湖北省武汉市第三中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

2023-2024武汉三中高二年级12月月考数学试卷一、单选题1.已知双曲线过点，且与双曲线：有相同的渐近线，则双曲线的焦距为（）A.7B.14C.D.【答案】B【解析】【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程，进而求解.【详解】设双曲线：，将代入可得.故双曲线：，则，则焦距.故选：B2.已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（）A.3B.3或7C.5D.7【答案】D【解析】【分析】利用双曲线标准方程和定义，求解到另一个焦点的距离.【详解】由题意可知，,，则，所以或，又因为,所以，故选：D.3.在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（） A.10B.100C.110D.120【答案】B【解析】【分析】利用结论：在等差数列中，其前n项和为，则数列也为等差数列，再求出的通项，代入即可.【详解】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为，则，则，又因为，所以，所以，所以.故选：B.4.已知等差数列的前n项和为，，则（）A.60B.120C.180D.240【答案】C【解析】【分析】利用下标和性质求得，然后由等差数列求和公式和下标和性质可解.详解】根据等差数列下标和性质可知，得，所以．故选：C．5.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，满足，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】作图分析，不妨设点A在第一象限时，过点分别向准线作垂线，设交抛物线的准线于点 ，结合抛物线的定义，设，推出相关线段长，求出，再结合抛物线的对称性，即可确定答案.【详解】如图，当点A在第一象限时，过点分别向准线作垂线，垂足为，则轴，设交抛物线的准线于点，设，则，由抛物线的定义得，，，在中，，，而轴，则，故，当点A在第四象限时，根据抛物线的对称性可得斜率为，故选：A.6.在等比数列中，，，成等差数列，则（）A.B.C.2D.4【答案】C【解析】 【分析】根据等差中项的知识列方程，求得等比数列的公比，从而求得.【详解】设等比数列的公比为，由于，，成等差数列，所以，所以.故选：C7.已知椭圆：离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为.若，且的周长为，则直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】结合椭圆定义，将题中所给的周长表示出来，得到，由，可得，即可将、计算出来，借助余弦定理，可计算出，再结合直线斜率与倾斜角的关系即可得.【详解】由该椭圆离心率为，故有，则、，则，故有，由、， 则，故，，故，则有，解得，即有、，则，由是在第一象限上的一点，故，则，直线的斜率为.故选：D8.已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根据数列递推式求得的表达式，即可得，结合其单调性推出恒成立，继而判断的单调性，求出其最大值，即可求得答案.【详解】由于数列满足，当时，，当时，，故，即，也适合，故，则，由于数列为单调递增数列，即，即，则恒成立，令，则，当时，，当时，，故是数列的最大值的项，故时，取得最大值，故，则的取值范围为，故选：C二、多选题9.方程，则下列说法正确的是（）A.当时，方程表示椭圆B.当时，方程表示焦点在轴上的双曲线C.当时，方程表示圆D.当或时，方程表示双曲线 【答案】BCD【解析】【分析】根据方程中分母的正负及是否相等可判断选项即可.【详解】当时，由，且即时，此方程表示圆，故A不正确；当时，，，由方程可知表示焦点在轴上的双曲线，故B正确；由A可知，当时，方程表示圆，故C正确；当时，，，故方程表示焦点在轴上的双曲线，当时，由B可知，方程表示双曲线，故D正确.故选：BCD10.首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，现有下列4个命题中正确的有（）A.若，则B.若，则使的最大的n为15C.若，，则中最大D.若，则【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列的基本量运算计算可判断A，再由求和公式，利用下标性质可判断CD，再由可判断D.【详解】对于A,若，则，那么.故A不正确；对于B,中若，则，又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为， 所以使的最大的为15.故B正确；对于C,中若，，则，，则中最大.故C正确；对于D，中若，则，而，不能判断正负情况.故D不正确.故选：BC11.