）在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另焦点我有一椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，从一个焦点F1发出的一条光线经椭圆C内壁上一点P反射后经过另一个焦点F2，若∠F1PF2＝60°，且|PF1|=32a ，则椭圆C的离心率为（　　）A．12B．32C．34D．74【解答】解：由椭圆的定义得：|PF1|+|PF2|＝2a，因为|PF1|=32a，所以|PF2|=12a．所以，在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°，所以4c2=94a2+14a2-2×3a2×a2×12=74a2，整理得c2=716a2，所以c=74a，e=74．故选：D．8．（5分）一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，往前跳两格，若反面朝上，往前跳一格．记跳到第n格可能有an种情况，{an}的前n项和为Sn，则S8＝（　　）A．56B．68C．87D．95【解答】解：由题意可得a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，a6＝13，a7＝21，a8＝34，则S8＝1+2+3+5+8+13+21+34＝87．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知双曲线C：y216-x28=1，则（　　）A．C的一个顶点坐标为（4，0）B．C的实轴长为8C．C的焦距为26D．C的离心率为62【解答】解：∵双曲线C：y216-x28=1，∴a=4，b=22，c=a2+b2=26，且焦点在y轴上，∴双曲线C的顶点坐标为（0，±4），实轴长为8， 离心率为62，焦距为46，∴B，D正确，A，C错误．故选：BD．（多选）10．（5分）连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记A为“第一次骰子出现的点数为3“；B为“第二次骰子出现的点数为5“；C为“两次点数之和为8“；D为“两次点数之和为7”“，则（　　）A．A与B相互独立B．A与D相互独立C．B与C为互斥事件D．C与D为互斥事件【解答】解：根据题意，A为“第一次骰子出现的点数为3“与B为“第二次骰子出现的点数为5“相互独立，故A正确，由P（A）=16，P（D）=16，P（AD）=136，即P（A）P（B）＝P（AB），故B正确，又B为“第二次骰子出现的点数为5“；C为“两次点数之和为8“；能同时发生，故B与C不互斥，故C错误，又C为“两次点数之和为8“；D为“两次点数之和为7”，故C与D不能同时发生，则C与D为互斥事件，则D正确，故选：ABD．（多选）11．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为482，∠A1AB＝∠A1AD，AA1＝6，AB＝AD＝4，且∠DAB=π3，M，N，P分别为AB，CC1，C1D1的中点，则（　　）A．MC与AP夹角的余弦值为23770B．MP∥平面BDNC．DN⊥A1CD．P到平面MNC的距离为43819 【解答】解：∵AB＝AD＝4，且∠DAB=π3，∴四边形ABCD的面积为4×4×sinπ3=83，∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为482，∴平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的高为48283=26，∵∠A1AB＝∠A1AD，∴A1在底面的投影在AC上，设A1在底面的投影为O，则A1O=26，∵AA1＝6，∴OA=AA12-A1O2=62-(26)2=23，∵AC=43=2OA，∴O为AC的中点，以OA→，OB→，OA1→的方向分别为x，y，z轴的正方向，建系如图，则根据题意可得：A(23，0，0)，C(-23，0，0)，B（0，2，0），D（0，﹣2，0），M(3，1，0)，A1(0，0，26)，N(-33，0，6)，P(-33，-1，26)，∴MN→=(-43，-1，6)，AP→=(-53，-1，26)，A1C→=(-23，0，-26)，MP→=(-43，-2，26)，DN→=(-33，2，6)，MC→=(-33，-1，0)，DB→=(0，4，0)，BN→=(-33，-2，6)，∴cos〈MC→，AP→〉=(-33)×(-53)+127×10=23770，∴MC与AP夹角的余弦值为23770，∴A正确；设平面BDN的法向量为m→=(x，y，z)，则m→⋅BN→=-33x-2y+6z=0m→⋅DB→=4y=0，取m→=(2，0，3)，∵MP→⋅m→=-43×2+0+26×3=26≠0，∴MP与平面BDN不平行，∴B错误；∵DN→⋅A1C→=(-33)×(-23)+0+6×(-26)=6≠0，∴DN→与A1C→不垂直，∴C错误； 设平面MNC的法向量为n→=(a，b，c)，则n→⋅MN→=-43a-b+6c=0n→⋅MC→=-33a-b=0，取n→=(2，-36，1)，∴P到平面MNC的距离为：|MP→⋅n→||n→|=|-43×2+(-2)×(-36)+26|57=43819，∴D正确．故选：AD．（多选）12．