四川省成都市石室中学2022届高三上学期期末数学（理）试题（Word版附解析）

成都石室中学高2022届高三上期期末考试数学（理科）第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知为虚数单位，则复数所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【详解】试题分析：，对应点在第一象限.考点：复数的运算.【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.2.方程（为参数）对应的曲线轨迹为（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】C【解析】【分析】根据题意，化简得到，两式相减，得到，即可求解. 【详解】由方程（为参数），可得，两式相减消去参数，可得，所以方程对应的曲线为双曲线.故选：C.3.已知两个非零向量满足，且，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求得向量夹角的余弦，进而可得解.【详解】由题可得，，故选：B．4.已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形是矩形，则等于A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】画出图形，由四边形是矩形可得点的纵坐标相等．根据题意求出点的纵坐标后得到关于方程，解方程可得所求．【详解】由题意可得，抛物线的准线方程为．画出图形如图所示． 在中，当时，则有．①由得，代入消去整理得．②结合题意可得点的纵坐标相等，故①②中的相等，由①②两式消去得，整理得，解得或（舍去），∴．故选C．【点睛】解答本题的关键是画出图形并根据图形得到与x轴平行，进而得到两点的纵坐标相等．另外，将几何问题转化代数问题求解也是解答本题的另一个关键．考查圆锥曲线知识的综合和分析问题解决问题的能力，属于中档题．5.居民消费价格指数，简称)是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标.根据下面给出的我国2019年9月-2020年9月的居民消费价格指数的同比(将上一年同月作为基期进行对比的价格指数)增长和环比(将上月作为基期进行对比的价格指数)增长情况的折线图，以下结论正确的是（） A.2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大B.2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小C.2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平D.2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势【答案】D【解析】【分析】根据环比增长折线图可判断选项A、B，根据同比折线图可判断选项C、D即可得正确选项.【详解】对于选项A：由环比增长折线图可知2020年1月到9月的居民消费价格指数先上升再下降再上升，故选项A不正确；对于选项B：由环比增长折线图可知2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数先上升再下降再上升，故选项B不正确；对于选项C：由同比折线图可知2020年1月到9月的居民消费价格指数均高于2019年同期水平，故选项C不正确；对于选项D：由同比折线图可知2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势故选项D项正确．故选：D.6.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)A.πB.4πC.8πD.9π【答案】B【解析】【详解】已知两定点，，如果动点满足，设点的坐标为，则，即，所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，所以点的轨迹所包围的图形的面积等于，故选B.7.已知命题：椭圆上存在到焦点的距离等于4的点；命题：双曲线的右支上存在到左焦点的距离为4的点.下列命题为真命题的是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆的性质可判断命题p的真假，利用双曲线的性质可判断命题q的真假，即得.【详解】因为椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，所以椭圆上不存在到焦点的距离等于4的点，所以是假命题；因为双曲线右支上的点到左焦点距离的最小值为5，所以其右支上不存在到左焦点的距离为4的点，所以为假命题.故为假命题，为假命题，为真命题，为假命题.故选：C.8.已知椭圆C的焦点为，，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知可设，则，得，在中求得，从而可求解．【详解】如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．所以，则.得，所以，又，得 故C的方程为故选：A9.已知椭圆为C的左､右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】依题意可得的内切圆的半径为，根据，即可得到、，再根据，即可得到关于的方程，解得即可；【详解】解：依题意，因为的内心，所以的内切圆的半径为，所以由，所以，因为，所以即，所以，解得或（舍去）故选：A10.设双曲线：的两个焦点为，，是双曲线H上的任意一点，过作的角平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是（）A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】首先根据几何关系求得点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，再根据圆心到直线的距离加上半径为点到直线的距离的最大值，最后求解即可.【详解】由题意，延长，交于一点，连接，因为，且为的平分线，所以，且点为线段的中点，假设点在双曲线的右支上，由双曲线的定义得，所以，因为，分别为，的中点，所以，由双曲线的对称性可得点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，轨迹方程为，点到直线的距离的最大值为原点到直线的距离加上半径，即，故B项正确故选：B.11.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】观察得到相同结构，从而构造，，变形后，求导得到其单调性，进而比较出大小.