湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三数学上学期月考试卷（五）（Word版附解析）

大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）数学命题人：曾卫国审题人：廖喜全孔令然注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若为虚数单位，则的虚部为（）A.B.1C.D.-1 2.若集合，则（）A.B.C.或D.3.已知不共线的两个非零向量，则“与所成角为锐角”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.要得到函数的图象，可以将函数的图象（）A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度5.已知若为上的奇函数，，则（）A.B.C.D.-1 6.已知双曲线的左､右顶点分别为为的右焦点，的离心率为2，若 为右支上一点，，记，则（）A.B.1C.D.2 7.已知二面角的平面角为与平面所成角为.记的面积为的面积为，则的取值范围为（）A.B.C.D.8.在长郡中学文体活动时间，举办高三年级绳子打结计时赛，现有根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为（）A.B.C.D.二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列关于概率统计说法中正确的是（）A.两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱B.设随机变量，若，则C.在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好D.某人解答10个问题，答对题数为，则10.已知等比数列的公比为，前项积为，若，则（）A.B.C.D.11.已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（）A.的图象关于点对称B.C. D.若，则12.是边上的点，其中，且.则面积的可能取值为（）A.B.C.D.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.的展开式中的系数是__________.（用数字作答）.14.函数的图象在处的切线与坐标轴所围成的图形的面积为__________.15.四棱锥的底面是平行四边形，点分别为的中点，平面将四棱锥分成两部分的体积分别为，且满足，则__________.16.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为__________.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知数列是等差数列，其前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面.（1）求证：平面； （2）求二面角的大小.19.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且.（1）求；（2）已知为边上的一点，若，求的长.20.（本小题满分12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.21.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上的一个动点.以为焦点､为顶点作抛物线.设为第一象限内抛物线上的一点，为轴负半轴上一点，设，使得为抛物线的切线，且.圆均与直线切于点，且均与轴相切.（1）试求出之间的关系；（2）是否存在点，使圆与的面积之和取到最小值.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为 ；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中.（1）设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望；（2）设结束后，细胞数量为的概率为.（i）求；（ii）证明：. 大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）数学参考答案题号123456789101112答案DBCBCACDBDACABDAB1.D【解析】因为，故选D. 2.B【解析】不等式解得，则，，故选B. 3.C【解析】因为不共线，可知与不共线，则与所成角为锐角等价于，即，即，所以“与所成角为锐角”是“”的充分必要条件.故选C. 4.B【解析】，，故选B. 5.C【解析】由题意可得当时，，因为为上的奇函数，所以，所以，所以（舍去），或，因为，所以.故选C. 6.A【解析】设的焦距为，点，由的离心率为2可知，因为，所以，将代入的方程得，即，所以，故.故选A. 7.C【解析】作，垂足为，连接， 因为，即平面，故平面平面，故，又平面，故平面平面，平面平面，则在平面内的射影在直线上，则为与平面所成角，即，由于，故为二面角的平面角，即，，在中，，则，而，则，则，故，故选C. 8.D【解析】不妨令绳头编号为，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下根绳子进行打结，令根绳子打结后可成圆的种数为，那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为，由此可得，， 所以，所以，显然，故；另一方面，对个绳头进行任意2个绳头打结，总共有所以.所以当时，，故选.二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）9.BD【解析】对于，两个变量的相关系数为越小，与之间的相关性越弱，故A错误；对于，随机变量服从正态分布，由正态分布概念知，若，则，故B正确；对于C，在回归分析中，越接近于1，模型的拟合效果越好，为0.98的模型比为0.89的模型拟合的更好，故错误；对于，某人在10次答题中，答对题数为，则数学期望，故D正确.故选BD.10.AC【解析】因为等比数列的公比为且，则，所以，又因为，则，所以，从而，故对任意的，由可得，A对B错；，即，C对D错.故选AC.11.ABD【解析】A选项，由题意知，，则，所以图象的对称中心为正确； 选项，，两式相减得，所以，B正确；选项，由选项可得，的周期为4，又，故，令得，，得，所以错误；选项，因为，令得，，又，故，中，令得，，由，得，又的周期为4，则，所以，D正确.故选ABD.12.AB【解析】由面积公式可得：，，因为，故，由可得，即， 建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，则，整理得到：，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故的边上的高的最大值为，故其面积的最大值为.故选.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.80【解析】的通项为，令，得的展开式中的系数是.14.1【解析】由题意可得，则，故的图象在处的切线方程为，即.令，得；令，得，则所求图形的面积为.15.【解析】如图，延长交于点，连接交于点， 因为底面为平行四边形，所以与全等，且与相似，相似比为，设的面积为，则四边形的面积为，设点到底面的距离为，则，又因为为的中点，所以，而，所以，所以，所以，所以.16.【解析】设，则.显然当靠近右顶点时，，所以存在点使等价于，在中由余弦定理得，即，解得，同理可得，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立. 由得，所以.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.【解析】（1）设等差数列的公差为，又，所以解得，所以的通项公式.（2）由（1）知，所以.18.【解析】（1）因为平面平面，所以，同理，所以为直角三角形，又因为，所以，则为直角三角形，故，又因为，所以平面.（2）由（1）知平面，又平面，则，以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 如图，则，所以，设平面的法向量为，则即令，则，所以，设平面的法向量为，则即令，则，所以，所以，又因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.19.【解析】（1），根据正弦定理得，，即，，因为，，所以，. （2），根据余弦定理得..在中，由正弦定理知，，，.20.【解析】（1），令，则，即，解得的递增区间为；令，则，即，解得的递减区间为.所以，的递增区间为，递减区间为.（2）因为对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立， 当时，；当时，，令，所以.令，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即在上恒成立所以在上单调递减，所以，所以.综上，实数的取值范围为.21.【解析】（1）由条件抛物线，点，设，将其与抛物线的方程联立，消去得.①因为与抛物线切于点，所以方程①的判别式为，解得.进而，点.故.由，则.②（2）设圆的圆心分别为. 注意到，与圆均切于点，故.设圆与轴分别切于，如图所示：则分别为的角平分线，故，易知，则，.结合式②有.③由三点共线得，化简可得.④令，于是，圆的面积之和为.根据题意，仅需考虑取最小值的情形，根据③､④知.令，由.当且仅当时，上式等号成立.此时，.结合式（2）得. 故点的坐标为.22.【解析】（1）2个结束后，的取值可能为，其中，，，所以分布列为1234.（2）（i）表示分裂结束后共有2个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成2个细胞.不妨设在第时分裂为2个细胞，之后一直有2个细胞，此事件概率，所以.（ii）代表分裂后有3个细胞的概率，设细胞在后分裂为2个新的细胞，这两个细胞在剩下的中，其中一个分裂为2个细胞，一个保持一直分裂为1个细胞，此事件的概率，得，， 其中.令，记，令，得.当单调递增；当单调递减.故，