2023届高考数学一轮复习单元测试--第一章空间向量与立体几何B卷（Word版附解析）

2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第一章空间向量与立体几何（B卷）B卷培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图圆锥的高，底面直径是圆上一点，且，则与所成角的余弦值为（　　）A．B．C．D．2．已知长方体，正方形所在平面记为，若经过点的直线与长方体所有的棱所成角相等，且，则线段的长为A．B．C．D．3．如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（）A．B．C．D．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为AA1、BC、C1D1的中点，现有下面三\n个结论：①△EFG为正三角形；②异面直线A1G与C1F所成角为60°；③AC∥平面EFG.其中所有正确结论的编号是（）A．①B．②③C．①②D．①③5．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积最大的是（）A．B．C．D．6．正方体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段成为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时，的最大值为（）A．1B．2C．3D．47．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且．则下列结论正确的是（）A．B．当时，与相交C．异面直线与所成的角为D．始终与平面平行8．如图，已知正方体的棱长为1，E，F分别是棱，的中点.若点\n为侧面正方形内（含边界）的动点，且存在使成立，则与侧面所成角的正切值最大为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．如图，正方体的棱长为，则下列结论正确的是（）A．若点在线段上，则不存在点满足B．若点在线段上，则四面体的体积为定值C．若点在线段上，则异面直线与所成角的取值范围是，D．若点是正方体表面上的动点，则满足的动点轨迹长度为10．如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是（）\nA．当，时，点D到直线PQ的距离为B．线段PQ的最小值为C．平面平面BCDD．当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为11．已知直三棱柱中，，，为的中点.点满足，其中，则（）A．对时，都有B．当时，直线与所成的角是30°C．当时，直线与平面所成的角的正切值D．当时，直线与相交于一点，则12．两个全等的等腰直角三角形和等腰直角三角形所在两个平面互相垂直，其中，则，，则（）A．异面直线和所成的角为B．平面平面C．四面体外接球的表面积为D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．在直三棱柱中，，二面角的大小为，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则异面直线与所成角的余弦值为_______．14．如图，在四棱锥中，平面，，\n，，已知是四边形内部一点，且二面角的平面角大小为，则的面积的取值范围是___________.15．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，且，若点E为的中点，则点D到平面的距离为___________.16．三棱锥中，、、两两垂直，且.给出下列四个命题：①；②；③和的夹角为；④三棱锥的体积为.其中所有正确命题的序号为______________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤\n17．如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.（1）证明：AC⊥B1D；（2）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．\n18．如图所示．四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，M是侧棱上的点，，N是线段上的动点．（1）若以D为坐标原点，以为y轴正方向，以为z轴正方向建立空间直角坐标系，写出点的坐标；（2）求点到平面的距离；（3）若平面与平面夹角的余弦值为，试确定点N的位置．19．如图所示，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是线段的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求直线和平面所成角的正弦值\n20．如图，在三棱锥中，底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，，.（1）求证：平面BDE；（2）求二面角的余弦值.21．如图，在三棱柱中，平面，，，，点分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．\n（1）求证：；（2）求二面角的正弦值；（3）求直线与平面所成角的正弦值．22．在三棱锥中，平面平面ABC，△为等腰直角三角形，，，，M为AB的中点.（1）求证：.（2）求PC与平面PAB所成角的正弦值.（3）在线段PB上是否存在点N，使得平面平面PAB？若存在，求出的值；若不存在，说明理由一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图圆锥的高，底面直径是圆上一点，且，则与所成角的余弦值为（　　）\nA．B．C．D．【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系得：，，，设的夹角为，又则因为即SA与BC所成角的余弦值为故选A．