2023-2024学年高二上学期期末数学模拟卷（新高考地区专用，测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆、圆锥曲线、数列）01（Word版附解析）

2023-2024学年上学期期末模拟考试01高二数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线、数列。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线的倾斜角是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为，，直线可化为，所以直线的斜率，，故选：D．2.已知，分别是平面的法向量，若，则（）A.B.C.1D.7【答案】B 【解析】【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解【详解】因为，分别是平面的法向量，且，所以，即，解得故选：B3．设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（    ）A．7B．12C．15D．31【答案】C【分析】设出公比，根据，，成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式得到答案.【详解】设公比为，因为，，成等差数列，所以，则，解得：或0（舍去）.因为，所以，故.故选：C4．设，则“”是“直线与直线平行”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果.【详解】因为直线与直线平行的充要条件是且，解得或．所以由充分必要条件的概念判断可知：“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件，故选：A5．如图，在四面体中，．点在上，且为 中点，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】连接，利用空间向量基本定理可得答案.【详解】连接．故选：B.6．已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程. 【详解】圆：的圆心，圆：可化为，，则其圆心为，半径为，因为圆与圆相内切，所以，即，故.由，可得，即与的公切线方程为.故选：D7．已知数列满足，且，若，则正整数为（    ）A．13B．12C．11D．10【答案】B【分析】确定，，利用累加法确定，代入计算得到答案.【详解】，故，，故，.故，，即，故，解得.故选：B8．已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得， ，再根据已知列式，结合椭圆的关系，求出离心率即可.【详解】为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，由椭圆的性质，可得.过F且垂直于x轴直线与C交于M，N两点，.等于的最小值的3倍，.椭圆中，，即，则.，，解得或（舍）.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知曲线：，：，则（）A.的长轴长为4B.的渐近线方程为C.与的焦点坐标相同D.与的离心率互为倒数【答案】BD 【解析】【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可.【详解】曲线：整理得，则曲线是焦点在轴上的椭圆，其中，所以，离心率为故曲线的长轴长，故A不正确；曲线：是焦点在轴上的双曲线，其中，所以，离心率为，故与曲线的焦点位置不同，故C不正确；：的渐近线方程为，故B正确；又，所以与的离心率互为倒数，故D正确.故选：BD.10.已知等差数列的前项和为，若，则下列结论错误的是（    ）A．数列是递增数列B．C．当取得最大值时，D．【答案】ABC【分析】由已知，利用等差数列求和公式与等差数列的性质可得：，，进而判断选项即可.【详解】因为是等差数列，且，所以，，即，所以，，且，所以B错误，D正确；因为，所以等差数列是递减数列，所以A错误；所以当时，取得最大值，所以C错误. 故选：ABC11.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，AB的中点，则下列结论正确的是（）A.点B到直线的距离为B.直线CF到平面的距离为C.直线与平面所成角的余弦值为D.直线与直线所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可结合选项逐一求解．【详解】在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，,2,，,0,，,2,，,2,，,2,，则点到直线的距离为： ，故A正确；,0,，,1,，,1,，,2,，,,，,1,，,2,，,1,，设平面的法向量,,，则，取，得,2,，由于分别为的中点，所以且，因此四边形为平行四边形，故,又平面,平面,所以平面，直线到平面的距离为，故B正确；设直线与平面所成角，则，故C错误；,2,，,,，设直线与直线所成角为，则，故D正确．故选：ABD．12.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（）A.B. C.，D.【答案】ACD【解析】【分析】根据每层球数变化规律可直接求解得到AB正误；利用累加法可求得C正确；采用裂项相消法可求得D正确.【详解】对于A，，A正确；对于B，由每层球数变化规律可知：，B错误；对于C，当时，；当时，满足，；，C正确；对于D，，，D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知四棱锥的底面是平行四边形，若，则______．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案. 【详解】因为四棱锥的底面是平行四边形，所以，又，由空间向量基本定理可得，，故.故答案为：.14.已知数列的前n项和为，若，则________．【答案】【解析】【分析】先令得到，再令得到，从而得到为常数，得到数列是首项为，公比为2的等比数列，从而直接求得通项公式.【详解】令，得，所以；令，则，两式相减得，，即，所以，因为，所以，所以为常数，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以.故答案为：15.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米． 【答案】4.5##【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，将代入，得，所以．设，代入，得．所以拱桥到水面的距离为．