陕西省汉中市2024届高三数学（理）上学期教学质量第一次检测试题（一模）（Word版附解析）

汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试数学（理科）本试卷共23小题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知，则复数z的虚部为（）A.B.C.D.3.已知向量，，若与共线且同向，则实数的值为（）A.2B.4C.D.或44.已知一平面截某旋转体，截得的几何体的三视图如图，则该截得几何体的体积为（） A.67.5πB.πC.πD.π5已知，则（）A.B.C.D.6.将数据这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（）A.B.C.D.7.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充要条件B.“”是“”的必要不充分条件C.命题“”否定形式是“”D.“”是“”的充分不必要条件8.已知双曲线一条渐近线的斜率为2，则（）A.－4B.4C.D.9.下列函数中，既是偶函数，又在上是增函数是（）A.B.C.D.10.“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数的图象上，且图象过点，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则使得函数单调递增的区间的是（）A.B.C.D. 11.如图，已知抛物线E：的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于8，则E的方程为（）A.B.C.D.12.已知函数，若是在区间上的唯一的极值点，则实数k的取值范围是（）AB.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知的展开式中含有项的系数是54，则n=_____________.14.函数，则__________.15.已知中，，，，则的外接圆面积为___________.16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列的前n项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．18.佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4 年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度2018201920202021年度序号1234不戴头盔人数125010501000900（1）请利用所给数据求不戴头盔人数与年度序号之间的回归直线方程，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；（2）交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327参考公式：其中19.如图，在斜三棱柱中，是边长为4的正三角形，侧棱，顶点在平面上的射影为边的中点. （1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.20.已知椭圆：经过点，点为椭圆C的右焦点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点作两条斜率都存在且不为的互相垂直的直线，，直线与椭圆相交、，直线与椭圆相交、两点，求四边形的面积S的最小值.21.已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若方程的根为、，且，求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系：中曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求的参数方程；（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，将曲线、的方程转化为极坐标方程后，求．[选修4－5：不等式选讲]23.设函数（1）当时，解不等式；（2）若存在，使得成立，求a的取值范围. 汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试数学（理科）本试卷共23小题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将集合化简，再结合集合的交集运算即可得到结果.【详解】将集合化简可得，则故选:A2.已知，则复数z的虚部为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算及定义计算即可. 【详解】由可得，即虚部为.故选：A3.已知向量，，若与共线且同向，则实数的值为（）A.2B.4C.D.或4【答案】C【解析】【分析】通过向量共线且同向，即可求出实数的值.【详解】由题意，，，∵与共线且同向∴，解得或，当时，与共线且反向，舍去，故选：C．4.已知一平面截某旋转体，截得的几何体的三视图如图，则该截得几何体的体积为（）A.67.5πB.πC.πD.π【答案】A【解析】【分析】将两个几何体合并成一个完整的圆柱，再计算体积即可.【详解】将两个几何体可以合并成一个完整的圆柱，则体积为.故选：A5.已知，则（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合二倍角公式与同角三角函数关系，构造齐次式即可求解.【详解】．故选：D.6.将数据这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】计算出所有的随机删去两个数的方法，再求出剩下数据的平均数大于5的删去方法，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】从5个数中随机删去两个数有共10种方法，要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是共有4种，所以剩下数据的平均数大于5的概率为，故选：C7.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充要条件B.“”是“”的必要不充分条件C.命题“”的否定形式是“”D.“”是“”的充分不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性质判断A的正误，利用正切函数的性质判断B的正误，利用命题的否定形式判断C的正误，利用对数的定义判断D的正误. 【详解】对A，若中，时也成立，故A错；对B，当时，，故，若，则，故B对；对C，存在量词命题的否定是，故C错；对D，若均为负数，则无意义，故D错.8.已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则（）A－4B.4C.D.【答案】A【解析】【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出的值.【详解】根据,得到,则焦点在轴，故渐近线为，则，故.故选：A9.下列函数中，既是偶函数，又在上是增函数的是（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，判断AD错误，结合常见基本初等函数的单调性判断B错误，C正确即可.【详解】选项A中，，定义域R，，则是奇函数，不符合题意；选项D中，，定义域R，，则 是奇函数，不符合题意；选项B中，，定义域R，，则是偶函数，但二次函数在上是减函数，在上是增函数，故不符合题意；选项C中，，定义域为，，则是偶函数.当时，是减函数，所以由偶函数图象关于y轴对称可知，在上是增函数，故符合题意.故选：C.【点睛】方法点睛：定义法判断函数奇偶性的方法：（1）确定定义域关于原点对称；（2）计算；（3）判断与的关系，若，则是偶函数；若，则是奇函数；若两者均不成立，则是非奇非偶函数.10.“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数的图象上，且图象过点，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则使得函数单调递增的区间的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知得出函数的周期，求出，根据点的坐标，结合的取值范围，求出的值.然后得出函数的单调区间，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，所以，，.又图象过点，所以有，所以，.因为，所以，所以，所以，.由可得，，所以，函数的单调递增区间为.当时，单调递增区间为；当时，单调递增区间为；当时，单调递增区间为；对于A项，，故A项错误；对于B项，因为，故B项正确；对于C项，因为，故C项错误；对于D项，因为，故D项错误.故选：B.11.如图，已知抛物线E：焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于8，则E的方程为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据求出的坐标，然后得的方程，令，得的坐标，利用直角梯形的面积求出，可得抛物线方程.