2．已知长方体，正方形所在平面记为，若经过点的直线与长方体所有的棱所成角相等，且，则线段的长为\nA．B．C．D．【答案】D【解析】如图，建立空间直角坐标系．由题意得，设点的坐标，则．由题意得与平行的棱所在直线的方向向量可分别取为，，．因为直线与所有的棱所成角相等，所以，因此，所以，解得，所以点的坐标，即为正方形对角线的交点，因此，所以．故选D．3．如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（）\nA．B．C．D．【答案】D【解析】底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，则，所以设，由为线段的中点，则，由，所以，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，设，，，，，设平面的一个法向量，则，即，令，则，，所以.设平面的一个法向量，\n则，即，解得，令，则，所以，平面与平面所成锐二面角的平面角为，则，将分子、分母同除以，可得令，当时，，则的最大值为：.故选：D4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为AA1、BC、C1D1的中点，现有下面三个结论：①△EFG为正三角形；②异面直线A1G与C1F所成角为60°；③AC∥平面EFG.其中所有正确结论的编号是（）A．①B．②③C．①②D．①③【答案】D【解析】建立空间直角坐标系如下图所示，设正方体的边长为：则，，，，所以三角形是在三角形，①正确.，所以，设异面直线与所成角为，\n则，所以，②错误.，，设平面的法向量为，则，令，得，所以，由于，所以③正确.综上所述，正确的命题序号为①③.故选：D5．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积最大的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：设，因为平面，所以，，，，又底面是正方形，所以，，对于A，；对于B，；\n对于C，；对于D，，所以数量积最大的是，故选：B.6．正方体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段成为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时，的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】连接，如下图所示：设球心为,则当弦的长度最大时，为球的直径，由向量线性运算可知正方体的棱长为2，则球的半径为1，，所以，而所以，\n即，的最大值为2故选：B7．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且．则下列结论正确的是（）A．B．当时，与相交C．异面直线与所成的角为D．始终与平面平行【答案】D【解析】∵边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直∴以点B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，所以，，，，\n∵∴过点M作MP⊥AB于点P，连接EP，CN，ME，则，，显然，与不一定相等，选项A错误.B选项：当时，即M为AC中点，N为BF中点时，如图所示，此时与相交，故当时，与不相交，选项B错误C选项：，∴∴异面直线与所成的角为，C选项错误D选项：平面BCE的法向量为∴∴∴始终与平面平行∴选项D正确\n故选：D8．如图，已知正方体的棱长为1，E，F分别是棱，的中点.若点为侧面正方形内（含边界）的动点，且存在使成立，则与侧面所成角的正切值最大为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：存在，，使，，平面，设的中点为，连接，，，，则，平面，不在平面内，所以平面，同理平面，，平面，平面平面，点为侧面正方形内（含边界）动点，且平面，点的轨迹为线段，\n正方体的棱长为1，、分别是棱、的中点，,由题得就是与侧面所成角，所以最大，则最小，即.由等面积法得,所以最大值为.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．如图，正方体的棱长为，则下列结论正确的是（）A．若点在线段上，则不存在点满足B．若点在线段上，则四面体的体积为定值C．若点在线段上，则异面直线与所成角的取值范围是，D．若点是正方体表面上的动点，则满足的动点轨迹长度为【答案】BD【解析】解：对于A，因为当在上运动时，平面，平面，于是，所以存在点满足，所以A错误；对于B，因为面，又点在线段上，所以到面，的距离即为到面的距离，所以距离为定值，所以四面体的体积为定值所以B\n对；对于C，以为原点，建立以，，所在直线为，，轴的空间直角坐标系，则点，0，，，，，，，，，，，所以，，设异面直线与所成角为，则，当时，，，当时，，当或是，的值最大为，此时，所以的取值范围是，，所以C错误；对于D，当点在平面内时，由面，面，，所以有，所以，所以点的轨迹是以为圆心为半径的圆弧，同理点在面，时，轨迹也是为半径的圆弧，从而动点轨迹长度为，所以D正确.故选：BD.\n10．如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是（）A．当，时，点D到直线PQ的距离为B．线段PQ的最小值为C．平面平面BCDD．当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为【答案】BCD【解析】取的中点，连接，由题意可知：，因为，所以，又易知，因为，，，所以平面，因为平面，所以平面平面，故C正确；以为原点，分别为轴建立坐标系，\n则，当，时，，，，，所以点D到直线PQ的距离为，故A错误；设，，由得，，，当时，，故B正确；当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，，，，，设PQ与AD所成的角为，则，所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确；故选：BCD11．