如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则此二双曲线互为共轭双曲线.已知双曲线与互为共轭双曲线，设的离心率为，的离心率为，则（）A.若，则B.的最小值为4C.的最小值为4D.的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A：利用离心率的定义直接计算；对于B：利用基本不等式求出的最小值为，即可判断；对于C：利用基本不等式直接计算；对于D：先求出.三角换元后利用三角函数求最值.【详解】不妨设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，则.由共轭双曲线的定义可得：双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为.所以.对于A：，即.所以，所以.故A正确；对于B：（当且仅当时等号成立）， 所以的最小值为.故B错误；对于C：（当且仅当时等号成立）.所以的最小值为4.故C正确；对于D：因为，，所以.不妨设，则（当且仅当，即时等号成立）.故D正确.故选：ACD12.已知是抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线、，与相交于，两点，与相交于，两点，为，中点，为，中点，直线为抛物线的准线，则（）A.有可能为锐角B.以为直径的圆与相切C.的最小值为32D.和面积之和最小值为32【答案】BCD【解析】【分析】设出直线、，与抛物线联立后消去，得到与纵坐标有关的韦达定理备用，对A，将角度的锐钝问题可转换为向量数量积的正负，计算即可得；对B，求出该圆圆心及半径，借助切线的性质判定即可得；对C，表示出、的长度后结合基本不等式即可得；对D，表示出两三角形面积之和后，借助坐标之间的关系，结合基本不等式求解即可得. 【详解】由，故焦点坐标为，准线方程为，设，、、、，则，联立，消去得：，，有，，则，故为钝角，故A错误；此时点坐标为，，故，，则为直径的圆以为圆心，为半径，圆心到的距离为，与半径相等，故以为直径的圆与相切，即B正确；由， 同理可得，即，当且仅当时，等号成立，故C正确；，由，则，同理可得，，即，当且仅当，时等号成立，当时，由抛物线的对称性及直线的对称性可得，，即，可同时取等，故D正确.故选：BCD.三、填空题13.若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为____________. 【答案】50【解析】【分析】利用等差数列片段和性质有为等差数列，应用等差中项的性质求即可.【详解】由等差数列片段和性质知：为等差数列，所以，则，所以.故答案：14.设等差数列，的前项和分别为，，都有，则的值为____________.【答案】【解析】【分析】根据等差数列前项和公式及前n项和与项的关系求解.【详解】因为等差数列，中，，所以可设，所以，故答案为：15.已知椭圆上存在相异两点关于直线对称，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】设对称的两点为，，直线的方程为与联立可得利用根与系数的关系以及中点坐标公式可求的中点，利用判别式以及在直线 上即可求解.【详解】设椭圆存在关于直线对称的两点为，，根据对称性可知线段被直线直平分，且的中点在直线上，且，故可设直线的方程为，联立方程，整理可得，∴，，由，可得，∴，，∵的中点在直线上，∴，可得，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用直线与直线垂直可得直线的斜率为，可设直线的方程为，代入可得关于的一元二次方程，利用判别式，可以求出的范围，利用韦达定理可得的中点再代入即可与的关系，即可求解.16.如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为___________. 【答案】##【解析】【分析】联立圆和双曲线方程，求出点坐标，进而得到点坐标，将点代入双曲线方程中，化简得到即，方程两边同除以得到关于离心率的方程，求出答案.【详解】，解得，故，将其代入得，，故，因为，设，所以，故，，将代入双曲线中得，，化简得，两边平方得， 即，方程两边同除以得，解得或1（舍去），故.故答案为：四、解答题17.在数列中，．求证：数列是等差数列，并求的通项公式；【答案】证明见解析；【解析】【分析】根据等差数列的定义证明，然后利用等差数列的通项公式求解．【详解】，且所以，数列是等差数列，且首项为1，公差为1，．18.设是数列的前项和，，.（1）求；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入及计算即可得； （2）借助与的关系，消去计算出的通项，再由计算出即可得.【小问1详解】当时，，又，故，当时，，即，解得或，又，故；【小问2详解】对任意的，，则，当时，，即，又，即，所以，数列是等差数列，首项为，公差为，所以，，则，故当时，，也满足，故对任意的，.19.已知直线与双曲线的右支交于不同的两点和，与轴交于点，且直线上存在一点满足（不与重合）．