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河南省开封市通许县2023届高三冲刺(四)文科数学试题(Word版附解析)
河南省开封市通许县2023届高三冲刺(四)文科数学试题(Word版附解析)
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2023届高三冲刺卷(四)全国卷文科数学试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足,则()A.B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】应用复数的除法求复数即可.【详解】由题设,则.故选:C2.已知集合,,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合,再根据交集运算求解.【详解】由,可得,解得,所以.因为,所以.故选:D.3.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,取到的2个数之和为偶数的概率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有、、、、、、、、、,共10种情况,其中和为偶数的情况有、、、,共4种情况,所以取到的2个数之和为偶数的概率为.故选:D4.某学校组建了演讲,舞蹈,合唱,绘画,英语协会五个社团,全校2000名学生每人都参加且只参加其中二个社团,校团委从这2000名学生中随机选取部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如下不完整的两个统计图:则选取的学生中,参加绘画社团的学生数为()A.20B.30C.40D.45【答案】A【解析】【分析】由题图可求合唱的比例,由饼状图求出绘画的比例,从而可求解.【详解】选取的学生中,合唱的比例为,所以绘画的比例为,所以选取的学生中,参加绘画社团的学生数为.故选:A.5.如图为某几何体的正视图与侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是() A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据各项中的俯视图,结合已知图确定底面形状求体积,即可判断是否符合要求.【详解】由正视图、侧视图知:几何体的高,若俯视图为A、B,即几何体底面是等腰直角三角形,则,不满足;若俯视图为C,即几何体底面是正方形,则,满足;若俯视图为D,与正视图矛盾,没有对应几何体,不满足.故选:C6.函数满足,则下列函数中为奇函数的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】写出各项对应的解析式,根据奇函数定义判断是否为奇函数即可.【详解】A:,定义域为,不关于原点对称,不符合;B:,定义域为关于原点对称,且,符合;C:,定义域为,不关于原点对称,不符合;D:,定义域为,不关于原点对称,不符合;故选:B7.已知正方体,则() A.直线与所成的角为B.直线与所成的角为C.直线与平面所成的角为D.直线与平面所成的角为【答案】D【解析】【分析】对于选项A,设分别是的中点,连接,可得直线与所成的角为或其补角,根据勾股定理即可判断;对于选项B,由,可得直线与所成的角为或其补角,根据正方体的性质即可判断;对于选项C,由平面可得直线与平面所成的角为,根据正方体的性质即可判断;对于选项D,根据线面垂直的判定定理证明平面,可得为直线与平面所成的角,解三角形即可判断.【详解】对于A:设分别是的中点,连接,所以,所以直线与所成的角为或其补角.,,,所以,即,即,所以直线与所成的角为,故A错误;对于B:由正方体的性质可得,所以直线与所成的角为或其补角,易知是等边三角形,所以, 所以直线与所成的角为,故B错误;对于C:由正方体的性质平面,所以直线与平面所成的角为,故C错误;对于D:因为平面,平面,所以.在正方形中,因为是中点,所以.因为平面,所以平面,所以为直线与平面所成的角.因为,,所以,所以,所以直线与平面所成的角为,故D正确.故选:D.8.已知,,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造,利用导数判断其单调性可比较的大小关系.构造,利用导数判断其单调性可比较的大小关系.【详解】,,,设, 所以,所以在上单调递增,所以,即.所以,即.设,则,所以在上单调递减,所以,即.所以,即.所以.故选:C.9.将函数的图象向右平移个单位长度后,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的,得到函数的图象,若在区间内有5个零点,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象的平移变换可得,再根据余弦函数的图象可得,求解即可.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度,得到的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的,得到函数的图象.