已知直三棱柱中，，，为的中点.点满足，其中，则（）A．对时，都有\nB．当时，直线与所成的角是30°C．当时，直线与平面所成的角的正切值D．当时，直线与相交于一点，则【答案】ACD【解析】以为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，其中，因为，所以，A.因为，所以，所以，故正确；B.当时，，所以，所以直线与所成的角不是，故错误；C.当时，，取平面的一个法向量为，所以，设直线与平面所成的角为，所以，所以，故正确；\nD.当时，如图所示，为中点，为中点，连接，所以，所以，故正确；故选：ACD.12．两个全等的等腰直角三角形和等腰直角三角形所在两个平面互相垂直，其中，则，，则（）A．异面直线和所成的角为B．平面平面C．四面体外接球的表面积为D．【答案】AC【解析】如图，因为和所在两个平面互相垂直，，则平面平面，则，，两两互相垂直．因此可以把四面体放在正方体中进行研究．易得异面直线和所成的角为，故选项A正确；以为坐标原点，过点且平行的直线为轴，，所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，易知平面的一个法向量为，平面的法向量为，，故选项B错误；四面体的外接球即为其所在正方体的外接球，易得外接球的直径为正方体的体对角线，即外接球的半径，则外接球的表面积，故选项C正确；\n，故选项D错误.故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．在直三棱柱中，，二面角的大小为，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则异面直线与所成角的余弦值为_______．【答案】【解析】如图所示，由题意可知，直三棱柱中，二面角的大小为，所以为二面角的平面角，即，因为点到平面的距离为，即点到直线的距离为，过点作于，则，因为点到平面的距离为，即点到直线的距离为，又因为，，\n所以，，，，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．所以，，，，，.．所以异面直线与所成角的余弦值为．故答案为：14．如图，在四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点，且二面角的平面角大小为，则的面积的取值范围是___________.【答案】【解析】平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，\n则、、、、，设点，其中，，设平面的法向量为，，，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，由已知条件可得，所以，，即，直线上的点满足，联立，解得，联立，解得，所以，点的纵坐标的取值范围为，易知点不在线段上，则，所以，.故答案为：.\n15．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，且，若点E为的中点，则点D到平面的距离为___________.【答案】【解析】以点C为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，从而.设平面的一个法向量为，由法向量的性质可得令，则，所以.所以点D到平面的距离.故答案为：.16．三棱锥中，、、两两垂直，且.给出下列四个命题：\n①；②；③和的夹角为；④三棱锥的体积为.其中所有正确命题的序号为______________.【答案】①②③【解析】设，由于、、两两垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则、、、.对于①，，所以，，①正确；对于②，，，则，②正确；对于③，，，\n，，所以，和的夹角为，③正确；对于④，，，，则，所以，，而三棱锥的体积为，④错误.故答案为：①②③.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.（1）证明：AC⊥B1D；（2）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）先证明出平面，即可证明；（2）以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．用向量法求解.（1）因为ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，所以平面.又平面，故.\n又已知，平面，且，故平面.因为平面，所以.（2）以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝t，则A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)．从而＝(－t，3，－3)，＝(t，1，0)，＝(－t，3，0).因为AC⊥BD，所以＝－t2＋3＋0＝0，解得或(舍去)．于是＝(，3，－3)，＝(，1，0).＝(0，3，3)，＝(，1，0)，＝(0，1，0).设是平面ACD1的一个法向量，则即令x＝1，则＝(1，－，)．设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|.故直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为.18．如图所示．四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，M是侧棱上的点，，N是线段上的动点．\n（1）若以D为坐标原点，以为y轴正方向，以为z轴正方向建立空间直角坐标系，写出点的坐标；（2）求点到平面的距离；（3）若平面与平面夹角的余弦值为，试确定点N的位置．