【详解】，，， 令，，则，令，，则，令，，则上恒成立，故在上单调递增，又，故在上恒成立，将中换为可得，，即，故在上恒成立，所以在上单调递增，由复合函数单调性可知在上单调递增，故，即.故选：D【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.12.已知等腰直角中，，D，E分别是和上的动点，沿翻折后，B恰好落在边上，则的最小值为（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】设B在边上关于的对称点为，，设，然后在中利用正弦定理可求出结果，【详解】如图：设B在边上关于的对称点为，，则，若，则，在中，由正弦定理得，故，当，t最小，最小值为．故选：A．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数是偶函数，则___________．【答案】【解析】【分析】根据偶函数的定义可得对于恒成立，整理化简即可求解.【详解】因为函数是偶函数，所以对于恒成立，即对于恒成立， 因为当时不恒为0，所以对于恒成立，因为，所以，解得：，故答案为：.14.学校艺术节对同一类的，，，四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“或作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“作品获得一等奖”．若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.【答案】B【解析】【分析】首先根据“学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果．【详解】若A为一等奖，则甲、丙、丁说法均错误，不满足题意；若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；综上所述，故B获得一等奖．【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确．15.中国古乐中以“宫”“商”“角”“徵”“羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，如果用这五个基本音阶随机排成一个五个音阶的音序，则“官”“商”两音不相邻且在“角”音同侧的概率为_______．【答案】【解析】【分析】分别求出被一个音阶隔开的情况和被两个音阶隔开的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可【详解】由题意得，只被一个音阶隔开的情况为“宫徵商”或“宫羽商”，有种排法，被两个音阶隔开的情况为“宫徵羽商”，共有种排法， 故“宫”“商”两音不相邻且在“角”音同侧的概率为．故答案为：16.在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点（其中A在B的上方），过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，于点P，Q，N．给出下列四个命题：①；②若P，Q是线段的三等分点，则直线的斜率为；③若P，Q不是线段的三等分点，则一定有；④若P，Q不是线段的三等分点，则一定有；其中正确的是________（写出所有正确命题的编号）．【答案】①②【解析】【分析】设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，利用三点共线即可判断①，若是线段的三等分点，则，利用韦达定理和弦长公式即可求判断②，运用求根公式求得点的坐标，结合的表达式，可判断③，由图像可以判断④.【详解】由抛物线C：可知，焦点坐标为，设直线的方程为，，设，联立得， ，则，则，所以直线的方程为，因为三点共线，，，同理，所以，，即，故①正确；若是线段的三等分点，则，，，又，，所以，所以，解得所以②正确；由，得，，所以，因为，所以，，所以，当时，，故③错误；由图可知，，而，只要，就有，故④错误.故答案为：①②【点睛】 关键点点睛：本题考查抛物线的焦点弦的性质，及直线与抛物线的位置关系，解题的关键是通过直线与抛物线联立结合韦达定理求出点坐标，然后求出点坐标，再依次判断选项，考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：）与样本对原点的距离（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计理的值．（表中，）697.900.21600.1414.1226.13（1）利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型？（2）根据（1）的结果回答下列问题：①建立关于的回归方程；②样本对原点的距离时，金属含量的预报值是多少？附：对于一组数据，其线性相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【答案】（1）更适宜；（2）①；②【解析】 【分析】（1）分别求出与所对应的线性相关系数，然后比较大小即可判断.（2）根据数据和公式即可求得关于的回归方程，根据回归方程代入，即可求出金属含量的预报值.【小问1详解】由题的线性相关系数，的线性相关系数，因为所以更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型.【小问2详解】①由（1），令，，则，所以，，则，即.②当时，金属含量的预报值18.如图，在中，，为边上一点，，且． （1）求；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由余弦定理结合题意可得，根据同角三角函数的平方关系可得、，再利用即可得解；（2）由正弦定理可得，进而可求得、，利用三角形面积公式即可得解.【详解】（1）在中，由余弦定理得所以因为，是三角形的内角，所以所以；（2）中，由正弦定理得，所以， ，所以，所以．【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理及三角恒等变换的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.19.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，，，点E，F分别为CD，AP的中点．（1）证明:PC//平面BEF；（2）若PAPD，且PA=PD，面PAD面ABCD，求二面角C-BE-F余弦值．【答案】（1）证明过程见解答；（2）【解析】【分析】（1）连接，交于，连接，易证，故，即点为的中点，从而得，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）取的中点，连，，则，由面面，可推出，由和，可证得，故以，，所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，依次写出、、、和的坐标，由面，知面的一个法向量为，根据法向量的性质可求得面的法向量，再由即可得解．