时,, 在轴右方的零点为因为函数的图象在区间内有5个零点,所以,解得.故选:D.10.已知直线过抛物线的焦点,直线与抛物线相交于两点,若的中点到抛物线的准线的距离为,则()A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】由直线所过定点及抛物线的焦点所在位置可求,设,联立直线与抛物线的方程,求出,根据即可求解.【详解】因为直线过定点,抛物线的焦点在轴,且直线过抛物线的焦点,所以抛物线的焦点坐标为,所以,解得,所以抛物线的标准方程为.联立,消去,可得,即.设,因为,所以.所以.因为的中点到抛物线的准线的距离为,且抛物线的准线方程为,所以,解得. 所以,即,解得.故选:B.11.已知函数,则()A.的最小正周期为B.为的一个极值点C.点是曲线的一个对称中心D函数有且仅有一个零点【答案】B【解析】【分析】根据、是否成立判断A、C;利用导数研究在上的单调性,进而判断是否为极值点判断B;由,应用零点存在性判断零点的个数判断D.【详解】A:,错;B:,在上,则时,时,故,即是一个极小值点,对;C:,故不是对称中心,错;D:由解析式知:,,, 所以上存在零点,故不止一个零点,错.故选:B12.已知若函数有两个零点,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分别利用导数求出函数在与上的单调性与最值,画出函数的图象,由题意可得与的图象有两个交点,数形结合求解即可.【详解】当时,,则,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减.所以时,.当时,,则,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减.所以时,.画出函数的图象如图所示: 因为函数有两个零点,所以与的图象有两个交点,由图可知或.所以的取值范围为.故选:C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知两点,,若向量与垂直,则__________.【答案】【解析】【分析】求出,根据即可求解.【详解】因为,,所以.因为向量与垂直,所以,解答.故答案为:.14.的三个顶点到直线的距离分别为1,2,3,则该三角形的重心到直线的距离为__________(答案不唯一,填一个即可).【答案】1(答案不唯一)【解析】【分析】建立平面直角坐标系,利用重心坐标、点到直线的距离公式求得三角形的重心到直线的距离的范围,由此确定正确答案. 【详解】以平面内一点为原点,建立平面直角坐标系,设,则,设直线的方程为(不同时为),不妨设,设三角形的重心到直线的距离为,则,则当同号时,取得最大值为,当,或时,取得最小值为,也即过重心.所以.故答案为:1(答案不唯一).15.折扇又名“撒扇”、“纸扇”,是一种用竹木或象牙做扇骨,韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子,如图1.其展开几何图是如图2的扇形,其中,,,点在上,则 的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】若为中点,由、,应用向量数量积的运算律化简得,根据位置关系求最小值.【详解】如下图,,若中点,且,则,则,要使其最小,只需共线,此时,由图知此时.故答案为:.16.已知是双曲线的右顶点,点在上,为的左焦点,若的面积为,则的离心率为__________.【答案】【解析】 【分析】由题设可得,结合点在双曲线上及参数关系求出双曲线参数,即可得离心率.【详解】由题设知:,则,所以且,易知:,又,故,且,所以,则,化简得,解得或(舍),综上,,故,则离心率为.故答案:三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:60分.17已知数列满足且.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由题设得,应用累加法求通项公式即可;(2)应用错位相减及等比数列前n项和公式求. 【小问1详解】由题设,即,而,所以,且,所以,显然也满足上式,故.【小问2详解】由(1)知:,所以,则,两式相减得:,所以.18.在三棱台中,,分别是,的中点,,平面,且,.(1)求证:;(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据等腰三角形、棱台、线面垂直的性质证四边形 为矩形,并求得相关线段的长度,再证得到,根据面面垂直的判定、性质证平面,进而得到,最后由线面垂直的判定和性质证结论.(2)由,结合棱锥体积公式求体积即可.【小问1详解】由,,则,是的中点,即,由为棱台,易知,且,故,又,且,故四边形为平行四边形,又平面,平面,则,所以四边形为矩形,又,是的中点,故,在中,且,所以,易得,则,由平面,平面,则平面平面,由等腰三角形性质知,平面,平面平面,所以平面,平面,则,又,面,则面,由面,则.【小问2详解】由,由(1)知:平面,所以.所以三棱锥的体积为.19.北京2022 年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相,好评不断.