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）易知是正三角形，取的中点E，连接，可得，然后以D为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系求解；（2）由（1）求得平面的一个法向量及的坐标，然后由求解；（3）设点，得到，求得平面的一个法向量，然后由求解．（1）解：由题意可知，四边形是菱形，又，连接，所以是正三角形，取的中点E，连接．所以．\n又因为四棱柱的侧棱与底面垂直，所以两两垂直，以D为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．已知直四棱柱的棱长均为6，因为，且，所以，所以的坐标为；（2）由（1）及题意，得相关点的坐标为．设平面的一个法向量为，则，即，令，则，即平面的一个法向量为，又，所以点到平面的距离为；（3）\n由（1）（2）及题意，设点，则，设平面的一个法向量，则，即，取则．则有．化简可得，解得或，因为，所以，所以，故当点N位置在的线段上，与的距离等于2时，平面与平面夹角的余弦值为.19．如图所示，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是线段的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求直线和平面所成角的正弦值\n【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）、利用线面垂直的判定证明;（2）、建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量夹角的余弦计算二面角的余弦值；（3）、求出与平面的法向量所成角的余弦值，即可导出直线和平面所成角的正弦值.（1）底面，平面，，四边形是矩形，,平面,平面，平面（2）由（1）可知，、、两两垂直，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系.则是线段的中点,，\n设平面的一个法向量为，则，，底面，为平面的一个法向量，易知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.（3），，由（2）可知平面的一个法向量为设直线和平面所成角为，直线和平面所成角的正弦值为.20．如图，在三棱锥中，底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，，.（1）求证：平面BDE；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取中点，连接、，由已知可证平面，平面，从而得证平面平面，进而得证平面；\n（2）由底面，，则以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的一个法向量，结合图形由向量法即可求解二面角的余弦值.（1）证明：取中点，连接、，为中点，，平面，平面，平面，为中点，，又、分别为、的中点，，则，平面，平面，平面，又，平面平面，平面，平面；（2）解：底面，，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，，，，0，，，0，，，2，，\n则，，设平面的一个法向量为，由，得，取，得，易知平面的一个法向量为，所以，所以由图可知二面角的余弦值为.21．如图，在三棱柱中，平面，，，，点分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值；（3）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.（1）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；（2）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为\n，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（3）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.（1）依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、、、、、、、、.依题意，，，从而，所以；（2）依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得．，．\n所以，二面角的正弦值为；（3）依题意，．由（2）知为平面的一个法向量，于是．所以，直线与平面所成角的正弦值为.22．在三棱锥中，平面平面ABC，△为等腰直角三角形，，，，M为AB的中点.（1）求证：.（2）求PC与平面PAB所成角的正弦值.（3）在线段PB上是否存在点N，使得平面平面PAB？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】（1）为中点，连接、，由中位线、等腰直角三角形的性质易得、，再根据线面垂直的判定及性质可证结论.（2）构建空间直角坐标系，由已知确定相关点坐标，分别求PC与平面PAB的方向向量、法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求PC与平面PAB所成角的正弦值.（3）假设存在N使面面PAB且，，由（2）易得，\n进而求面的法向量，由面面垂直易得求参数，即可确定存在性.（1）若为中点，连接、，又M为AB的中点.∴，由，则，又△为等腰直角三角形，，易知：，由，则面，∵面，∴.（2）由（1）可构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，∴，则，，，若为面PAB的一个法向量，则，令，即，∴，则PC与平面PAB所成角的正弦值为.（3）若存在N使得平面平面PAB，且，，由（2）知：，，则，，\n若是面的一个法向量，则，令，则，∴，可得.∴存在N使得平面平面PAB，此时