福建省龙岩市上杭县第一中学2024届高三上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

上杭一中2024届高三数学12月月考试卷命题人：赖杭珍罗洪祥审核人：林满连考试时间：120分钟第I巻（选择题）一､单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.若，则（）A.B.C.D.3.“”是“直线：与直线：互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.记等比数列的前项和为.若，，则（）A.B.C.D.5.已知，，，则大小关系为（）A.B.C.D.6.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早是外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点，满足平面，若的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为（） 上杭一中2024届高三数学12月月考试卷命题人：赖杭珍罗洪祥审核人：林满连考试时间：120分钟第I巻（选择题）一､单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.若，则（）A.B.C.D.3.“”是“直线：与直线：互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.记等比数列的前项和为.若，，则（）A.B.C.D.5.已知，，，则大小关系为（）A.B.C.D.6.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早是外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点，满足平面，若的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为（） A.B.C.D.7.设椭圆左、右焦点分别为，点M，N在椭圆C上（点M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，则椭圆C的离心率为（）A.B.C.D.8.已知：定义在上的可导函数的图象关于点对称的充要条件是导函数的图象关于直线对称.任给实数，满足，，则A.1B.2C.3D.4二､多选题.本题共4小题，全对得5分，部分对得2分，选错得0分，共20分.9.关于函数，，下列命题正确的是（）A.函数的图象关于点对称B.函数在上单调递增C.函数的表达式可改写为D.函数图像可先将图像向左平移，再把各点横坐标变为原来得到10.已知圆C过点，，直线m：平分圆C面积，过点且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，则（）A.圆心的坐标为B.圆C的方程为 C.k的取值范围为D.当时，弦MN的长为11.如图，已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，是侧面内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（）A.若直线与平面平行，则三棱锥的体积为B.若直线与平面平行，则直线上存在唯一的点，使得与始终垂直C.若，则的最小值为D.若，则的最大值为12.定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（）A.函数为奇函数B.不等式的解集为C.若方程有两个根，，则D.在处的切线方程为第II卷（非选择题）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.其中14题第一空2分，第二空3分.13.向量，满足，，，则___________.14.对任意的正整数，直线：恒过定点，则这个定点的坐标为______，若点 在直线上，则数列的前10项和为______.15.在平面直角坐标系中，已知点在圆上，且，点，，设的中点的横坐标为，则的所有值为__________.16.已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则________四､解答题.17.已知函数（1）当，求的最值，及取最值时对应的的值；（2）在中，为锐角，且，求的面积．18.第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.附：. 19.椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值.20.设是数列的前n项和，已知，（1）证明：是等比数列；（2）求满足的所有正整数n.21.如图①所示，长方形中，，，点是边靠近点的三等分点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥.（1）求四棱锥的体积的最大值；（2）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，证明：. 上杭一中2024届高三数学12月月考试卷命题人：赖杭珍罗洪祥审核人：林满连考试时间：120分钟第I巻（选择题）一､单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，再根据交集的定义即可得出答案.【详解】解：，，所以．故选：B.2.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】故选：C3.“”是“直线：与直线：互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据给定直线方程求出的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，，解得或，所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.故选：A4.记等比数列的前项和为.若，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设等比数列的公比为（），根据求得，再由等比数列的性质得到，即可求解.【详解】设等比数列的公比为（），则，解得：，又，所以，故选：C.5.已知，，，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可判断出，在比较的大小，即比较与的大小，即比较 与的大小，由于，即比较小于，把与同时五次方即可比较出大小.【详解】，，，，故.故选：B.6.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早是外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点，满足平面，若的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球球心，用线段长表示出球半径，再借助均值不等式求解作答.