（1）求实数取值范围；（2）证明：当变化时，点的纵坐标为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由直线方程联立双曲线方程，结合条件可得不等式组，进而即得；（2）设点的坐标根据韦达定理结合条件可得的横坐标，进而可得纵坐标.【小问1详解】将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，，要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足，解得；【小问2详解】设，则由（1）知：.由，得：，所以.又， 所以点D的纵坐标为定值.20.已知圆C：．（1）设点，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程；（2）设P是直线上的点，过P点作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，求证：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【答案】（1）或（2）证明见解析，所有定点的坐标为.【解析】【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，分直线l的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式求出直线方程；（2）设，根据切线性质得到经过A，P，C三点的圆即为以PC为直径的圆，求出圆心和半径，写出圆的方程，整理后得到，求出定点坐标.【小问1详解】根据题意，圆C的方程为，其圆心C为（2，0），半径，若直线l的斜率不存在，即，代入圆方程得，，即，成立；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，若，则圆心C到直线l的距离，则，解得，即直线l的方程为，化简得综上所述，直线l的方程为或．【小问2详解】由于P是直线上的点，设，由切线的性质得AC⊥PA，BC⊥PB，经过A，P，C，的三点的圆，即为以PC为直径的圆， PC的中点坐标为，且，所以圆的方程为，整理得，令，解得或．则经过A，P，C三点的圆必过定点，所有定点的坐标为．21.已知点F为抛物线E：的焦点，点，，若过点P作直线与抛物线E顺次交于A，B两点，过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C.（1）求证：直线BC过定点；（2）若直线BC所过定点为点Q，，的面积分别为，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先求出抛物线的方程，直曲联立通过韦达定理分别表示两点关系，和两点关系，写出方程，根据两个关系式消去点，即可得到结果.（2）将，用两点表示出来，再利用第（1）问结论和韦达定理用直线的斜率通过化简，借助换元法即可得出结论.【小问1详解】由已知：，解得，所以抛物线方程为：易知直线斜率存在，设直线方程为：得：，其中， 设，，所以，.所以①，直线方程为：，得：，设，则②，由①②可知，所以③（1）若直线斜率不存在时，则，又因为所以，，所以直线方程为（2）若直线斜率存在时，，直线方程为：，即，将③代入得，所以故当直线斜率存在时过定点综上所述：由（1）（2）可知直线过定点.【小问2详解】由（1）知，.所以. 由，且，可得且，所以令，，所以又因为且，所以，所以的取值范围为【点睛】（1）直曲联立是解决直线与曲线相交问题行之有效的方法.（2）韦达定理和换元法可以减少运算量，提高解题效率.（3）不要遗忘了斜率不存在的情况，避免造成丢分.22.椭圆与双曲线有相同的焦点，且过.（1）求椭圆的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，.（i）证明：点B在以为直径的圆内；（ii）求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）6【解析】【分析】（1）根据题意设出椭圆方程，用待定系数法求解即可得解； （2）（i）根据题意只要证为钝角即即可，求出坐标，利用向量数量积运算即可得证；（ii）求出四边形的面积，对面积的表达式变形利用基本不等式和对勾函数单调性求出最大值得解.【小问1详解】由题知，椭圆的焦点为，，故可设椭圆的方程为，将点代入可得，解得，所以椭圆得方程为.【小问2详解】（i）易知，由椭圆对称性可知，不妨设，；根据题意可知直线斜率均存在，且，；所以直线的方程为，的方程为；联立直线和椭圆方程，消去可得；由韦达定理可得，解得，则；联立直线和椭圆方程，消去可得； 由韦达定理可得，解得，则；则，；所以；即可知为钝角，所以点B在以为直径的圆内；（ii）易知四边形的面积为，设，则，当且仅当时等号成立；由对勾函数性质可知在上单调递增，所以，可得，所以时，四边形的面积最大为6，此时点的坐标为，由对称性可知，即当点的坐标为或时，四边形的面积最大，最大值为6.