广东省东莞市虎门中学等七校2024届高三上学期联考数学试题（Word版附解析）

东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.在复平面内，复数对应点为，则（）A.2B.1C.D.3.对于定义域是的任意奇函数，都有（）A.B.C.D.4.假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为，，，则　　A.B.C.D.5.函数在上单调递减，则t的取值范围是（）A.B.C.D.6.等边边长为，，则（）A.B.C.D.7.已知正实数满足，则的最小值为（） A.9B.8C.3D.8.向量，，则在上的投影向量为（）AB.C.D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9.某学校一同学研究温差x（℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该同学记录了5天的数据：x568912y1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则（）A.经验回归直线经过B.C.时，残差为D.若去掉样本点，则样本的相关系数r增大10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.的图象可由曲线向左平移个单位长度得到BC.是图象的一个对称中心D.在区间上单调递增11.如图，圆锥的底面圆的直径，母线长为，点是圆上异于，的动点，则下列结论正确的是（） A.与底面所成角为45°B.圆锥的表面积为C.的取值范围是D.若点为弧的中点，则二面角的平面角大小为45°12.已知大气压强随高度的变化满足关系式是海平面大气压强，.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：平均海拔第一级阶梯第二级阶梯第三级阶梯若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为，则（）A.B.C.D.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13.已知，则的值为________．14.已知，则值为______.15.某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是________． 16.已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球的表面积为________.四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，的面积为，求的周长.18.如图，在长方体中，和交于点为的中点.（1）求证：平面；（2）求点A到平面的距离.19.记为数列的前项和，已知．（1）求；（2）若，记为的前项和，且满足，求的最大值．20.某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量（单位：吨）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图. 附：.0.1000.05000100.0012.7063.8416.63510.828（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：亩产量超过亩产量不超过合计河水灌溉18090270井水灌溉7060130合计250150400试根据小概率值的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？21.适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为．（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为，求的最大值点；（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的作为p的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的作为p的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1 米，投进概率变为上次投进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．22.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，且，证明：，且． 东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析可得，由此可得出结论.【详解】任取，则，其中，所以，，故，因此，.故选：C.2.在复平面内，复数对应的点为，则（）A.2B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的几何意义及复数的除法法则，结合复数的模公式即可求解.【详解】因为复数z在复平面内对应的点为，所以.所以，所以.故选：B.3.对于定义域是的任意奇函数，都有（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根据为奇函数，可得，再对四个选项逐一判断即可得正确答案.【详解】∵为奇函数，∴，∴，又，∴，故选：C【点睛】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于基础题.4.假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为，，，则　　A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设三种方案第天的回报分别为，，，由条件可知为常数列；是首项为10，公差为10的等差数列；是首项为0.4，公比为2的等比数列，然后求出投资10天三种投资方案的总收益为，，，即可判断大小．【详解】解：设三种方案第天的回报分别为，，，则，由条件可知为常数列；是首项为10，公差为10的等差数列；是首项为0.4，公比为2的等比数列．设投资10天三种投资方案的总收益为，，， 则；；，所以．故选：．【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于根据生活中的数据，转化到数列中所需的基本量，公差，公比等，属于中档题.5.函数在上单调递减，则t的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的单调性可得的单调性，从而可求得t的取值范围.【详解】因为函数在上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数在上单调递减，则，解得.故选：A6.等边边长为，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】如图所示，由是边长为的等边三角形，且，可得，所以.故选：D. 7.已知正实数满足，则的最小值为（）A.9B.8C.3D.【答案】C【解析】【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可【详解】由条件知，，当且仅当时取等号.故选：C8.向量，，则在上投影向量为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接由投影向量公式求解即可.【详解】在上的投影向量为.故选：D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9.某学校一同学研究温差x（℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该同学记录了5天的数据：x568912 y1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则（）A.经验回归直线经过B.C.时，残差为D.若去掉样本点，则样本相关系数r增大【答案】ABC【解析】【分析】计算样本中心点可得验证选项A；由样本中心点计算验证选项B；根据残差的定义计算验证选项C；根据相关系数r的分析验证选项D．【详解】，，所以样本中心点为，则A正确；由，得，则B正确；由B知，，当时，，则残差为，则C正确；由相关系数公式可知，去掉样本点后，相关系数r的公式中的分子、分母的大小都不变，故相关系数r的大小不变，故D不正确．故选：ABC．10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.的图象可由曲线向左平移个单位长度得到B. C.是图象的一个对称中心D.在区间上单调递增【答案】BC【解析】【分析】根据函数的图象确定函数的表达式为，即可结合选项逐一求解.【详解】由图可知：，又经过点，所以,故，由于故，对于A，的图象可由曲线向左平移个单位长度得到，故A错误，对于B，，故B正确，对于C，，故是图象的一个对称中心，故C正确，对于D，令，解得，故的其中两个单调递增区间为，，故在不单调递增，故D错误，故选:BC11.