【详解】在三棱锥中，因为平面ABC，平面，则，而，平面，因此平面，又平面，于是，取中点，连接，从而，则点是三棱锥的外接球球心，如图， 设该外接球半径为，则，当且仅当时取等号，因此三棱锥的外接球表面积，所以制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为.故选：C.【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再求出球的半径即可.7.设椭圆的左、右焦点分别为，点M，N在椭圆C上（点M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，则椭圆C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，则，利用勾股定理求出，再解方程即得解.【详解】依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分，∴四边形是矩形，其中，，设，则，根据勾股定理，，，整理得，由于点M在第一象限，，由，得，即， 整理得，即，解得或舍去.故选：B．8.已知：定义在上的可导函数的图象关于点对称的充要条件是导函数的图象关于直线对称.任给实数，满足，，则A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】设函数，由关于对称，可知的图像关于点对称.结合函数的单调性以及，可知点与点关于点对称．【详解】设函数，则，其图像关于对称，故原函数的图像关于点对称，且，故对称点的坐标为．又由已知可得，，则，又当时，知在上恒单调递增．故点与点关于点对称．所以即．故选：B．【点睛】本题通过新定义的形式考查了函数的对称性，即若导函数为轴对称图形，则原函数为中心对称图形，且对称轴和对称中心的横坐标相同.结合已经熟悉的结论：对于中心对称的函数，若对称中心为，那么当函数单调时，与是等价的.本题在得出 ，以及的图像关于点对称后，即可得出结果.二､多选题.本题共4小题，全对得5分，部分对得2分，选错得0分，共20分.9.关于函数，，下列命题正确的是（）A.函数的图象关于点对称B.函数在上单调递增C.函数的表达式可改写为D.函数图像可先将图像向左平移，再把各点横坐标变为原来的得到【答案】AC【解析】【分析】对选项A，根据即可判断A正确；对选项B，根据在区间先增后减即可判断B错误；对选项C，根据即可判断C正确；对选项D，利用三角函数平移变换的性质即可判断D错误.【详解】对选项A，，，故A正确.对选项B，因为，所以，所以在区间先增后减，故B错误.对选项C，，故C正确.对选项D，图像向左平移得到， 再把各点横坐标变为原来的得到，故D错误.故选：AC10.已知圆C过点，，直线m：平分圆C的面积，过点且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，则（）A.圆心的坐标为B.圆C的方程为C.k取值范围为D.当时，弦MN的长为【答案】ABD【解析】【分析】设圆的标准方程为，根据已知条件由圆C被直线m平分，结合点A，B在圆上建立关于a，b，r的方程组，即可求出圆C的方程，再利用点到直线的距离建立关于k的不等式，即可得到实数k的取值范围，进而也可求得当时，弦MN的长，进而选出符合要求的选项.【详解】设圆的标准方程为，因为圆C被直线平分，所以圆心在直线m上，可得，由题目条件已知圆C过点，则综上可解得，所以圆心的坐标为，选项A正确；圆C的方程为，选项B正确；根据题目条件已知过点且斜率为k的直线l方程为，即，又直线l与圆C有两个不同的交点M，N，所以点到直线l的距离小于半径r， 则利用点到直线的距离公式可得：，解得k的取值范围为，所以选项C错误；当时，可求得点到直线l的距离为，所以根据勾股定理可得，即弦MN的长为，所以弦MN的长为，选项D正确.故选：ABD.11.如图，已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，是侧面内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（）A.若直线与平面平行，则三棱锥的体积为B.若直线与平面平行，则直线上存在唯一的点，使得与始终垂直C.若，则的最小值为D.若，则的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】取棱的中点，连接，进而证明平面平面得的轨迹即为线段，再讨论AB选项即可得判断；当时，点的轨迹为以为圆心， 为半径的圆在平面内的圆弧，再分别讨论CD选项即可.【详解】解：取棱的中点，连接，因为棱的中点，分别是棱的中点，所以，，因为，所以，所以，四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，平面，因为平面，所以平面平面，所以，直线与平面平行，的轨迹即为线段，故对于A选项，，三棱锥的体积为，故A正确；对于B选项，要使得与始终垂直，则面，故如图建立空间直角坐标系，则，所以，，所以且，解得，即，所以，直线上存在唯一的点（中点），使得与始终垂直，故B正确；当时，所以，解得，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在平面内的圆弧，对于C选项，由于，故的最小值为，故C正确； 对于D选项，，当且仅当时等号成立，所以，的最大值为，故D错误.故选：ABC12.定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（）A.函数为奇函数B.不等式的解集为C.若方程有两个根，，则D.在处的切线方程为【答案】AC【解析】【分析】根据奇函数的定义即可判定A，根据导数的运算可得进而可求解，即可求解BD，根据二次函数的图象性质，即可求解C.【详解】对于A，，由可得，所以，且定义域为，故为奇函数，A正确，由于，所以 为常数，则又在中，令，则，故，故，所以，对于B,可得，又，故，则，故B错误，对于C，为单调递增函数，而为开口向上，且对称轴为二次函数，且是的两个交点，的两个交点设为，则，且，又为单调递增函数，所以，所以，C正确，由得，所以在处的切线方程为，D错误，故选：AC第II卷（非选择题）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.其中14题第一空2分，第二空3分.13.向量，满足，，，则___________.【答案】【解析】【分析】由题设条件可得，，，联立可得，即，即可得解.【详解】由题意，，，，，，. 故答案为：.14.对任意的正整数，直线：恒过定点，则这个定点的坐标为______，若点在直线上，则数列的前10项和为______.【答案】①.②.【解析】【分析】依题意可得，令，即可求出定点坐标，将代入直线方程，即可得到，再利用裂项相消法求和.