广东省广州市2024届高三上学期12月调研考试（零模）数学（B）试卷（Word版附解析）

2024届广州市高三年级调研测试数学本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，，则（）A1B.2C.D.2已知集合，，则（）A.B.C.D.3.已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.C.D.4.已知函数是奇函数，则（）A.B.C.D.5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为（） A.B.C.D.6.直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（）A.B.C.D.7.已知，，，则的值为（）AB.C.D.28.若函数在区间上存在极小值点，则a的取值范围为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kW·h），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（）A.图中a的值为0.015B.样本的第25百分位数约为217C.样本平均数约为198.4 D.在被调查的用户中，用电量落在内的户数为10810.已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（）A.若的两条渐近线相互垂直，则B.若的离心率为，则的实轴长为C若，则D.当变化时，周长的最小值为11.已知点是函数的图象的一个对称中心，则（）A.是奇函数B.，C.若在区间上有且仅有条对称轴，则D.若在区间上单调递减，则或12.如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（）A.平面 B.平面截正方体所得的截面面积为C.点Q的轨迹长度为D.能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知抛物线的焦点为F，点M在C上，轴，若（O为坐标原点）的面积为2，则______.14.的展开式中的系数为______（用数字作答）.15.已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为______.16.已知函数恰有两个零点，则______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前2n项和.18.如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为.（1）求点到平面的距离；（2）若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角余弦值. 19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且.（1）求证：；（2）求的取值范围.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，，求a的取值范围.21.杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？22.在平面直角坐标系中，点，点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆内切，记点P的轨迹为曲线E．（1）求E的方程；（2）设点，，，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于A），，垂足为H，求的最小值． 2024届广州市高三年级调研测试数学本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，，则（）A.1B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】由条件求得，即可计算模长.【详解】∵，，∴，，∴.故选：C.2.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的定义域、指数函数的值域求得，进而求得. 【详解】由，解得，所以，而，所以，所以.故选：A3.已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据与共线，可得，求得，再利用向量在向量上的投影向量为，计算即可得解.【详解】由向量，，若与共线，则，所以，，所以向量在向量上的投影向量为：，故选：C4.已知函数是奇函数，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性列方程，从而求得正确答案.【详解】的定义域为， 由于是奇函数，所以，所以.故选：B5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案.【详解】，，由于为等差数列，所以，所以，也符合，所以，所以数列的前项和为.故选：D6.直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出的取值范围.【详解】由题易知直线恒过，圆化为标准方程得，即圆心为，半径，圆心到距离，所以在圆内，则直线与圆交点弦最大值为直径即8，最小时即为圆心到直线距离最大，即时，此时，所以的取值范围为.故选：D7.已知，，，则的值为（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案.【详解】， ，，分子分母同时除以得：①，由于，所以，所以，所以，所以，即，代入①得：，解得.故选：B8.若函数在区间上存在极小值点，则a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据的零点、的极值点的情况列不等式，由此求得的取值范围.【详解】，，的开口向上，对称轴为，与轴的交点为，当时，在区间上，，单调递增，没有极值点，所以， 要使在区间上存在极小值点，则在有两个不等的正根，则需，解得，所以的取值范围是.