故答案为：4.5.16.如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为______，直线与“果圆”交于，两点，且中点为，点的轨迹方程为______．【答案】①.②.【解析】【分析】根据各半椭圆方程可得，，的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长；分 别表示点，的坐标，利用中点公式表示，消参即可得到点，得轨迹方程.【详解】由，，是相应半椭圆焦点，可得，，，所以，，，故所求周长为；设，联立直线与，得，即点，联立直线与，得，即点，且不重合，即，又为中点，所以，即，，整理可得，，故答案为：，.四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知的顶点坐标为，，.(1)求边上的高的长.(2)求的面积. 【答案】(1)(2)【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离即可求解；（2）求出的长，用面积公式即可求解.【详解】（1）由题意，直线的方程为：，即.故点到直线的距离即为边上的高的长，  所以.（2）因为，所以的面积为：.18.（12分）已知数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，数列的前n项和为，且，，．（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前12项和．【答案】（1），（2）2796【解析】【分析】（1）由数列是等差数列，是各项均为正数等比数列，设出公差和公比，根据题意列出方程组求解即可；（2）根据题意写出数列通项公式，用分组求和法，结合等差等比求和公式求解即可. 【小问1详解】设数列的公差为d，数列的公比为，由题意可得，，即，所以，因为，所以，所以，．【小问2详解】由（1）可得，所以的所有奇数项组成以1为首项，4为公差的等差数列；所有偶数项组成以2为首项，4为公比的等比数列．所以，．19.（12分）已知直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点．（1）求C的方程；（2）求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程即可求解作答.（2）根据给定条件，求出线段AB的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径作答.【小问1详解】 依题意，抛物线C的焦点在直线上，则，解得，所以C的方程为．【小问2详解】由（1）知，抛物线C的准线方程为，设，，AB的中点为，由消去y得，则，有，，即，因此线段AB的中垂线方程为，即，令，得，设所求圆的圆心为E，则，又AB过C的焦点F，则有，设所求圆的半径为r，则，故所求圆的方程为．20.（12分）已知数列的前n项和．（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）利用及已知即可得到证明，从而求得通项公式；（2）先求出通项，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】因为，当时，，所以，当时，，又，解得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故【小问2详解】因为，所以，，，，所以，所以21.（12分）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点E在棱PB上．（1）证明：平面平面PBC；（2）当时，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）解法一：以C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；解法二：取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；【小问1详解】因为底面，平面，所以．因为，，所以．所以，所以．又因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又平面EAC，所以平面平面PBC．【小问2详解】解法一：以点C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．设点E的坐标为，因为，所以， 即，，，所以．所以，．设平面ACE的一个法向量为，则．所以，取，则，．所以平面ACE的一个法向量为．又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．设平面PAC与平面ACE的夹角为，则．所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为．解法二：取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．设点E的坐标为，因为，所以，即，，，所以． 所以，．设平面ACE的一个法向量为，则．所以，取，则，．所以，平面ACE的一个法向量为．又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．设平面PAC与平面ACE的夹角为，则．所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为22.（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，（），上顶点为A，，且到直线l：的距离为．（1）求C方程；（2）与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；（3）P为C上的动点，M，N为l上的动点，且，求面积的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析（3）．【解析】【分析】（1）由题意，根据椭圆的顶点坐标以及点到直线距离公式，可得答案；（2）由两直线的平行关系，设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，表示出中点坐标，可得答 案；（3）根据直线的平移，取与椭圆相切是的临界点，利用三角形的面积公式，可得答案.【小问1详解】设，，由题意得，解得，所以C的方程为．【小问2详解】证明：设这组平行线的方程为，与联立消去x，得，则，得．设直线被C截得的线段的中点为，则，其中，是方程的两个实数根．所以，消去m，得，所以这些直线被C截得的线段的中点均在直线上．【小问3详解】由（2）知，l与C相离，当直线与C相切时，，解得或．当时，直线与l的距离为，此时，当时，直线与l的距离为，此时，