【详解】易知，直线AB的方程为，四边形OCMN为直角梯形，且.设，，，则，所以，所以，，∴.所以MC直线方程为，∴令，∴，∴.所以四边形OCMN的面积为，∴.故抛物线E的方程为.故选：B.12.已知函数，若是在区间上的唯一的极值点，则实数k的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】求出函数导数，由题可知需使得在上没有变号零点，因此分离参数，令，利用导数求得其最小值，则可得，即可求得答案.【详解】由题意得，由题意可得是函数在区间上唯一变号的零点，令，则需满足在上没有变号零点；令，得，令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时取得最小值，其大致图象如图：要使没有变号零点，则需，即，即实数k的取值范围是.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查的时根据函数在区间上有唯一的极值点，求参数的范围，那么要满足这一点，解答的关键在于求出导数后，需使得在上没有变号零点，由此转化为函数的最值问题解决.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知的展开式中含有项的系数是54，则n=_____________.【答案】 【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr．∵含有x2的系数是54，∴r＝2．∴54，可得6，∴6，n∈N*．解得n＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.函数，则__________.【答案】【解析】【分析】根据分段函数解析式，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】依题意.故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查对数运算，属于基础题.15.已知中，，，，则的外接圆面积为___________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理求解边长，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积.【详解】解：根据题意，由余弦定理可得，该的外接圆的半径为r，则由正弦定理得：.故答案为：. 16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.【答案】##【解析】【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为，所以正三棱锥外接球半径，如图所示，设外接球圆心为O，过向底面作垂线垂足为D，，要使正三棱锥体积最大，则底面与在圆心的异侧，因为是正三棱锥，所以D是的中心，所以，又因为，所以，，所以，令，解得或，当，；当，，所以在递增，在递减，故当时，正三棱锥的体积最大，此时正三棱锥的高为， 故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为.故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列的前n项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差数列前项和以及通项公式结合已知联立方程组，求出基本量即可.（2）由分组求和法以及等比数列公式法即可求解.【小问1详解】设公差为d，依题意得,解得,所以，．【小问2详解】因为，，所以．18.佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度2018201920202021 年度序号1234不戴头盔人数125010501000900（1）请利用所给数据求不戴头盔人数与年度序号之间的回归直线方程，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；（2）交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327参考公式：其中【答案】（1），775（2）能有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，理由见解析.【解析】【分析】（1）先求出与，代入公式后求出，，得到回归直线方程；（2）代入公式求出，与比较，显然有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.【小问1详解】，， ，，回归直线方程为时，【小问2详解】，故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，19.如图，在斜三棱柱中，是边长为4的正三角形，侧棱，顶点在平面上的射影为边的中点.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明出面，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.【小问1详解】因为是边长为4的正三角形，边的中点，所以.因为顶点在平面上的射影为，所以平面,.因为面，面，,所以面. 所以面，所以平面平面.小问2详解】以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.因为是边长为4的正三角形，为边的中点，所以.在直角三角形中，.所以，，，，.所以,.在三棱柱中，由，可求得：.同理求得：.所以，,.设为平面的一个法向量，为平面的一个法向量.因为，即，不妨设，则.同理可求：.设为二面角的平面角，由图可知：为锐角，所以. 即二面角的余弦值为.20.已知椭圆：经过点，点为椭圆C的右焦点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点作两条斜率都存在且不为的互相垂直的直线，，直线与椭圆相交、，直线与椭圆相交、两点，求四边形的面积S的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件列式求出可得椭圆C的方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出和，求出后，根据基本不等式求出最值可得解.【小问1详解】由题意可得，解得，所以椭圆方程为.【小问2详解】设直线的方程为，联立得：，,设，，则，，所以 ，同理可得，则，当且仅当，即时取等号.所以四边形的面积S的最小值为.21.已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若方程的根为、，且，求证：．【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出的解析，从而求出导函数，即可得到函数的单调区间；（2）求导分析的单调性，，推出，设直线与的交点的横坐标为，则，证明当时，，即可得证．【小问1详解】解：因为，，所以定义域为，，所以在上单调递减，即的单调递减区间为，无单调递增区间；【小问2详解】 证明：，，当时，当时所以在上是单调递减，在上单调递增，则，当时，，所以，且，当时，，所以，即，设直线与的交点的横坐标为，则，下面证明当时，，设，，则，当时，，当时，，所以在上是减函数，在上增函数，又因为，，所以当时，，，故当时，，设直线与的交点的横坐标为，则，所以，得证．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系：中曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求的参数方程；（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，将曲线、的方程转化为极坐标方程后，求．【答案】（Ⅰ）（为参数）．（Ⅱ）2【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程和直角坐标方程进行转换．（Ⅱ）利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【详解】解：（Ⅰ）设由于点满足，所以，由于点在上，所以，整理得的参数方程（为参数）．（Ⅱ）曲线的参数方程转换为极坐标方程为，曲线的参数方程转换为极坐标方程为，直线转换为极坐标方程为．所以，解得， 同理，解得，故．【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用，其中涉及到轨迹方程的求解、极坐标中两点间的距离求解，难度一般.极坐标系中，极角相同的两点间的距离等于极径差的绝对值.[选修4－5：不等式选讲]23.设函数（1）当时，解不等式；（2）若存在，使得成立，求a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）当时，利用零点法进行分类，求出不等式的解集；（2）若存在，使得成立，即，根据之间的大小关系，进行分类，最后求出的取值范围.【详解】解：（1）当时，，或或，即，或，或，即或.（2）即，当时，恒成立； 当时，，可知，得；当时，，同理，得.综上，的取值范围为.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了不等式存在性问题，正确的分类是解题的关键.