故选：A【点睛】求解函数极值点的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间；（5）根据单调区间求得的极值点.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kW·h），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（）A.图中a的值为0.015B.样本的第25百分位数约为217C.样本平均数约为198.4D.在被调查的用户中，用电量落在内的户数为108【答案】AC【解析】 【分析】根据频率直方图，结合各个统计量的含义，逐项分析判断即可.【详解】对A，，所以，故A正确；对B设样本的第25百分位数约为，，则，所以，故B错误；对C，样本平均数为：，故C正确；对D，用电量落在内的户数为：，故D错误.故选：AC10.已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（）A.若的两条渐近线相互垂直，则B.若的离心率为，则的实轴长为C.若，则D.当变化时，周长的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以，故A正确；B选项，若的离心率为， 解得，所以实轴长，故B错误；C选项，若，则，整理得，故C正确；D选项，根据双曲线的定义可知，，两式相加得，所以周长为，当时，取得最小值，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以周长的最小值为，故D正确.故选：ACD11.已知点是函数的图象的一个对称中心，则（）A.奇函数B.，C.若在区间上有且仅有条对称轴，则D.若在区间上单调递减，则或【答案】BC【解析】【分析】根据的对称中心求得，根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案. 【详解】依题意，点是函数的图象的一个对称中心，所以，且①，B选项正确.则，所以，由于是奇数，所以是偶函数，A选项错误.C选项，，将代入得：，整理得，由于在区间上有且仅有条对称轴，所以，解得，由于，所以，对应，所以C选项正确.D选项，在区间上单调递减，，将代入得：， 整理得，则，解得，而，所以或，时，，符合单调性，时，，不符合单调性，所以舍去所以，所以D选项错误.故选：BC12.如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（）A.平面B.平面截正方体所得的截面面积为C.点Q的轨迹长度为D.能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到线面垂直；B选项，作出辅助线，找到平面截正方体所得的截面，求出面积；C选项，作出辅助线，得到点Q的轨迹，并求出轨迹长度；D选项，由对称性得到平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在 上，设球心为，由得到方程，求出半径的最大值.【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，故.设平面的法向量为，则，令得，，故，因为，故平面，A正确；B选项，取的中点，连接，因为M，N，P分别是棱，，的中点，所以，又，所以，所以平面截正方体所得的截面为正六边形，其中边长为，故面积为，B正确； C选项，Q为平面上的动点，直线与直线的夹角为，又平面，设垂足为，以为圆心，为半径作圆，即为点Q的轨迹，其中，由对称性可知，，故半径，故点Q的轨迹长度为，C错误；D选项，因为M，N，P分别是棱，，的中点，所以平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称，不妨求能放入含有顶点的空间几何体的球的半径最大值，该球与平面切与点，与平面，平面，平面相切，由对称性可知，球心在上，设球心为，则半径为， ，故，即，解得，故球的半径的最大值为，D正确.故选：ABD【点睛】立体几何中截面的处理思路：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知抛物线的焦点为F，点M在C上，轴，若（O为坐标原点）的面积为2，则______.【答案】【解析】【分析】根据所给条件，可得，再令得，带入面积公式，计算即可得解.【详解】由，令得，所以，所以，.故答案为：14.的展开式中的系数为______（用数字作答）.【答案】【解析】 【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案.【详解】由于，所以的展开式中含的项为，所以的展开式中的系数为.故答案为：15.已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】求出三角形外接圆圆心，过作平面，且，则为三棱锥的外接球球心，求出半径即可求得球的表面积.【详解】如图根据题意，平面，所以即与平面所成角，则，又因为，，所以，则,又，即三角形为直角三角形，取中点，则为三角形外接圆圆心，取中点，则，且， 所以，即为三棱锥的外接球球心，其半径，所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：16.已知函数恰有两个零点，则______.【答案】【解析】【分析】利用导数，求出的单调区间，由函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点，从而建立等量关系求解可得.【详解】因为，所以令，则，令，故当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，即当时函数有最小值，若，即时，此时函数在R上为增函数，与题意不符；若，即时，此时函数与x轴有两个不同交点，设交点为，且，即，所以当或时，即，此时函数为增函数，当时，即，此时函数为减函数，依题意，函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点，即或，所以或， 化简得或，所以，故答案为：.