如图，圆锥的底面圆的直径，母线长为，点是圆上异于，的动点，则下列结论正确的是（） A.与底面所成角为45°B.圆锥的表面积为C.的取值范围是D.若点为弧的中点，则二面角的平面角大小为45°【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据面，由判断；对于B，由圆锥的侧面积公式求解判断；对于C，由求解判断；对于D，取的中点，连接，，易得为二面角的平面角求解判断.【详解】对于A，因为面，所以是与底面所成角，在中，圆锥的母线长是，半径，则，所以，则A正确；对于B，圆锥的侧面积为，表面积为，则B错误；对于C，当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值，又因为与，不重合，则，又，可得，则C正确；对于D，如图所示，，取的中点，连接，，又为的中点，则，因为，所以，又面，面，所以， 又，面，故，所以为二面角的平面角，因为点为弧的中点，所以，，则，则D错误.故选：AC.12.已知大气压强随高度的变化满足关系式是海平面大气压强，.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：平均海拔第一级阶梯第二级阶梯第三级阶梯若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，列出不等式，根据对数函数的性质解对数不等式即可求解.【详解】设在第一级阶梯某处的海拔为，则，即.因为，所以，解得A正确；由，得.当时，，即，所以，B错误；设在第二级阶梯某处的海拔为，在第三级阶梯某处的海拔为，则两式相减可得. 因为，所以，则，即，故均正确.故选:ACD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13.已知，则的值为________．【答案】10【解析】【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接列式计算作答.【详解】依题意，.故答案为：1014.已知，则的值为______.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.【详解】.故答案为:.15.某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是________．【答案】【解析】【分析】设小明迟到为事件A，小明自驾为事件B，由题可得，后由条件概率公式可得答案. 【详解】设小明迟到为事件A，小明自驾为事件B，则，.则在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为.故答案为：16.已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球的表面积为________.【答案】【解析】【分析】当平面时，三棱锥体积最大，设球的半径为，列方程求解即可.【详解】如图所示，当平面时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为.故答案为：.四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2） 【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出；（2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到，即可求出，进而求出的周长.【详解】解：（1），由正弦定理得：，整理得：，∵在中，，∴，即，∴，即；（2）由余弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周长为.18.如图，在长方体中，和交于点为的中点. （1）求证：平面；（2）求点A到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）利用空间中直线与平面平行的判定定理，结合三角形中位线即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解．【小问1详解】如图，连接，，.因为长方体中,且，所以四边形为平行四边形.所以为的中点，在中，因为，分别为和的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.               【小问2详解】如图建立空间直角坐标系，因为长方体中,， 则，，，，，，.所以，，.设平面的法向量为，则即，令，则，，可得.，所以点A到平面的距离为.19.记为数列的前项和，已知．（1）求；（2）若，记为的前项和，且满足，求的最大值．【答案】（1）（2）12【解析】【分析】（1）利用与的关系计算即可；（2）利用等比数列、等差数列的求和公式及分组求和法求，再由函数的单调性解不等式即可.【小问1详解】当时，，解得， 当时，，因为，所以，即，所以，所以，是首项为3，公比为3的等比数列，所以数列的通项公式为；【小问2详解】由题意知：，所以，易知在上单调递增，而，所以满足的的最大值为12．20.某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量（单位：吨）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：. 0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：亩产量超过亩产量不超过合计河水灌溉18090270井水灌溉7060130合计250150400试根据小概率值的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？【答案】（1）（2）用河水灌溉是比井水灌溉好.【解析】【分析】（1）先根据频率之和为1求出的值，再根据公式求出平均值；（2）运用卡方公式进行求解.【小问1详解】由题：，解得，所以这400亩水稻平均亩产量的估计值为：；【小问2详解】，因为，所以根据小概率值的独立性检验分析，有95%的把握认为亩产量与所用灌溉水源相关,用河水灌溉是比井水灌溉好.21.适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为． （1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为，求的最大值点；（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的作为p的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的作为p的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．【答案】（1）最大值点（2）小李应选规则一参加比赛．【解析】【分析】（1）先求出连续投篮6次，恰好投进4次的概率的解析式，再利用导数研究其单调性及其最值即可；（2）若选规则一,利用二项分布概念即可求出其数学期望；若选规则二，可分别求出离散型随机变量的各种情况概率，从而可求得其分布列，进而得出其数学期望，比较这两种规则下求得的数学期望，进而判断即可.【小问1详解】由题意得则，则，令，得，当时，，在区间内单调递增，当时，，在区间内单调递减，所以的最大值点．【小问2详解】若选规则一，记X为小李投进的次数，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6． 则，则，记Y为小李所得鸡蛋的盒数，则，．若选规则二，记Z为小李投进的次数，则Z的所有可能取值为0，1，2，3．记小李第k次投进为事件，未投进为事件，所以投进0次对应事件为，其概率为；投进1次对应事件为，其概率；投进2次对应事件为，其概率．投进3次对应事件为，其概率，所以Z的分布列为Z0123P所以；记L为小李所得鸡蛋的盒数，则，，因为，所以小李应选规则一参加比赛．22.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，且，证明：，且．【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数的单调性；（2）变形为是方程的两个实数根，构造函数，得到其单调性和极值最值情况，结合图象得到，再构造差函数，证明出.小问1详解】的定义域为R，由题意，得，，当时，恒成立，在上单调递增；当，且当时，，单调递减；当时，，单调递增．综上，当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．【小问2详解】证明：由，得，是方程的两个实数根，即是方程的两个实数根．令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以．因为当时，；当时，，，所以．不妨设，因为，是方程的两个实数根，则．要证，只需证．因为，， 所以只需证．因为，所以只需证．今，，则在恒成立．所以在区间上单调递减，所以，即当时，．所以，即成立．【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则先消去参数.