（5分）若直线l与抛物线C：y2＝2px有且仅有一个公共点P（x0，y0），且l与C的对称轴不平行，则称直线l与抛物线C相切，公共点P称为切点，且抛物线C在点P处的切线方程为y0y＝px0+px．已知抛物线C：y2＝4x上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）．过点A，B分别作抛物线C的两条切线l1，l2，直线l1，l2交于点Q（x3，y3），过抛物线C上异于A，B的一点D（x4，y4）的切线l3分别与l1，l2交于点M，N，则（　　）A．直线AB的方程为y3y＝2x+2x3B．点A，Q，B的横坐标成等差数列C．|QA|•|BN|＝|QB|•|QM|D．|MN|•|BN|＝|QB|•|DN|【解答】解：已知抛物线C：y2＝4x，则p＝2，抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A，B分别作抛物线C的两条切线l1，l2，直线I1，l2交于点Q（x3，y3），则y1≠y2， 则由题意可知：l1：y1y＝2x+2x1，l2：y2y＝2x+2x2，对于A，联立y1y=2x+2x1y2y=2x+2x2⇒y3=2(x1-x2)y1-y2x3=x1y2-x2y1y1-y2，当x1＝x2时，y3=0x3=-x1，此时直线AB方程为x+x3＝0，符合y3y＝2x+2x3，当x1≠x2，直线AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=2y3，所以直线AB的方程为：y-y1=2y3(x-x1)⇒y3y=2x-2x1+y1y3，因为Q（x3，y3）在直线l1上，所以y1y3＝2x3+2x1，所以直线AB的方程为y3y＝2x+2x3，故A正确；对于B，因为A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，所以y12=4x1，y22=4x2，则x1=y124，x2=y224或y1=±2x1，y2=±2x2，由A得x3=y124y2-y224y1y1-y2=y1y2(y1-y2)4(y1-y2)=y1y24，则x3=x1x2或x3=-x1x2，点A，Q，B的横坐标不成等差数列，故B不正确；对于C，由A，B可得x3=y1y24，y3=2(x1-x2)y1-y2=2(y124-y224)y1-y2=y1+y22，即Q(y1y24，y1+y22)，点D（x4，y4）是抛物线上一点，所以x4=y424，联立y1y=2x+2x1y4y=2x+2x4⇒y1y=2x+2×y124y4y=2x+2×y424⇒yM=y1+y42xM=y1y44，同理可得yN=y2+y42xN=y2y44，所以QA→=(y124-y1y24，y1-y1+y22)=(y12-y1y24，y1-y22)=y1-y22(y12，1)， BN→=(y2y44-x2，y2+y42-y2)=(y2y4-y224，y4-y22)=y4-y22(y22，1)，QB→=(y224-y1y24，y2-y1+y22)=(y22-y1y24，y2-y12)=y2-y12(y22，1)．QM→=(y1y44-y1y24，y1+y42-y1+y22)=(y1y4-y1y24，y4-y22)=y4-y22(y12，1)所以|QA→|•|BN→|＝|y1-y22|•|（y12，1）|•|y4-y22|•|（y22，1）|＝|QB→|•|QM→|，故C正确；对于D，由C得MN→=（y2y44-y1y44，y2+y42-y1+y42）=y2-y12(y42，1)，BN→=(y2y44-y224，y2+y42-y2)=y4-y22(y22，1)，QB→=y2-y12(y22，1)，DN→=（y2y44-y424，y2+y42-y4）=y2-y42(y42，1)，所以|MN→|⋅|BN→|=|y1-y22|•|（y42，1）|•|y4-y22|•|（y22，1）|＝|QB→|⋅|DN→|，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为13，则最后甲获胜的概率是　2027　．【解答】解：因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制（无平局），由题意知甲每局比赛获胜的概率都为23，因此甲获胜的情况为前两局胜或第一局胜第二局输第三局胜或第一局输第二局胜第三局胜，所以最后甲获胜的概率P=23×23+23×13×23+13×23×23=2027．故答案为：2027．14．（5分）已知两圆C1：(x-23)2+(y-63)2=27与C2：x2+y2+23x-43y-3m=0外离，则整数m的一个取值可以是　﹣4　．【解答】解：因为圆C1的圆心为(23，63)，圆C2的圆心为(-3，23)，所以两圆圆心的距离为(23+3)2+(63-23)2=53． 因为圆C1的半径为33，圆C2的半径为15+3m，所以15+3m+33＜5315+3m＞0，所以﹣5＜m＜﹣1，故整数m的取值可能是﹣4，﹣3，﹣2．故答案为：﹣4（答案不唯一，只需从﹣4，﹣3，﹣2中写一个答案即可）．15．（5分）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就．如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记an为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列{an}的第n项，则a100＝　5050　．