【小问1详解】 证明：连接，交于，连接，点为的中点，，，，，，，即点为的中点，又为的中点，，面，面，面．【小问2详解】（2）取的中点，连，，，，面面，面面，面，，，，．以，，所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，0，，，，0，，，，，面，面的一个法向量为，设面的法向量为，则，即，令，则，，，，，， 由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为．20.已知点S是圆上任意一点，过S作x轴的垂线，垂足为H，点T满足，记点T的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设轨迹C与x轴的交点分别为，，与y轴正半轴的交点为B，M是轨迹C上任意一点，且M不在坐标轴上．若直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q．试判断的形状，并说明理由．【答案】（1）（2）为等腰三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）设，根据向量关系得到，代入中，求出轨迹方程；（2）先得到，设直线方程为，联立求出，设直线的方程为，联立求出，根据点坐标特点得到，并求出，得出的形状.【小问1详解】设，则，设，因为，则，故，，将代入中，得，轨迹C的方程为；【小问2详解】 为等腰三角形，理由如下：由（1）可知，，设，则，则，，故，设直线方程为，直线方程为，联立与，可得，，故，直线方程为，直线的方程为，联立与，可得，，故，可以得到，且，则，又因为，故，其中，故，故，综上，为等腰三角形.【点睛】结论点睛：圆锥曲线中点弦相关结论及其推广： 椭圆与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为，则，推广：已知椭圆的两顶点分别为，则椭圆上一点（除两点），满足；双曲线与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为，则，推广：已知双曲线的两顶点分别为，则双曲线上一点（除两点），满足.21.已知函数（）在其定义域内有两个不同的极值点．（I）求a的取值范围；（II）记两个极值点分别为,且．已知,若不等式恒成立,求的范围．【答案】（I）；（II）【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意得到方程在有两个不同根，即方程在有两个不同根．（解法一）转化为函数与函数的图像在上有两个不同交点，利用数形结合法求解；（解法二）转化为函数与函数的图像在上有两个不同交点求解；（解法三）令，从而转化为函数有两个不同零点求解；（Ⅱ）将转化为，结合（Ⅰ），，得到，，进而得到，令，，转化为不等式 在上恒成立求解．【详解】解：（Ⅰ）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根．即方程在有两个不同根．（解法一）转化为函数与函数的图像在上有两个不同交点，如图．若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，只须．令切点，所以，又，所以，解得，，于是，所以．（解法二）转化为函数与函数的图像在上有两个不同交点．又，当时，，当时，，所以在上单调增，在上单调减．所以，又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，，所以的草图如下， 由图象知：若函数与函数的图像在上有两个不同交点，则．（解法三）令，从而转化为函数有两个不同零点，而，当时，在上恒成立，所以在单调增，此时不可能有两个不同零点．当时，时，，在时，，所以在上单调增，在上单调减，从而，又因当时，，当时，，即，所以．综上所述，（Ⅱ）因为等价于．由（Ⅰ）可知分别是方程的两个根，即，， 所以原式等价于，因为，，所以原式等价于．又由，作差得，，即．所以原式等价于，即恒成立．令，，则不等式在上恒成立．令，又，当时，当或时，，所以在上单调增，又，在恒成立，符合题意．当时，当时，，时，，所以在时单调增，在时单调减，又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以．【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决（二）选考题：共10分．请考生在22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（2）求证：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过4．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用，可得曲线C的极坐标方程；（2）就、分类讨论，再利用二倍角的正弦公式结合正弦函数的性质可得.也可以利用直角坐标方程结合基本不等式可得，从而可证任意一点到原点的距离都不超过4.【详解】（1），代入方程，得，即：；（2）法一：极坐标方程：当时，，因为，故即当时，，同理可证∴曲线上任意一点到原点的距离都不超过4．法二：直角坐标方程：由得，，解得，∴曲线上任意一点到原点的距离都不超过4． 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，还考查了三角函数的性质、二倍角的正弦公式、基本不等式等，注意根据函数的特征选择合适的证明方法，本题属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）设，，记的最小值，的最大值为，求．（表示，中的较大值，表示，中的较小值．）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将函数中的绝对值去掉，然后再分段求解即可；（2）根据题意作出两个函数的图像，根据题意可判断出图像实线部分为的图像，虚线部分为的图像，从而可以找到所对应的区间，从而求出的值.【详解】解：（1）当时，，当时，由得，解得，不符合题意，舍去当时，由得，所以，当时，由得，解得，不合题意，舍去，所以不等式的解集为；（2）如图，作出函数的图像，则图像实线部分为的图像，虚线部分为的图像，当时，令，则，整理得，因为，所以，所以，当时，令，则，所以，因为，所以， 所以，综上，，所以【点睛】此题考查求解绝对值不等式和解不等式，利用了数形结合的思想，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.