【详解】直线：即，令，解得，所以直线恒过点，因为点在直线上，所以，解得，所以，则数列的前10项和.故答案为：；15.在平面直角坐标系中，已知点在圆上，且，点，，设的中点的横坐标为，则的所有值为__________.【答案】1，【解析】【分析】设出点坐标为，由弦长求得，由，利用向量的线性运算转化为，从而建立方程组，解得x0的值．【详解】因为圆的圆心，半径为，设，由，得， 又，所以，即，联立，解得或.所以的所有值为1，.故答案为：1，.16.已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则________【答案】2【解析】【分析】由题可得，进而可得，然后结合条件即得.【详解】因为函数的两个零点为，，则，即，又，则，即，所以.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用同构函数可得，可得，结合条件即得. 四､解答题.17.已知函数（1）当，求的最值，及取最值时对应的的值；（2）在中，为锐角，且，求的面积．【答案】（1）,；，（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式结合辅助角公式化简可得的表达式，根据范围，结合正弦函数性质，即可求得答案；（2）结合（1）的结果可求出角A，利用余弦定理可求出的值，利用三角形面积公式即可求得答案.【小问1详解】，，，当，即时，；当，即时，；【小问2详解】由，即，而为锐角，，则，，又， 由余弦定理得，即，即，18.第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.附：.【答案】（1）表格见解析，有（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据题意，得到列联表，求得，结合附表，即可得到结论；（2）根据题意，得到随机变量的可能的取值，求得相应的概率得到分布列，利用期望公式，即可求解.【小问1详解】解：根据题意，得到列联表如下： 喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200可得，所以有把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.【小问2详解】解：由题意，人进球总次数所有可能取值为，可得，，，所以随机变量的分布列为：0123所以的数学期望为.19.椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值.【答案】19.20.定值， 【解析】【分析】（1）根据题意列出方程即可；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，列出表达式利用韦达定理计算即可.【小问1详解】因为椭圆的离心率为，所以，设到的距离为，因为，所以，易得当时面积取得最大值，所以，因为，所以，，所以椭圆的方程为；【小问2详解】证明：如图，易知点在椭圆外，设直线的方程为，，，由得，所以，，，因为，所以，所以，所以， 所以.【点睛】关键点点睛：本题的第（2）问的化简，这里化简主要是利用了韦达定理和直线的方程，在化简过程中同时涉及到通分，计算比较复杂，要认真计算.20.设是数列的前n项和，已知，（1）证明：是等比数列；（2）求满足的所有正整数n.【答案】（1）证明见解析（2）正整数n为1，2【解析】【分析】（1）由定义能证明数列是等比数列；（2）由，得，从而；由求和式子由此能求出满足的所有正整数n的值．【小问1详解】由已知得，所以，其中，，所以是以为首项，为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）知， 所以，，所以，所以，当时，单调递减，其中，，，所以满足的所有正整数n为1，2.21.如图①所示，长方形中，，，点是边靠近点的三等分点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥.（1）求四棱锥的体积的最大值；（2）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.【答案】（1）（2）平面和平面夹角余弦值的最小值为【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥 的体积取得最大值，求出，从而得到体积最大值；（3）作出辅助线，得到为的平面角，即，建立空间直角坐标系，用含的关系式表达出平面和平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式及，得到，结合的取值范围求出余弦值的最小值．【小问1详解】解：取的中点，连接，因为，则，当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，此时平面，且，底面为梯形，面积为，则四棱锥的体积最大值为；【小问2详解】解：连接，因为，所以，所以为的平面角，即，过点作平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，过作于点，由题意得平面，设,,，所以，所以，所以，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，因为，则，令，可得：，设两平面夹角为，则， 令，所以，则所以，所以当时，有最小值，所以平面和平面夹角余弦值的最小值为.【点睛】关键点点睛：利用二面角的平面角来表示折叠过程中形成的动点的横、纵、竖坐标，从而减少题中的变量，并且求解平面与平面夹角的余弦值时，两个平面法向量都含参数的正弦或余弦值，利用空间向量的坐标运算求解时，还需应用与的关系进行变形处理，从而使得只含或者的式子，转换成单变量的函数关系从而可以利用函数思想求解的最值，属于较难题目．22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)求出函数的导函数，再讨论或即可作答.(2)由(1)求出，把所证不等式分成两部分分别作等价变形，构造函数，利用导数探讨函数的单调性推理作答.【小问1详解】函数的定义域为，求导得：，当时，恒成立，则在上单调递增，当时，的解集为，的解集为，即的单调增区间为，单调减区间为， 所以，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】因为，由(1)知，，且，解得，设，则，要证，即证，即证，即证，设，则，即在上单调递减，有，即，则成立，因此成立，要证，即证，即证，即证，即证，而，即证，令，则，设，求导得，即在上单调递增，则有，即，在上单调递减，而，当时，，则当时，成立，故有成立，所以，.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式造价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.