为了研究“冰墩墩”与“雪容融”在不同性别的人群中受欢迎程度是否存在差异,某机构从关注冬奥会公众号的微信用户中随机调查了200人,得到如下列联表:男生女生总计更喜欢“冰墩墩”50更喜欢“雪容融”70总计100100200参考公式:,其中.附表:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(1)完善列联表,并求女生中更喜欢“冰墩墩”的频率是多少?(2)是否有90%的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”.【答案】(1);(2)有90%的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”.【解析】【分析】(1)根据完善列联表,再求频率即可;(2)根据公式求出,对比临界值表即可求解.【小问1详解】由列联表可得,解得,故完善列联表如下:男生女生总计 更喜欢“冰墩墩”503080更喜欢“雪容融”5070120总计100100200故女生中更喜欢“冰墩墩”的频率是.【小问2详解】,所以有90%的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”.20.已知点在椭圆上,直线交于,两点,直线,的斜率之和为0.(1)求直线的斜率;(2)求的面积的最大值(为坐标原点).【答案】(1)1(2)【解析】【分析】(1)代入,求出,得到曲线方程,当直线的斜率不存在时,不合要求,设,联立椭圆方程,求出两根之和,两根之积,由求出,得到;(2)由求出,求出,并得到点到直线的距离为,表达出,从而求出的面积的最大值.【小问1详解】由题意得,解得,代入椭圆方程中,,解得或6(舍去),故, 当直线的斜率不存在时,关于轴对称,此时有对称性可知,直线,的斜率之和不为0,舍去;设,联立椭圆方程得,,则,则,设,则,,故,即,故,即,当时,,此时直线,显然直线恒过,矛盾,当时,经检验,满足题意,故直线的斜率为1;【小问2详解】 设,联立椭圆方程得,,,解得,,点到直线的距离为,故,故当,即时,取得最大值,最大值为.【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法:(1)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用几何法来解决;(2)代数法,若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值或范围.21.已知函数.(1)若函数图象与直线相切,求实数的值;(2)若函数有且只有一个零点,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)设切点坐标,根据导数的几何意义求出切线的斜率,进而列出关于的方程组,解之即可;(2)由题意可得只有一个根,易知,可转化为与的图象只有一个交点,根据导数研究函数的单调性,数形结合即可求解. 【小问1详解】设直线与函数的图象相切于点,因为,所以,由②③可得④,易知.由①得,代入④可得,即,即,解得.故.【小问2详解】令,可得,由题意可得只有一个根.易知不是方程的根,所以,所以由,可得.设,则与的图象只有一个交点.,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增.设,则,当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增. 所以.所以.又,时,,时,,画出函数的图象如图所示:由图可知,若与的图象只有一个交点,则.所以实数的取值范围是.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(,为参数).直线的参数方程为(为参数).(1)求曲线和直线的普通方程;(2)直线与曲线相交于不同的两点,,,过且与直线平行的直线,与相交于,两点,求的值.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】 【分析】(1)消参求曲线的普通方程,讨论或、或并消参求直线方程;(2)由题设排除或的情况,将两直线的参数方程代入曲线普通方程,结合韦达定理求目标式的值.【小问1详解】由,则曲线的普通方程为,由,若或时,则直线的普通方程为,若或时;综上,曲线的普通方程为,直线的普通方程为(或),或(或).【小问2详解】若或,将代入,则,整理得,令,则,可设直线为代入,则,整理得,令,则,此时;若或,此时直线与直线重合,均为,不满足题设;综上,.23.已知函数,,且的解集为.(1)求的值; (2)设、、为正数,且,求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据公式法解绝对值不等式,结合已知解集求参数值;(2)由(1)得,应用柯西不等式求目标式的最大值,注意取值条件.【小问1详解】由题设的解集为,显然,所以,即,可得.【小问2详解】由(1)知:,,当且仅当时等号成立,故最大值为.
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高考 - 模拟考试
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