【解答】解：因为数列{an}的递推公式为an+1﹣an＝n+1，a1＝1，所以（a100﹣a99）+（a99﹣a98）+⋯+（a2﹣a1）＝100+99+⋯+2，所以a100﹣a1＝100+99+⋯+2，故a100=100+99+⋯+2+1=100×(100+1)2=5050．故答案为：5050．16．（5分）如图所示，在几何体中，AD∥BC，∠BAD=π2，AB=AD=2BC=4，AE∥CF，AE＝2CF＝2，AE⊥平面ABCD，则点E到直线DF的距离为　810521　、直线EF与平面BDF所成角的正弦值为　41421　．【解答】解：以AB→，AD→，AE→的方向分别为x，y，z轴的正方向，建系如图，则根据题意可得：B（4，0，0），D（0，4，0），E（0，0，2），F（4，2，1），∴DE→=(0，-4，2)，DF→=(4，-2，1)，BD→=(-4，4，0)，BF→=(0，2，1)，EF→=(4，2，-1)， ∴cos〈DE→，DF→〉=1025×21=10521，∴sin〈DE→，DF→〉=42121，∴点E到直线DF的距离为|DE→|sin〈DE→，DF→〉=25×42121=810521；设平面BDF的法向量为n→=(x，y，z)，则n→⋅BD→=-4x+4y=0，n→⋅BF→=2y+z=0，，取n→=(1，1，-2)，∴直线EF与平面BDF所成角的正弦值为：|cos＜n→，EF→＞|=|n→⋅EF→||n→||EF→|=86×21=41421，故答案为：810521；41421．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n(n+7)2．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】（1）解：当n＝1时，a1=S1=1×82=4．当n≥2时，Sn-1=(n-1)(n+6)2，所以an=Sn-Sn-1=n(n+7)2-(n-1)(n+6)2=n+3，因为n＝1也满足，所以通项公式为an＝n+3．（2）由（1）得an＝n+3， 所以bn=1anan+1=1(n+3)(n+4)=1n+3-1n+4，所以Tn=(14-15)+(15-16)+⋯+(1n+3-1n+4)=14-1n+4=n4n+16．18．某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130]．（1）求语文成绩在[120，130]内的学生人数；（2）如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率；（3）若语文成绩在[80，90）内的学生中有2名女生，x名男生．现从语文成绩在[80，90）内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．【解答】解：（1）根据题意，10a+0.04×10+0.03×10+0.02×10+10a＝1，则a＝0.005语文成绩在[120，130]内的学生人数为0.005×10×100＝5人，（2）语文成绩不低于112分的概率为（120﹣112）×0.02+0.005×10＝0.21，（3）根据题意语文成绩在[80，90）内的学生有0.005×10×100＝5人，则有2名女生，3名男生，则从语文成绩在[80，90）内的学生中随机抽取2人背诵课文共有C52=10种抽法，则抽到的是1名男生和1名女生共有C21⋅C31=6种抽法，则抽到的是1名男生和1名女生的概率为610=35．19．已知圆C经过点A（0，2），B（6，4），且圆心在直线x﹣3y﹣4＝0上．（1）求圆C的方程；（2）若平面上有两个点P（﹣6，0），Q（6，0），点M是圆C上的点且满足|MP||MQ|=2，求点M的坐标．【解答】解：（1）∵圆心在直线x﹣3y﹣4＝0上，设圆心C（3a+4，a）， 已知圆C经过点A（0，2），B（6，4），则由|CA|＝|CB|，得(3a+4)2+(a-2)2=(3a+4-6)2+(a-4)2解得a＝0，所以圆心C为（4，0），半径r=|CA|=(4-0)2+(0-2)2=25，所以圆C的方程为（x﹣4）2+y2＝20；（2）设M（x，y），∵M在圆C上，∴（x﹣4）2+y2＝20，又P（﹣6，0），Q（6，0），由|MP||MQ|=2可得：（x+6）2+y2＝4[（x﹣6）2+y2]，化简得（x﹣10）2+y2＝64，联立(x-4)2+y2=20(x-10)2+y2=64解得M(103，4113)或(103，-4113)．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=10，PB=32，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：平面PAD⊥平面DEF．（2）求二面角A﹣PB﹣C的大小．【解答】证明：（1）取AD的中点G，连接PG，BG，BD，如图所示：∵ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形， ∴BG⊥AD，又∵PA=PD=10，∴PG⊥AD，又∵PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，又PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB，∵E，F分别是BC，PC的中点，∴EF∥PB，∴AD⊥EF，∵DG＝BE，且DG∥BE，∴四边形DGBE为平行四边形，∴BG∥DE，∴AD⊥DE，又EF∩DE＝E，∴AD⊥平面DEF，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面DEF．