浙江省杭州市金华卓越联盟2023-2024学年高二上学期12月阶段联考数学试题（Word版附解析）

2023学年第一学期金华卓越联盟12月阶段联考高二年级数学试题命题人：东阳二中吕夏雯陆琳琳；审题人：汤溪中学张拥军考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.准线方程为的抛物线的标准方程是（）A.B.C.D.2.直线和直线垂直，则（）A.1B.C.1或D.1或3.已知在等比数列中，，则的值是（）A.4B.-4C.±4D.164.如图，在三棱台中，且，设，点在棱上，满足，若，则（）A.B.C.D.5.已知等差数列的前项和为，且，则下列说法错误的是（） A.B.C.数列是递减数列D.中最大6.已知圆，直线，圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则圆与圆的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.相离7.已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（）A.B.C.D.8.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.10.已知直线，圆，点为圆上的任意一点，下列说法正确的是（）A.直线恒过定点B.直线与圆恒有两个公共点C.直线被圆截得最短弦长为D.当时，点到直线距离最大值是 11.已知数列满足是的前项和，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则为等差数列C.若，则为等差数列D.若，则12.已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与抛物线相交于两点，点是点关于轴的对称点，则下列说法正确的是（）A.B.的最小值为10C.三点共线D.三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.在空间直角坐标系中，已知点，则__________.14.过点作圆的两条切线，切点为，则劣弧长__________.15.如图，已知正方形的边长为2，分别取边的中点，并连接形成正方形，继续取边的中点，并连接形成正方形，继续取边的中点，并连接形成正方形，依此类推；记的面积为的面积为，依此类推，的面积为，若，则__________. 16.设是椭圆的左､右焦点，点为椭圆上的两点，且满足，则椭圆的离心率为__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.（本题满分12分）已知数列满足，点在直线上.（1）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；（2）求满足的的取值构成的集合.19.（本题满分12分）已知动点与两个定点的距离的比是2.（1）求动点的轨迹的方程；（2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程.20.（本题满分12分）已知等差数列前项和为，满足.数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和. 21.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，分别为的中点.（1）求平面与底面所成角的余弦值；（2）求平面与四棱锥表面的交线围成的图形的周长.22.（本题满分12分）已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为.（1）求双曲线的渐近线方程；（2）记双曲线的上､下顶点为为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 2023学年第一学期金华卓越联盟12月阶段联考高二年级数学参考答案命题人：东阳二中吕夏雯陆琳琳；审题人：汤溪中学张拥军一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.D【解析】，又抛物线开口向下，所以抛物线的方程为正确.2.C【解析】或正确.3.C【解析】正确.4.A【解析】又，A正确.5.D【解析】，则所以数列单调递减，中最大.D正确.6.B【解析】圆上3个点到直线的距离是1，则圆心到直线的距离应是，则，圆的圆心为，半径是2，圆的圆心为，半径是1，则，所以两圆的位置关系是相交.B正确.7.D【解析】圆心，取双曲线的左焦点，则的最小值为，D正确. 8.A【解析】平面的法向量，在平面上任取一点，则，正确.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.ACD【解析】，选项A正确，，选项B错误；选项C正确；，选项正确，正确答案是A.C.D10.ABD【解析】直线，所以恒过定点.选项A正确；因为定点在圆内，所以直线与圆恒有两个公共点.选项B正确；被圆截得的最短弦长，选项错误；当时，，点到直线的距离的最大值是，选项正确.正确答案是A.B.D11.ABD【解析】当，则，所以，选项A正确；已知，当时，，当时，，则时也成立），所以为等差数列，选项B正确；已知，当时，，当时，，则时不成立），所以不是等差数列，选项C不正确；已知，当时，，当时，，则时不成立，所以 当时，，时，所以时也成立，选项D正确.正确答案是A.B.D12.CD【解析】设直线，联立方程组，则，选项A不正确；，所以当且仅当时等号成立，所以的最小值为9，选项不正确；，设，联立方程组，则，所以，即直线过点，选项正确；对于选项，，，选项正确.正确答案是C.D三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.【解析】. 14.【解析】圆C：，，故劣弧长.15.10【解析】由题意可知三角形的面积构成首项为，公比为的等比数列，.16.【解析】如图，过作，连接，因为，所以，设，则，在中，，即，化简得，所以，所以离心率.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）方法一：因为是的中点，所以和是等 腰直角三角形，所以，，因为平面平面，所以，平面平面方法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，所以平面；（2），设平面的法向量为，则，所以取，又，.直线与平面所成角的正弦值为.18.【解析】（1）由已知得， 且，所以数列是等比数列，，则（2）因为，所以，得，又因为，所以的取值构成的集合是.19.【解析】（1）设点，则，化简得，所以动点的轨迹的方程为；（2）由（1）可知点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，可计算得圆心到直线的距离，①当直线的斜率不存在时，圆心到直线的距离是3，不符合条件，②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，所以，化简得，解得或，所以直线的方程是或.20.【解析】（1）设数列的公差为，解得.，且，所以是等比数列，（也可用累乘法求的通项公式）（2）， 21.【解析】（1）以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量为，，设平面的法向量为，所以，所以取，所以，所以平面与底面所成角的余弦值为；（2）由对称性可知平面与棱交于一点，设交点，又，所以围成的图形的周长为22.【解析】（1）设双曲线方程为，由上顶点坐标可知，则由可得，双曲线的渐近线方程为. （2）由（1）可得，设，设直线的方程为，与联立可得，且，则，设，，得，化简得