【点睛】根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法：设方法一：转化为函数与x轴交点个数问题，通过求解单调性构造不等式求解；方法二：转化为函数的交点个数问题求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前2n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据求得.（2）根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】依题意，，当时，，当时，，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，也符合. 所以.【小问2详解】由（1）得，所以.18.如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为.（1）求点到平面的距离；（2）若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等体积法求得点到平面的距离；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】设点到平面距离为， 则，由题可知，所以，所以点到平面的距离为.【小问2详解】取的中点，连接，因为，又平面平面且交线为，平面，，所以平面，由（1）知.由题意可得，所以，所以.以点为坐标原点，为轴，为轴，过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，依题意，所以.设平面的法向量为，则，故可设，平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为. 19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且.（1）求证：；（2）求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为，结合诱导公式及可证.（2）根据及，结合诱导公式和二倍角余弦公式将化为，先求出角A的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为，由正弦定理得，，由余弦定理得，所以，又，所以.又，，所以或，所以或，又，所以，所以，得证. 【小问2详解】由（1）知，所以，又，所以，因为，所以，所以，因为函数在单调递增，所以，所以的取值范围为.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用，求出切线的斜率，然后求解所以曲线在处的切线方程．（2）由，令，则，故在上为减函数，讨论和时函数的单调性，即可得解.【小问1详解】 因为，所以，，由切点为，，所以，所以曲线在处的切线方程为，即．小问2详解】由，令则，故在上为减函数．又，①当时，，故在上为增函数，所以恒成立，故符合题意；②当时，由于，由且当时，根据零点存在定理，必存在，使得，由于在上为减函数，故当时，，时，故在上为增函数，在上为减函数所以当时，，故在上不恒成立，所以不符合题意．综上所述，实数的取值范围为．【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，同时考查恒成立问题，是难题．本题的关键有： （1）二次求导，利用二次求导得出导函数的单调性；（2）分类讨论，找到讨论点是关键，本题讨论点为和.21.杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？【答案】（1）分布列详见解析（2）买个【解析】【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式、排列组合数的计算公式求得的分布列.（2）根据甲一次性购买的吉祥物盲盒的个数进行分类讨论，通过计算各种情况下的总费用来求得正确答案.【小问1详解】由题意可知所有可能取值为，,所以的分布列如下：【小问2详解】设甲一次性购买个吉祥物盲盒，集齐三款吉祥物需要的总费用为.依题意，可取.方案1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用元.方案2：购买个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物， 总费用元.方案3：购买个盲盒时，当个盲盒打开后款式不同，则只需直接购买剩下一款吉祥物，总费用，，当个盲盒打开后款式相同，则需要直接购买另外款吉祥物，总费用，所以元.方案4：购买个盲盒时，当个盲盒打开后款式各不相同，则总费用，，当个盲盒打开后恰有款相同，则需要直接购买剩下一款吉祥物，则总费用，当个盲盒打开后款式全部相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，总费用，所以元.对比个方案可知，第个方案总费用的期望值最小，故应该一次性购买个吉祥物盲盒.22.在平面直角坐标系中，点，点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆内切，记点P的轨迹为曲线E．（1）求E的方程；（2）设点，，，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于A），，垂足为H，求的最小值．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根据题意设出，根据以PF为直径的圆与圆内切列出方程，化简即可得到P的轨迹为曲线E的方程.（2）先证直线恒过定点，然后求出点H轨迹，进而求出的最小值.【小问1详解】设，则的中点，根据题意得，即，整理得，化简得点的轨迹方程【小问2详解】设，先证直线恒过定点，理由如下：由对称性可知直线的斜率不为0，所以可设直线，联立直线与，,则，①，②所以，令，得点横坐标， 同理可得点横坐标，故，将代入上式整理得：，将②代入得，若，则直线，恒过不合题意；若，则，恒过，因为直线恒过，且与始终有两个交点，又，，垂足为H，所以点H轨迹是以为直径的半圆（不含点，在直线下方部分），设中点为C，则圆心，半径为1，所以，当且仅当点H在线段上时，所以的最小值为.【点睛】方法点睛：根据圆锥曲线中直线间几何关系求动点的轨迹方程，注意转化思想的应用；