解：（2）由（1）可知AD⊥平面PGB，∵PA＝PD=10，PB＝32，∴四棱锥的高P﹣ABCD的高为6，以G为坐标原点，分别以GA→，GB→所在直线为x轴，y轴的正方向，以过点G与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则P（0，-3，6），A（1，0，0），B（0，3，0），C（﹣2，3，0），∴AP→=（﹣1，-3，6），BP→=（0，﹣23，6），BC→=（﹣2，0，0），设平面PAB的法向量为n→=（x1，y1，z1），则n→⋅AP→=-x1-3y1+6z1=0n→⋅BP→=-23y1+6z1=0，取y1=2，解得x1=6z1=2，∴n→=（6，2，2）， 设平面PBC的法向量为m→=(x2，y2，z2)，则m→⋅BC→=-2x2=0m→⋅BP→=-23y2+6z2=0，取y2=2，解得x2=0z2=2，∴m→=（0，2，2），∴cos＜n→，m→＞=n→⋅m→|n→||m→|=623×6=22，又∵二面角A﹣PB﹣C为钝二面角，∴二面角A﹣PB﹣C的大小为3π4．21．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆与x轴正半轴的交点为A，与y轴正半轴的交点为B，M在C上，MF1垂直于x轴，O为坐标原点，且AB∥MO，|F1A|=2+22．（1）求椭圆C的标准方程．（2）过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当直线l的斜率存在时，试判断x轴上是否存在一点T，使得∠OTP=∠OTQ．若存在，求出T点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知点M的坐标为(-c，b2a)，∵AB∥MO，∴kOM＝kAB，∴-b2ac=-ba，∴b＝c，又a2＝b2+c2，∴a=2c，∵|F1A|=2+22=a+c，∴a=22，b=c=2，∴椭圆C的标准方程为x28+y24=1；（2）假设x轴上存在点T（t，0），使得∠OTP=∠OTQ，则kTP+kTQ＝0，设直线l的方程为x＝my+2（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），联立x=my+2，x28+y24=1，，得（m2+2）y2+4my﹣4＝0， ∴y1+y2=-4mm2+2，y1y2=-4m2+2，∴kTP+kTQ=y1x1-t+y2x2-t=y1my1+2-t+y2my2+2-t=2my1y2+(2-t)(y1+y2)(my1+2-t)(my2+2-t)=0，∴2my1y2+（2﹣t）（y1+y2）＝0，∴-8mm2+2-4m(2-t)m2+2=0(m≠0)，解得t＝4，故存在T（4，0），使得∠OTP=∠OTQ．22．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为(7，0)，渐近线方程为y=±32x．（1）求双曲线C的标准方程；（2）设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于点G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．【解答】（1）解：双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为(7，0)，渐近线方程为y=±32x，则c=7，又ba=32，a2+b2＝c2，解得a＝2，b=3，故双曲线C的标准方程为x24-y23=1；（2）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2），①当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx+m，联立y=kx+mx24-y23=1，消去y，化简得（3﹣4k2）x2﹣8kmx﹣（4m2+12）＝0，Δ＝（﹣8km）2+4（4m2+12）（3﹣4k2）＞0，即m2﹣4k2+3＞0，且x1+x2=8km3-4k2，x1x2=-4m2+123-4k2，∵以EF为直径的圆经过点D，∴DE⊥DF，∴DE→⋅DF→=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝0，∴（1+k2）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4＝0，∴(1+k2)⋅(-4m2+123-4k2)+(km-2)⋅8km3-4k2+m2+4=0，化简得（m+2k）（m+14k）＝0， ∴m＝﹣2k或m＝﹣14k，且均满足m2﹣4k2+3＞0．当m＝﹣2k时，直线l的方程为y＝k（x﹣2），直线l过定点（2，0），与已知矛盾；当m＝﹣14k时，直线l的方程为y＝k（x﹣14），过定点M（14，0）．②当直线l的斜率不存在时，不妨设直线DE：y＝x﹣2，联立y=x-2x24-y23=1，解得x1＝2，x2＝14，此时直线l过定点M（14，0），∵DG⊥EF，∴点G在以DM为直径的圆上，H为该圆的圆心，|GH|为该圆的半径，故存在定点H（7，0），使得|GH|为定值6．